Файл: Свешников А.А. Вероятностные методы в прикладной теории гироскопов.pdf

Скачать файл (17,93Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 10.04.2024

Просмотров: 275

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

350 УРАВНЕНИЯ ГУ СО СЛУЧАЙНЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ [ГЛ. 5

Для принятых в примере числовых данных, по формуле (288) находим

D [ß (01 = 0,7594 • ІО'4 рад*.

Тогда среднее квадратическое значение угла ß (t) будет

Ор= \JD [ß (£)] = 0,8714 • ІО'2 рад = 30 угл. мин.

В заключение найдем вероятностные характеристики погреш ности е (t) поплавкового гироскопа. Так как по условию примера

рассматриваемый прибор предназначен для определения углов рыскания ф (t) самолета, то

е ( t ) = ß (t) — &ф (t)

(5.289)

и задача сводится к определению s (t) и D [е (<)].

По аналогии с предыдущим s (t) выражается рядом типа (256), слагаемые которого определяются из следующей системы урав

нений:
7s0 -f- è0 = кХ ( t ) — &ф— кТ§,
Т ё 1 +	= — k Y ( t) (e 0 + Ц ) — Ң — k T § ,
Té2+	è2 = —kY (t) (e, + Ц) -			Ц -	кЦ,
Подставив в первое уравнение системы (290) вместо X (t) ли
нейные члены выражения (253),			получим
	“I-	= —		Ту.	(5.291)
Применяя к (291)	операцию	нахождения		математического ожида
ния, имеем	Гё0- и 0= 0 ,				(5.292)
так как ф = у = 0.

Следовательно, по окончании переходного процесса
и поэтому		*о = °>			(5.293)
		s0 =	0.		(5.294)

Пренебрегая в уравнении (291)			произведением Т'ё0сравнительно
с è0, получим	е0да—/сГф 4- Ту.				(5.295)

Подставляя (295) во второе уравнение (290) и учитывая (253), имеем

Тц +	= kb (t) (йГф — Ту — *ф) — А:ф — кЦ .	(5.296)
Применение к (296) операции нахождения математического ожи
дания дает	m {»(t) ( х Ц — Ту — kf) — к<1>— Щ } ,
Щ + і, =	m {»(t) ( х Ц — Ту — kf) — к<1>— Щ } ,	(5.297)

§ 5.3]	П р и м е р ы н а	и с с л е д о в а н и е	г У	351
откуда по окончании переходного процесса
іа =	Ш Ш ф (0) —	к Т Я ң (0) — к	Ш ц (0).	(5.298)

Пренебрегая слагаемыми, содержащими малую постоянную вре

мени Т,	получим		(5.299)
	è1 = —№Rty(0),
следовательно,		ц (0) t.	(5.300)
	ёх = ■— к 2Я
Ограничиваясь двумя первыми		членами	ряда, согласно (294)
и (300),	имеем		(5.301)
	ел* —к2Я ц (0) t.

Учитывая, что в общем случае движения летательного аппа

рата возможны условия,		когда Яц (0) =^=0,			вновь подтверждается
вывод о целесбобразности установки				ПИГ на стабилизированном
основании.						В согласии со ска
Перейдем к вычислению дисперсии D [е (t)].						В согласии со ска
занным ранее D [е (01 ^		D [®0 (£)].			начальных условиях,
Интегрируя (291) один раз при нулевых					начальных условиях,
получим	П 0 + &0 = - к Ц + Т і .						(5.302)
Обозначая	П 0 + &0 = - к Ц + Т і .						(5.302)
Обозначая		г (о = — к Ц	+	т і ,			(5.303)
	г	г (о = — к Ц	+	т і ,			(5.303)
приходим к уравнению типа (277)
		^ éo + ео —	(0-				(5.304)
Для установившегося процесса имеем
		S,	(ш)
	З Д = т а		т г .
Для спектральной плотности S gl (ш) имеем*)
	Stl («о) = k2T2S^ (ш) +			T2S^ (о»)			(5.305)
или, учитывая (282) и (283),
S «(») = - * & —	а* + 2а\|ш2 + Ң		тт	(о* -J- 2		+ Ъ\	(5.306)
S «(») = - * & —	а* + 2а\|ш2 + Ң		тт	(о* -J- 2		+ Ъ\
Следовательно,
(Ш)= 1 _\|_ у2ш2	71	ш* + 2а§ш2 + 6«
		2а^ 2Г2					(5.307)
		я		со1 + 2 а\|ш2 + 6 2 . ’			(5.307)
		я		со1 + 2 а\|ш2 + 6 2 . ’
*) Предполагается, что		(т) = 0.

352 УРАВНЕНИЯ ГУ СО СЛУЧАЙНЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ [ГЛ. 5

Для дисперсии	D [е (і)] имеем				СО
					СО
D K * )]» D [e0(*)]=					j			(5.308)
				—СО
или, учитывая (307), получим интеграл
СО	2о\|			Ь‘іы2
	2о\|			Ь‘іы2
T + W	К	+ 2			+ Ь* -Ь
	2о>		/ 2		&?<И2		do),	(5.309)
	+ •	%			+ 2а\|со2 + Ь\|
вычисление которого дает
0 [• <‘>] = к' Р Ц Р - ^ Г + ^ Т ).		4	+	Р	ЦТ, +	{Т + П Т), 4		<5 -31»)

Для принятых в примере числовых данных по формуле (310) вычисляем дисперсию

D [е (f)J = 1,38 • 10-8 рад2.

Среднее квадратическое значение угла е будет

а£ = \JD [е (£)] = 1,17 • ІО'4 рад = 0',41.

Погрешность 8. в определении угла рыскания самолета поплав-

ковым		^			1		Следовательно,
		ИГ связана	с е соотношением 8^= — е.
к	1	_■	(см. (301)) и 08ф =	1	at	=	0,82 угл. мин.
Оф=	-£■£=—kR&ty(0)t

Таким образом, погрешность ПИГ, вызванная колебательными дви жениями самолета при жестком креплении на нем прибора является существенной.

Пример 5.5. Определить математическое ожидание и диспер сию угла ß (t) отклонения оси корабельной ГВ в диаметральной плоскости корабля, если ГВ основана на использовании трехсте пенного астатического гироскопа с коррекцией, имеющей линей ную характеристику. В качестве чувствительного элемента си стемы коррекции применен сильно задемпфированный физический маятник, плоскость качания которого совпадает с диаметральной плоскостью корабля. Корабль совершает чисто килевую качку.

Дано: относительный коэффициент затухания маятника [см. формулу (3.48)] С= 10; 20; 30; период собственных колебаний ФМ 71фМ==0,5 сек, его постоянная времени Гм=0,08 сек, постоянная времени гировертикали Г =20 сек; координаты места установки прибора а;=20 м, Z——10 м; угол килевой качки корабля ф (£)— нормальная стационарная случайная функция времени, параметры корреляционной функции которой, имеющей вид (2. 13), даны:

ä 5.3j	ПРИМЁРЫ НА ИССЛЕДОВАНИЕ ГУ				35.3
a2= 0,6695-10'3 р а д 2-,		p=0,075 1/сек; X=0,95 1 /сек;	Ь2= ja2-f- X2=
==0,9081 1/сек2,	На	_
Р е ш е н и е .		основании (84) ^уравнение движения ГВ
в диаметральной плоскости корабля имеет вид
Т«.гП + Т[\ +Ä7(*)Jp + Ll + kY{t)\ß^kX{L),				(5.311)
где в соответствии с (85)
	Х (г) = я(Ф2 + фф) — z$,			(5.312)
	Y (t) — x§.

Постоянная	времени задемпфированного маятника			Тж3	свя
зана с постоянной времени физического маятника			Т=1/п		(п —

частота собственных незатухающих колебаний ФМ) выражением

			Тя., = Я Т ж.					(5.313)
Применяя к (312) операцию нахождения математического
ожидания, получим
	ж = М [X (*)] =			0,		у = 0.		(5.314)
Сохраняя в (312) только слагаемые линейные относительно ф (t),
получим	* ( * ) » —гф,				=			(5.315)

откуда для спектральных плотностей Sx (со)							и S y (со) имеем
	Sx (со) =		(со) =		Zco^ ( о )		,	(5.316)
	Sy (со) =		(со) =		Ж2(045ж(со).			(5.317)
Для решения уравнения (311) воспользуемся методом малого
параметра (§ 5.2), так как функцию Y					(t) из физических соображе
ний можно считать малой.
Применяя обычную процедуру метода малого параметра к урав
нению (311), получим
		Р =	Ро + Рі +	Р* +		... ,		(5.318)
где ß . (і) определяются системой уравнений
y - . . ^ o + ^ o +		Po =	Ä X (i),
Г „ . . Щ +	Т А +	ß i =	— k Y (t) ß0(t) — k T Y					(t) ß0 ( t ) ,
T u . J h +	T ß 2 +	ß2 =	- k Y ( t)	( t ) - k T Y				(5.319)
								( t ) k ( t ),
Для математического ожидания ß, согласно (318), имеем
		ß=Po + Pi+		£, +		•••		(5.320)
Для нахождения ß0, согласно первому уравнению системы (319),
имеем	T « . j h + T ß 0 +			ß0 =		kx(t),		(5.321)

23 А . А . С в е ш н и к о в , С. С. Р и в к и п

354	УРАВНЕНИЯ ГУ СО СЛУЧАЙНЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ				[ГЛ. 5
откуда по окончании переходного процесса получим
			р0 = &ж(£)		(5.322)
или,	учитывая (314),
			р0 = 0.		(5.323)
Для определения математического ожидания ßx из второго урав
нения системы (319) имеем
Tu. Л і +		Th + Pi =	-AM \ Y (t) ß„ (*)J - kTM[Y(t) h (01,		(5.324)
откуда по		окончании	переходного процесса	получаем
		рт = - A M [ Y (t) p0 ( 0 1 - k T M [ Y ( t )		ßo (t)l	( 5 . 3 2 5 )

Будем считать переходный процесс окончившимся. В этом случае, подставив в первое уравнение системы (319) спектральное разложение (224) функции X (t), для решения этого уравнения

получим

ОЭ

Ро(0 = \ L(m)eia>tdФ » ,

(5.326)

—СО

где передаточная функция L (wo), соответствующая рассматривае мому уравнению, будет

L («о) ~ і _

+ Тіш.

(5.327)

Подставляя (327) в (326), получим