Файл: Свешников А.А. Вероятностные методы в прикладной теории гироскопов.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 10.04.2024

Просмотров: 271

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

§ 5.3] ПРИМЕРЫ НА ИССЛЕДОВАНИЕ ГУ 355

откуда после перемены порядка интегрирования и нахождения математического ожидания с учетом (232) имеем

М [ У (0 М « > ]= 00J + (5.331)

—00

Для 5

(о>), согласно (315),

получим

 

 

 

 

 

 

 

 

Sgx И = —•vzS§ (to),

 

 

(5.332)

т. е. вместо (331)

имеем

СО

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

M [F(i)ßo(0] = - t e

J -1-

- .

+

 

(5‘333)

Аналогичным образом для М [У (t) ß0 (£)], учитывая (330) и (333),

получим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

00

 

 

 

 

 

м \ Y ( t )

ß0 (f)] = —kxz

5

) юш2 + ты

(О,)dco.

(5.334)

Для

5ф((і>),

учитывая (2.15) и (2.24), имеем

 

 

 

 

 

с

, ч

2а|^

6"Ш4

 

 

(5.335)

 

 

 

Ь

ф (ш) :---—--------------------------

 

 

 

 

 

 

■к 0)4 +

2а2ц)2 + 64 •

 

 

Принимая во внимание (335), перепишем (325)

в виде

 

 

S ZfJL0“

 

 

 

 

2а-шЪ + Ь*) du).

(5.336]

 

 

те

(1 — Тж%

+ 74©) (со* +

Пользуясь таблицей 1.1,

получим для ßx следующую формулу:

Ьо ( — ° 1 а 4 + а 2а з ) —

 

 

“oh

 

 

 

аРаФ і + а 0а 1^2 “ I-

( а 0а 3 — а 1а 2)

 

(5.3371

X ----------------- 5-7---ГД—2----------- Т-----------------D [*(*)],

 

 

2 « 0 (а0аз + а 1 а 4 — а 1а2аз)

 

 

T W

V

где коэффициенты а0, аѵ . . ., b0, Ьх, . . . определяются выраже­ ниями

Оо =

— Т , . , Т ,

b0 = — ipT(T — Тя ,),

 

 

(1 + 2 ^ , . , ) ,

h

=

(5.338)

а2^ - ( 1 + 2 р Г + 7 ; . , Г П

b2

= О,

аз ~

(2р- Д- TU1),

&з= 0.

 

аі = —b2,

23*

356

У РАВНЕНИ Я ГУ СО СЛУЧАЙНЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

[ГЛ. 5

Метод определения ß2 из третьего уравнения системы (319) такой же, как и использованный выше при нахождении ßr Легко убедиться, что ß2 значительно меньше, чем ßx. Поэтому для практи­

ческих расчетов ß в разложении (320) обычно достаточно ограни­ читься двумя первыми приближениями; тогда, учитывая (323),

для ß имеем

Р ä s ß L.

( 5 . 3 3 9 )

Для принятых в примере исходных данных вычислим по фор­

муле (337) и (338)

математические ожидания ß

 

£

10

20

30

ß,

угл. мин.

—1,18

- 0 ,3

-0 ,1 4

Из примера следует, что у ГВ с задемпфированным маятникомкорректором при нерегулярной качке корабля систематические отклонения оси гироскопа от вертикали весьма малы. При исполь­ зовании в ГВ маятника со слабым затуханием (С <[ 1) величина ß, равная математическому ожиданию % угла отклонения ФМ, при принятых исходных данных может достигать 4' (пример 5.3).

Для определения дисперсии ß (t), полагая D

[ ß (^l)^D I ß0 (t) 1,

воспользуемся первым уравнением системы

(319) (индекс «0»

опускаем)

 

 

T a, t l f - \ - T $ + ^ =

k X ( t )

(5.340)

или, учитывая (315), имеем уравнение

 

 

r M.8r ß + r ß + ß =

-Ä z<iiW ,

(5.341)

аналогичное уравнению (240). Дисперсия решения последнего определяется выражением (241), в котором нужно заменить Т на Тг, Сна £х и принять Т{=ТЛ%3Т, 2С1Г1= 7 7.

Вычислив Тх и для принятых по условию примера трех зна­ чений относительного коэффициента затухания ФМ С= 10; 20; 30, имеем

С

Т и сек

с,

10

5,66

1,77

20

8,0

1,25

30

9,8

1,02

§ 5.3] ПРИМЕРЫ НА ИССЛЕДОВАНИЕ ГУ 357

Тогда для дисперсии решения уравнения (341) формула (241) дает

ЪЧ22

\ и

і Z-lT1 / u it иЛ

 

 

D Iß (* )] = - £ Г (! _

7-202)2 + 4

4_ Г 1(І (Сх + 7 »

+ T f c ^ ] •

( 5 - 3 4 2 )

Д л я среднего

квадратического

значения

имеем

 

 

^

Ш

] '

 

(5.343)

Для принятых в примере условий формулы (342) и (343) дают

следующие значения D [ (3 (і) ]

и о„:

 

с

D [ß («)], р а д 2

 

'ß

 

 

 

 

р а д

у е л . м и н

10

0,465-10-6

0 , 682-Ю-з

2,34

20

0,152-10-6

0,390-Ю-з

1,34

30

0,072-10-6

0 ,268-Ю-з

0,92

Из расчета следует, что среднее квадратическое отклонение оси гироскопа на качке при коррекции гировертикали от сильно задемпфированного маятника уменьшается с увеличением отно­ сительного коэффициента затухания.

Г Л А В А 6

НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПРИКЛАДНОЙ ТЕОРИИ ГИРОСКОПОВ

§6.1. Приводимые нелинейные задачи

1.Приводимые нелинейные системы. Полукомпасный эффект. Приводимыми нелинейными системами называются системы, опи­ сываемые дифференциальными уравнениями, в которые искомые функции, характеризующие поведение системы, входят линейно, но случайные функции, являющиеся возмущениями для данной системы, входят в правые части уравнений нелинейным образом. Рассматривая эти нелинейные функции как возмущения, в разби­ раемых случаях задачу можно свести к линейной и госпользоваться методами исследования линейных систем. Единственные добавочные трудности, которые при этом возникают, связаны с на­ хождением моментов (или законов распределения, если они необ­

ходимы для решения задачи) нелинейных выражений случайных функций с заданными вероятностными характеристиками.

Срядом приводимых нелинейных задач мы уже имели дело

впредыдущих главах. Например, к этому классу задач относятся

задачи с сухим трением, рассмотренные в § 4.1, а также задачи,

вкоторых учитывается нелинейная характеристика коррекции ГУ.

Внастоящем параграфе будет рассмотрен еще ряд примеров приводимых нелинейных гироскопических систем, представляю­ щих интерес в том или ином отношении.

Начнем с рассмотрения движения свободного гироскопа с уче­ том вращения Земли и моментов сил сухого трения в осях подвеса.

Втом случае, когда ось вращения гироскопа установлена в го­ ризонтальной плоскости перпендикулярно диаметральной пло­ скости корабля (плоскости симметрии самолета), прецессионные уравнения движения гироскопа направления имеют вид (cp0=const)

где ср0 — широта места; Ѳ(t) и tp (t) — углы крена и рыскания корабля, а постоянные тгц и \ связаны с моментами сил сухого

Смотрите также файлы