Файл: Свешников А.А. Вероятностные методы в прикладной теории гироскопов.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 10.04.2024

Просмотров: 268

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

364 Н ЕЛ И Н Е Й Н Ы Е УРАВНЕНИЯ ПРИКЛАДНОЙ ГИРОСКОПИИ [ГЯ. в

иX (t) в момент времени, при котором ордината входного процесса пересекает границу области (—а, а). Несмотря на это усложнение,

ив данном случае для нелинейной зависимости Z (t)=F [X (£)] можно найти интегральное представление, используя которое моменты ординат случайной функции Z (t) можно выразить через характеристические функции ординат функции X (t) и ее производ­ ной.

Действительно, непосредственная проверка дает, что усло­ виям (22) эквивалентно равенство

Z (t) = 8 [X (t) — а] [1 + sign X (*)] —

 

— 8 [X (t) -f- a] [1 — sign X (£)].

(6.23)

Подставляя в это выражение вместо sign X (t) интегральное представление типа (18) и заменяя дельта-функции 8 (х) интеграль­ ным представлением (1.8), т. е. формулой

 

 

 

 

СО

 

 

 

 

 

 

8(ж) = -^

j eixudu,

 

(6-24)

и интегрируя по t, получим

 

 

 

 

t

СО

 

 

 

 

 

 

Z(£) = ^ - j

J |g<«[X(*i)-a] ---ei u [ X ( t , d u

d t i

 

 

О

— со

со

со

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

^

^

^

 

 

j у/

 

 

О

— со — со

 

 

 

 

 

 

 

 

Хе<«,*(Ц)

+

(6.25)

 

 

 

 

 

 

иі

 

где А — значение функции Z (t)

при

t = 0,

которое

зависит от

того, при каком начальном значении ординаты X (t) включается рассматриваемое нелинейное звено.

Дальнейшее вычисление математического ожидания и корре­ ляционной функции Z (t) аналогично получению формул (20) и

(21),

но окончательные формулы, естественно, усложняются.

3.

Приводимая система, содержащая в правой части полином

случайной функции. В заключение рассмотрим приводимую не­ линейную систему, нелинейность которой связана с тем, что пра­ вые части уравнений системы содержат входные случайные функ­ ции в виде полиномов более высокой степени, чем первой.

Простейшим примером уравнения такого типа является урав­

нение (3.30) ГН с учетом упругой податливости ротора,

которое

после введения обозначения

 

 

а

ml

(С* — % )

(6.26)

Н cos Р0суісг

 

 

 

§ 6.2] НЕПРИВОДИМЫЕ Н Е Л И Н Е Й Н Ы Е ЗАДАЧИ 365

принимает вид

b(t) = a W yi{t)W,(t),

(6.27)

где W Ух (t) и Wz (t) — компоненты ускорений точки подвеса ГУ. Обозначая правую часть равенства через 7 (t), т. е. положив

Z(t) = a W Vl(t)W,(t),

(6.28)

задача и в этом случае сводится к линейной и для ее решения в рам­ ках корреляционной теории достаточно определить математиче­ ское ожидание и корреляционную функцию Z (t). Эти вычисления просто выполняются только тогда, когда WУі (t) и Wг (t) являются нормальными случайными функциями. В этом случае, используя

общую формулу (1.41),

получим (считаем W Ухи W z стационарными

с нулевым математическим

ожиданием)

 

 

z (t)— aRwyWz (0) = const,

 

(6.29)

 

Kz(т) = a12\Ka^ (i) KUt(x) +

RWywz(t) RWzWyt)J.

(6.30)

 

§ 6.2. Неприводимые нелинейные задачи

 

 

 

прикладной теории гироскопов

 

1.

ГУ,

характеризуемые неприводимыми нелинейными урав­

нениями. Как было указано в начале данной главы, неприводимые

нелинейные задачи прикладной

теории гироскопов

возникают

тогда, когда искомые функ­

 

 

 

 

ции

времени

входят

в

 

 

 

 

уравнения движения

ги­

W )

 

Нелинейный элемент

y(t)

роскопического устройства

 

 

 

 

 

 

 

нелинейным

образом.

В

 

 

 

 

этом случае простой за­

 

 

 

 

меной переменных уже не

 

 

 

 

удается свести задачу к ли­

Рис.

6.1.

Структурная схема неприводимой

нейной и анализ гироско­

 

 

нелинейной системы.

пической системы сущест­

 

 

 

 

венно усложняется.

 

 

 

 

 

Неприводимую нелинейную динамическую систему схемати­

чески

можно

представить,

например, так, как это изображено

на рис. 6.1 или рис. 6.2, где X (t) — случайная функция, харак­ теристики которой предполагаются известными, a Y (t) — выход­ ная функция системы, характеристики которой подлежат опре­ делению.

Будем считать нелинейный элемент системы безынерционным. В этом случае систему, схема которой изображена на рис. 6.2,

366 Н ЕЛ И Н Е Й Н Ы Е УРАВНЕНИЯ ПРИКЛАДНОЙ ГИРОСКОПИИ [ГЛ. 6

будет характеризовать дифференциальное уравнение следующего вида:

ЬУ(*) =

<Р[Я:(*) + Г(*)],

(6.31)

где L — линейный оператор,

а cp (z) — характеристика нелиней­

ного элемента, которая в данном случае является однозначной функцией своего аргумента.

Характеристика нелинейного элемента <р(г) может быть или непрерывной функцией, допускающей разложение в ряд до сте­ пеням г, или разрывной функцией, характеризующей существенно нелинейное звено (рис. 2.15). Независимо от вида нелинейной

х а ;

Нелинейный

Линейная часть

Y(t)

 

элемент

системы

 

Рис. 6.2. Нелинейный элемент if линейная часть нелинейной неприводимой ~системы.

характеристики cp (z), при^исследовании уравнения (31) возни­ кают трудности, связанные с невозможностью в общем виде напи­ сать решение этого уравнения, т. е. явно выразить функцию Y (t) через функцию X (t). Это приводит к необходимости применения различных приближенных методов. Прежде чем рассматривать не­ которые из них, приведем примеры ГУ, характеризуемые непри­ водимыми нелинейными уравнениями.

Система уравнений ГН на качке при наличии маятниковой кор­ рекции (3.37) имеет вид

“ — ßÖcos (а0 + а) = 0,

)

(3-)- xß = —(Ѳ+ -/.О+ х'Ѳ) sin (а0 -)- а), f

Эта система является нелинейной вследствие наличия тригоно­ метрических функций угла ( Ofl-f- а). Если угол а можно считать малым, то система становится линейной и ее анализ может быть выполнен обычными методами исследования линейных систем. Если предположение о малости этого угла не может быть принято, данное ГУ следует рассматривать как нелинейное и использовать специальные методы для его анализа.

Аналогичный вид имеет и система уравнений (3.242) силового ГН, если в правых частях равенства учесть изменение угла а относительно его начального значения а (0):

« =

if cos [а (0) + а],

|

Т{і + ß =

— 7г sin Iа (0) + а|,

(6.33)

I

§ 6.2]

НЕПРИВОДИМЫЕ Н Е Л И Н Е Й Н Ы Е ЗАДАЧИ

3R7

в которой у (t) — случайная функция с заданными характери­ стиками.

Нелинейность уравнений многих ГУ связана с тем, что возму­ щающая функция входит в качестве аргумента нелинейного выра­ жения в виде суммы с углом, характеризующим ошибку гироскопа.

Примером уравнений такого типа может служить уравне­ ние (3.6) трехстепенного астатического гироскопа, в котором мо­ менты МХі и М взяты в соответствии с (2.102):

 

К . ь ß — # â cos ß0=

— Щ х — Qx sig n ф +

Ь),

j

 

 

/rcä + /7ßcOsß0 =

M0y--<?ySign(â + <p).

)

 

 

Аналогичной является

и

система

уравнений

(3.68)

'"прецес­

сионного движения для ГВ

с

нелинейной характеристикой кор­

рекции

 

 

 

 

 

 

 

* = —Сх?х Іа — Хі (01 +

I

 

 

(6.35)

 

 

 

 

[

 

 

где

(z) и cp (z) — характеристики нелинейных звеньев,

которые

могут иметь один из указанных на рис. 2.15 видов, а М 1и М 2обозна­ чают остальные моменты, действующие по соответствующим осям подвеса ГВ.

К этому же типу принадлежит уравнение ГВша качке при не­ линейной характеристике коррекции cp (z), учитывающее перенос­

ную угловую скорость системы отсчета ([23 ], стр.

344):

ä = — un~ c xf\<x — x(t)\,

(6.36)

где X (t) — угол отклонения маятника-корректора, а — соста­ вляющая угловой скорости вращения Земли.

Наконец, к этому же типу относится и система уравнений (3.74) ГВ с нелинейной коррекцией и жидкостным трением

Jr.3 — На + п ф = В х<?х [а — Хі(*)] — n2<|>(«),

1

J І7,ѵ.-\г Щ + пха. = —

— Xs(0J + »iö(0-

I

Имеется также большое число ГУ, нелинейность уравнений которых связана с тем, что входной величиной существенно не­ линейного звена является угол отклонения гироскопа, предста­ вляющий собой искомый параметр рассматриваемой системы.

Примерами уравнений подобного типа могут служить:

а) уравнение (3.137) ГТ, учитывающее момент сил сухого трения в оси подвеса:

7'“р + '& Ц + ß — k ^ — РQу sign ß,

(6.38)

Смотрите также файлы