Файл: Свешников А.А. Вероятностные методы в прикладной теории гироскопов.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 10.04.2024
Просмотров: 280
Скачиваний: 1
§ 5.3] ПРИМ ЕРЫ НА ИССЛЕДОВАНИЕ ГУ 341
При принятых ранее допущениях по окончании переходного
процесса имеем |
(5.221) |
|
|
& = 0. |
|
Расчеты |
показывают, что / 3=^0, |
но пренебрежимо мало по |
сравнению с |
и ул . Таким образом, |
математическое ожидание % |
случайной функции %(t) с достаточной для практики точностью
определяется двумя |
первыми членами |
ряда (2 1 0 ), т. |
е. |
|
|
Х«*Хо + |
Хі |
|
(5.222) |
или, учитывая (213) |
и (219), |
|
|
|
1 = |
І 6 § D [<р (0 1 - |
~ |
Ъ\ D [<!» ( 0 1 . |
( 5 . 2 2 3 ) |
|
Ь |
ь |
|
|
Для числовых данных примера имеем
Х = —3',8.
Как было указано, величина %і была определена приближенно. Найдем для нее точное выражение. Для этого представим возму щающее воздействие X (t) в виде спектрального разложения, ана
логичного (1.92):
СО
|
X { t ) — x-\- |
J |
еш йФх (ш). |
|
|
|
(5.224) |
||||
|
|
|
|
—СО |
|
|
|
|
|
||
Спектральная функция |
ФДсо) |
обладает в |
силу |
(1.94) |
следу |
||||||
ющими свойствами: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
М \йФх («,)] = |
М [dOl (со)] = |
М [йФх (а.) сІФхК ) ] |
= 0, |
(5.225) |
|||||||
М ['йФ * |
(ш ) |
(іФх |
(o )j)] |
== Sx(со) 8 (ш — |
w j) dwdw^ |
||||||
|
|||||||||||
где Sx(<d) — спектральная |
плотность |
случайного |
процесса |
X (t); |
|||||||
8 (ю) — дельта-функция, |
для |
которой |
|
|
|
|
|
||||
СО |
|
|
СО |
|
|
|
|
|
|
|
|
^ 8 (ш ) (ІШ= |
1 , |
^ |
X (со) 8 |
(со ---- (Oj) dco = |
X (cox) . |
( 5 . 2 2 6 ) |
|||||
— 00 |
|
|
— 00 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Подставляя (224) в первое уравнение системы (209), получим по окончании переходного процесса стационарное решение этого
уравнения в виде
СО
Хо(0 = Хо+ S Ь(ш)еішЫ Ф » , |
(5.227) |
|
|
—00 |
|
где передаточная функция ФМ определяется выражением |
|
|
L (гш) |
,ѵ |
(5.228) |
1 — Тч-ш2 -I- 2£Гіео ' |
|
|
|
|
|
342 УРАВНЕНИЯ ГУ СО СЛУЧАЙНЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ [ГЛ. 5
Подставляя (228) в (227), получим
00
Ь « = 7.+ S TtTTé + ж т ы (5.229)
— СО
Если постоянная времени Т маятника мала, то (229), учитывая (224), переходит в приближенное выражение (215).
Представив случайную функцию Y (t) также в виде спектраль ного разложения
|
|
СО |
|
|
|
Y ( t ) = |
j |
е*'“^ Ф у(ш) |
(5.230) |
|
|
— СО |
|
|
и подставив (229) и (230) в (217), получим |
|
|||
Xl = -ÄM [y(OzoW ] = |
|
|
|
|
CO |
СО |
|
£ |
\ |
S |
j e- ' - w |
; H |
1 _ r , y ^ -2 g - O T . K ) . |
(5.231) |
I— СО — с о |
|
) |
|
|
Меняя порядок нахождения математического ожидания и интегри
рования и учитывая формулу (1.104), согласно которой |
|
|
М |
(<о) dOx ((Oj)] = S yx (<ü) S (ш — toj) da> du>lt |
(5.232) |
где Syx ( w) — взаимная спектральная плотность случайных функ
ций У (t) и X |
(t), |
получим |
|
|
|
|
|
||
|
|
Хх = |
— f |
1 _ |
Г2Ш2 + 2 CfШ S PX |
du>- |
(5.233) |
||
|
|
|
— СО |
|
|
|
|
|
|
Для 5уя:(ш), |
согласно (194) |
и (202), |
имеем |
|
|
||||
|
|
|
SfX (аз) = —xzS§ (ш), |
|
|
(5.234) |
|||
т. е. вместо (233) |
будем иметь |
|
|
|
|
||||
|
|
|
СО |
|
|
|
|
|
|
|
|
* . = ? ■ ! |
і - т Д + е т і. |
w |
*»• |
(5-235) |
|||
При |
малой постоянной |
времени |
Т |
маятника |
множитель |
||||
5 |
. |
по модулю мало отличается от единицы |
в области |
||||||
1 — 12ц>2 + |
ІШ |
|
|
|
|
|
|
|
|
значений |
<о, при которых ординаты спектральной плотности 5$ ( ч>) |
||||||||
имеют существенное значение. Заменив этот множитель едини цей, легко убедиться, что формула (235) переходит в (219).
§ 5.3] ПРИМ ЕРЫ НА ИССЛЕДОВАНИЕ ГУ 343
Для |
нахождения |
точного выражения |
Хі вычислим интеграл |
|||||
(235). Входящая в него спектральная плотность S§ (о>), согласно |
||||||||
(2.15) и (2.24), имеет вид |
|
|
|
|
||||
9- I \ — 2а^ 1 |
|
6 іы4 |
(a?= ^ -X * , |
6 ? = iif + |
Xf). |
(5.236) |
||
^ ' ' |
it |
ш* -f- 2afio2 + |
|
|
|
|
||
Подставляя (236) |
в (235), |
получим |
|
|
|
|||
|
X Z |
п |
Г |
|
0)1 |
|
d(0. |
(5.237) |
Xi |
~gi |
J |
(1 —Г?0)2 + 2ifia))(о)1 + 2a|ü)2 + |
|||||
—00
Пользуясь для вычисления (237) таблицей 1.1, имеем
„ _ |
X Z |
Ь ! [ Ь і ( 1 - 4 С Г 1і 1 - Г « Ь і ) - 4 Іі ! і Р [ ф ( 0 ] |
^ |
2 3 8 ] |
X l ~ |
g ( І - Т Ѣ І У + А І Т Ѣ І Ѵ + Т ^ ^ + Т ^ + Т К ^ ] ’ 1 ' |
> |
||
Для числовых данных примера получим Хі = _3',79,
что мало отличается от приближенного значения Хі= —4', вычис ленного по формуле (219).
Можно показать, что с увеличением относительного коэффи циента затухания £ систематическое отклонение маятника Хі уменьшается. Вычислив по формуле (238) значения Хі для приня тых в примере исходных данных и для различных величин коэф
фициента затухания С, |
получим |
результаты, которые сведены |
||||
в таблицу: |
|
|
|
|
|
|
С |
0,5 |
0,707 |
3 |
5 |
10 |
20 |
—Хъ Угл• мин• |
3,79 |
3,73 |
2,82 |
2,01 |
0,82 |
0,14 |
Отсюда следует, что применение сильно демпфированного маят ника является эффективным средством уменьшения система тических отклонений маятников-корректоров гироскопических устройств на качке [56].
Перейдем к определению дисперсии D [<[>(t) ] погрешности маятника, пользуясь системой уравнений (209). Для нахождения D ІХо (0 1 воспользуемся первым уравнением этой системы
|
Т21о + Х Т ѣ + Хо = кХ(і). |
(5.239) |
|
Принимая во |
внимание |
лишь линейные слагаемые |
функции |
X (t) [см. (201)], |
перепишем (239) в виде |
|
|
|
■т%, + |
+ Хо = —Щ (О- |
(5.240) |
344 |
У РАВНЕНИ Я ГУ СО СЛУЧАЙНЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ |
[ГЛ. 5 |
Мы пришли к уравнению типа (4.494) колебаний маятникового кренометра на качке, движение которого было рассмотрено в при мере 4.7. Поэтому для определения дисперсии D [хо (01 решения уравнения (240) можно воспользоваться непосредственно выраже нием (4.504), если в нем заменить b на Ьѵ ц на и D [Ѳ (t)] на D [ф (t) ]; имеем
Ь22 2 |
(ь? + |г ) о И(0 ] |
|
D [Хо (0] = £г! (1 _ |
ТѢ\)Ъ + 4 [Т‘К Ѣ \ + Г щ (С + 7> j) + Г зС р іб ? ] ' ( 5 ' 2 4 1 ) |
|
Подстановка в (241) числовых данных |
примера дает |
|
|
D [ X o (01 = 17,48-10-* |
рад\ |
среднее квадратическое значение ошибки
0 ^ = 4,181 • ІО' 2 рад = 2°, 4.
Определим дисперсию D ІХі(01 следующего приближения. Для этого воспользуемся вторым уравнением системы (209)
Т% + 2СГХі + Хі = - kY (t) Хо (t). |
(5.242) |
Вопрос об определении дисперсии D ІХі (01 рассмотрен в § 5.2, где получены общие соотношения (105) и (106). При этом было указано, что для расчета D [х (01 достаточно ограничиться первым приближением. Применительно к маятнику это означает, что можно принять
D (х (01 D [хо (0Ь
т. е. при определении D [х (01 можно исходить из дифференци ального уравнения маятника, в котором отброшены слагаемые второго порядка малости, входящие в горизонтальное ускоре ние X (0 [см. (194)], а также отброшены в уравнении маятника члены второго порядка, обусловленные вертикальным ускоре нием У (t).
Поэтому, пользуясь уравнением (242), ограничимся общими соображениями об определении дисперсии D [хг (01 ■ Обозначим
Z ( t ) = - Y ( t ) lo {t), |
(5.243) |
тогда спектральная плотность SXl (ю) случайной функции Хг (0> согласно (242), будет выражаться формулой
Ѵ « > = I£ <-> I2 М = Ті |
(5.244) |
|
