346 |
УРАВНЕНИЯ ГУ СО СЛУЧАЙНЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ |
[ГЛ. 5 |
В данной задаче, согласно (2. 38), сохраняя |
слагаемые |
первого |
порядка, можно принять |
|
|
|
|
|
|
|
|
°>s (*)«*& (0. |
шч (0 |
Т (0> |
‘ос(0» Ф (0 - |
(5.249) |
Подставляя (249) в (248), |
получим |
|
|
|
|
|
J |
+ W + Hb (t) ß = |
Яф (t) + |
л (t) - |
|
|
|
Вводя обозначения |
|
- ( / И -Л)<К*)Ф(*). |
(5-250) |
|
|
|
|
|
|
|
|
Т = ^ ~ , |
* = |
-?-, |
7" * - 7, = |
Гі, |
(5-251) |
перепишем (250) в виде |
|
|
|
|
|
|
|
|
Гр + ß + ё |
( 0 ß = *ф (<) + |
Гт (t) - |
( 0 Ф(О- |
(5.252) |
В соответствии с обозначениями (133) имеем |
|
|
|
х (0 = |
Ф(0 + т т ( 0 - ^ ( 0 Ф ( 0 , 1 |
I |
(5 253) |
|
Y(t) = |
b(t). |
|
|
|
|
|
Тогда уравнение (252) примет вид |
|
|
|
|
|
|
|
rß + |
ß + |
Ä T(0ß=/cX (0. |
|
|
(5.254) |
Для решения этого уравнения воспользуемся методом малого |
параметра (§ 5.2). Введем в уравнение |
(254) параметр х: |
|
|
rß + |
ß + xÄ:F(i)ß = |
/cX(i) |
|
|
(5.255) |
и будем искать его решение в виде ряда по степеням параметра х, |
который будем считать «малым» (хотя в |
окончательных формулах |
положим х = 1 ): |
|
|
ß = ßo + *ßi + *2ß2 + |
• • • |
(5.256) |
Подставляя (256) в уравнение (255) и сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в обеих частях полученного равенства, имеем систему уравнений для определения ß0, ßj, ß2, . .. :
rß0 + |
ß0 = |
ÄX(f), |
(5.257) |
r k + |
^ Ä F W ß o W , |
T,p2 + |
ß2 = |
- ^ ( 0 ß1 (0 . |
|
Определим математическое ожидание ß случайной функции ß(i). Для установившегося режима ß= const, следовательно,
§ 5.3] |
ПРИМ ЕРЫ НА ИССЛЕДОВАНИЕ ГУ |
347 |
Дифференцируя (256) по времени, для математического ожида |
ния (3 имеем (х = |
1 ) |
|
|
Р = Ро + Рі + Рг + • • • |
(5.259) |
Для определения ß0 воспользуемся первым уравнением си |
стемы (257) |
Гр0 + ро = /сХ(0- |
(5.260) |
|
С учетом слагаемых первого порядка малости выражения (253), имеем
Гро + & > = * Ф (* ) + г т |
(5-261) |
Применяя к (261) операцию нахождения математического ожида ния, по окончании переходного процесса получим
|
Р о = $ ( 0 + Tf(*)- |
(5.262) |
Так как для стационарных случайных функций ф = ^ — 0» то |
|
р0 = 0 . |
(5.263) |
Для нахождения |
воспользуемся вторым |
уравнением си |
стемы (257) |
Грі + Рі = -*Г (*)Ро(0 - |
(5-264) |
|
Так как постоянная времени ПИГ весьма мала (по условию при мера Т tv 0,0018 сек), то для приближенного определения ß0(£) отбросим в (260) первое слагаемое, т. е. будем рассматривать ПИГ как идеальное интегрирующее звено; тогда
|
ß0 = ÄX(f) |
(5.265) |
или, учитывая в (253) слагаемые первого порядка, получим |
|
Ро=*[Ф (0 + |
т ? (* )] - |
(5'266) |
Интегрируя это |
уравнение |
при |
нулевых начальных |
условиях |
ß0 (0 ) = 0 , ф (0 ) = |
0 , у (0 ) = 0 , имеем |
|
|
Ро (*) = |
*[)(* )+ т * (* )]. |
(5-267) |
Подставим (253) и (267) в (264); тогда |
|
Щ + Рі = - к Ч (t) [ф (*) + -£ Т (*)] • |
(5-268) |
Применим к (268) операцию нахождения математического ожида ния; тогда
Гр! + h = - * 2М {& (І) [ф W + X t (*)]}, |
(5-269) |
откуда по окончании переходного процесса
р} = —Ш ц (0) - кТЯң (0), |
(5.270) |
348 |
УРАВНЕНИ Я ГУ СО СЛУЧАЙНЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ |
[ГЛ. 5 |
где Я ц (х), |
Riy, (х) — взаимные |
корреляционные функции |
угловой |
скорости тангажа, угла рыскания и угловой скорости крена. |
Если Н ц (0) = |
R &у (0) = |
0, |
то |
|
|
|
|
|
|
|
р1 |
= 0. |
(5.271) |
В общем случае движения самолета или другого летательного |
аппарата |
(0) |
0, Нц(0)=^0. |
Подставляя в этом случае (263), |
(270) |
в (259) и учитывая |
(258), |
приближенно имеем |
|
|
|
|
ß = —/с2 |
i*M 0 ) + x * frt(0 ) t. |
(5.272) |
При этом |
влияние второго слагаемого на величину ß вследствие |
малости Т незначительно. |
|
|
|
R »ф(0) |
Так как мы не располагаем конкретными значениями |
и |
(0 ), |
то не |
представляется возможным привести числовые |
значения ß. Можно лишь заметить, что так как ß накапливается со временем, вызывая соответствующую погрешность ПИГ, то его целесообразно устанавливать на стабилизированном основа нии, а не жестко на объекте.
Перейдем к определению дисперсии D [ß(£]). Как было пока зано в предыдущем примере, D [ ß (£]) D [ ß0 (t) 1. Поэтому вос пользуемся первым уравнением системы (257) (индекс «0» опу
скаем) |
rß + |
ß=ÄX(f) |
(5.273) |
|
или, учитывая в (253) только линейные члены, имеем |
|
Гр + р = |
А ф ( 0 + 7 т |
(5.274) |
откуда, |
интегрируя один раз |
при нулевых |
начальных условиях, |
получаем |
|
|
|
^ + Р = |
Ж *) + Гт(0- |
(5.275) |
Для |
краткости обозначим |
|
|
|
Z(t) = ty (t)+ T i( t) . |
(5.276) |
Тогда вместо (275) получим |
|
|
|
Tß + ß = Z(t), |
(5.277) |
откуда находим передаточную функцию ПИГ |
|
|
= |
|
(5.278) |
Спектральная плотность |
(ш) показаний ß (t) рассматриваемого |
прибора будет |
|
|
5 p (o)) = |L ( t o ) p ^ ( a ) ) . |
(5.279) |
§ 5.3] |
ПРИМЕРЫ НА ИССЛЕДОВАНИЕ ГУ |
349 |
Для |L(ico)|2, в согласии с (278), имеем |
|
|
1^<“ Яг= г Д + Т • |
(2-28°) |
Спектральная плотность б'Дш), если учесть (276) и предположить для простоты, что і)(() и j (t) являются некоррелированными слу чайными функциями, определится выражением
|
|
|
5 > )= А * 5 ф(со)+ГОДш). |
|
(5.281) |
Для 5ф(ш) |
и |
S y (со), |
в согласии |
с (2. 15) и (2. 23), |
имеем |
|
|
|
|
5 ФИ |
= |
2о|(і3 |
|
bl |
|
|
(5.282) |
|
|
|
л |
«4 -f- 2 а|ы |
2 -j- ’ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Zafa |
|
6|m2 |
|
|
(5.283) |
|
|
|
|
|
л ш4 + 2а|со2 -(- 6| |
|
|
|
|
|
|
|
|
Подставляя (282) |
и (283) |
в (281), получим |
|
|
|
|
|
|
61______ |
|
2af a T2 |
Щш2 |
|
(5.284) |
|
|
л |
<і>4 + 2 а§ш2 + 6 3 |
|
л |
-f- 2 а^со2 + 6 | |
|
|
|
|
Введем (280) |
и (284) в (279); тогда |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
61 |
|
|
|
|
|
T 2ü)2 + |
1 |
л |
о>4 |
2 a§co2 |
+ |
61 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2а2[х2Г2 |
6|ü)2 |
|
(5.285) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
л |
а>4 -f- 2 а1 <і>2 -f- 61 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для дисперсии D [ß (£)] имеем |
СО |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D |
l ß ( f |
) |
] = |
J |
|
(5.286) |
или, учитывая (285), получим интеграл |
|
|
|
DIP(61= |
5 |
|
|
|
|
|
61 |
|
|
|
|
|
л |
со4 _р_ 2 а!<о2 -f- 6 | |
|
|
|
|
|
|
|
2д29-2Г2 |
6І«2 |
|
(5.287) |
|
|
|
|
|
л |
о)4 + |
du), |
|
|
|
|
|
2 а!<і) 2 + & 1 |
|
|
который |
вычисляется |
методом, |
применявшимся в |
примере 4.4. |
В результате получаем следующую окончательную формулу *):
DIP(»>]=*» tr,‘++(,Y,,rp 014(61 +
________ + Г TjfT+ (І + р' 0h <01- (5.288)
*) В формуле (288) при малом Т первое слагаемое равно /е20[ф (t)] и представляет собой дисперсию истинного угла поворота поплавка; второе слагаемое характеризует погрешность прибора.
