Файл: Свешников А.А. Вероятностные методы в прикладной теории гироскопов.pdf

трения Q , Qx в осях подвеса и кинетическим моментом Н соотно­ шениями

эффект» *), т. е. в том случае, когда моменты сил сухого трения превосходят гироскопические моменты из-за вращения Земли [33], существуют постоянные значения углов а и р , являющиеся реше­ ниями системы. Поэтому после достижения этих значений углы , а и р перестают изменяться и, следовательно, ось гироскопа не будет перемещаться относительно Земли — наблюдается «захват» гироскопа силами трения, в результате которого ГН перестает быть «чувствительным» к вращению Земли.

Исследуем, как изменится движение ГН при наличии случайных

а углы а и ß (при непродолжительном времени работы гироскопа направления) можно считать малыми. Тогда систему (1) можно переписать в виде

â = — U sin ср0 + U cos <р0 • р + т)2 sign Ѳ, Р = — U соя ср0 • а — тг]1 sign cp.

Уравнения (4) характеризуют приводимую нелинейную систему, так как, положив

получим линейную систему дифференциальных уравнений. Умножив второе уравнение системы (4) на і и складывая с пер­

вым, для комплексной функции

*) Так называемый «полукомпасный эффект» [40] состоит в сохранении

положения оси свободного гироскопа неизменным в инерциальном про­ странстве.

, Будем считать начальные условия нулевыми. В этом случае С = = 0 и, следовательно,

Примем, что рыскание объекта, на котором установлен ГН, связано только с наличием ошибок удержания заданного курса.

Определяя математическое ожидание выражения (11), получим

поскольку в рассматриваемом случае z = 0 вследствие стационар­ ности и нормальности случайных процессов Ѳ (t) и <р(t).

Формула (13) показывает, что 8 (t) при росте t будет меняться по гармоническому закону с амплитудой колебаний tg ср0 и часто­

лами сухого трения при наличии случайных моментов сил трения в подвесе, возникающих вследствие случайных колебаний объекта, имеет специфические особенности: во-первых, явление захвата

математические ожидания этих углов не являются постоянными, но колеблются около постоянных (в данном случае нулевых) значений с амплитудой tg <р0; наконец, в-третьих, в полученном результате отсутствуют граничные значения сил сухого трения, меньше которых наблюдается полукомпасный эффект [40]. По­ следнее обстоятельство связано с тем, что мы с самого начала пред­ положили постоянные % и -rj2 достаточно большими, чтобы не учи­ тывать случаи, когда моменты сил трения будут по модулю меньше

и другие ГУ, характеризуемые линейными дифференциальными уравнениями, содержащими в правых частях нелинейные функ­ ции случайных процессов с известными вероятностными харак­ теристиками. Единственной трудностью, которая возникает при таком исследовании по сравнению с анализом линейных систем, является вычисление моментов нелинейных выражений заданной случайной функции. Решение этой задачи для того случая, когда

было приведено в § 4.1.

Рассмотрим решение аналогичной задачи для нелинейностей более сложного вида. В качестве первого примера исследуем не­ линейное звено «гистерезисного» *) типа, т. е. нелинейную зави­ симость случайной функции Z (t) от стационарной случайной функ­

то зависимость (17) также можно представить в интегральной форме. Действительно, непосредственная проверка дает, что равенству (17) эквивалентно равенство

*) Звено рассматриваемого типа имеет характеристику, отличающуюся от гистерезисной петли, рассматриваемой, например, в теории магнетизма. Поэтому название «гистерезисное звено» в данном случае носит условный характер.

S в.п ПРИВОДИМЫЕ Н Е Л И Н Е Й Н Ы Е ЗАДАЧИ 363

Вычисляя математическое ожидание выражения (19) и мате­ матическое ожидание произведений таких выражений, написан­ ных для моментов времени t и £+ т, получим возможность выра­ зить z (t) и Ке (т.) через характеристическую функцию Е (и) слу­ чайной величины X (t), характеристическую функцию Е (uv u2) системы случайных величин X (t), X (t \- т) и характеристическую

Для нормального случайного процесса X (t) ряд интегрирований в последних формулах может быть выполнен.

Аналогичным образом исследуются приводимые нелинейные системы и в других случаях.

Рассмотрим в качестве второго примера гистерезисное звено в точном смысле этого слова, т. е. такую нелинейную зависимость между входом звена X (t) и его выходом Z (t), которая опреде­ ляется формулой

Отличие данного нелинейного звена от «гистерезисного звена», рассмотренного выше, состоит в том, что в данном случае зависи­ мость Z (t) от X (t) является инерционной в том смысле, что зна­ чение Z (t) в данный момент времени зависит от значений X (t)