368 |
Н ЕЛ И Н Е Й Н Ы Е УРАВНЕНИЯ ПРИКЛАДНОЙ ГИРОСКОПИИ |
[ГЛ. 6 |
б) уравнение (3. 182) поплавкового ИГ, написанное с учетом момента сил сухого трения в оси вращения гироузла:
rp + (3= fe c_--i<2ysign|3, |
(6.39) |
в) уравнение (3.203) ГИ линейных ускорений с нелинейной характеристикой межрамочной коррекции, учитывающее моменты сил жидкостного трения в осях подвеса (cp^(ß)=sing ß):
7r aß — Hä n,ß = —mlwK— n2[& (t) cos а — ф (t) sin а],
(6.40)
V + н$ + nxä = —Bl/sign ß + щf (t).
и ряд других уравнении.
Строго говоря, все уравнения ГУ, рассмотренные ранее, яв ляются линейными только приближенно, если пренебречь силами сухого трения, люфтами в кинематических цепях и т. д. и пренебре гать угловыми скоростями вращения оси гироскопа по сравнению с угловыми скоростями объекта, на котором установлено ГУ. По этому рассмотрение нелинейных задач прикладной теории гиро скопов имеет интерес не только с точки зрения получения результатов в тех случаях, когда линейная теория является неприменимой, но и в тех случаях, когда интуитивно представляется допустимым пользо ваться линейным приближением. В последнем случае исследова ние задачи в нелинейной постановке должно подтвердить эти ин туитивные представления и дать оценку точности результата, полу чаемого при линейной постановке задачи. Кроме того, как известно из механики, уравнения движения гироскопа являются нелиней ными вследствие того, что они содержат произведения проекций угловой скорости гироскопа. Эти нелинейные уравнения в при кладной теории гироскопов обычно заменяются линейными путем отбрасывания нелинейных членов, которые во многих задачах можно считать малыми. Поэтому представляет интерес рассмо треть некоторые уравнения ГУ, сохранив в них произведения составляющих угловых скоростей. В качестве примера таких урав нений можно указать уравнения трехстепенного астатического гироскопа в кардановом подвесе при наличии жидкостного трения в осях, которые имеют вид
( /» + |
^в.э)Р + (^ э + |
^в.э— / B.)â2SinßcOsß — |
|
|
|
— Hä cos ß + ra2ß = |
—nj) (t), |
[(•^ + |
-^.3) cos2 ß + |
7Bsin2 ß + / H(:] * + |
(6.41) |
+2 (7B— 7B— 7B.э) âß sin ß cos ß +
+#ß cos ß -f- n^ä = —njtp (t),
где Ö(t) и cp (t) — угловые скорости вращения основания ГУ.
§ 6.2] |
НЕПРИВОДИМЫЕ Н ЕЛИНЕЙН Ы Е з а д а ч и |
369 |
Если пренебречь моментами сил трения в осях подвеса и в ка честве начальных условий принять
а (0) = а (0) = 0; |
ß ( 0 ) ^ 0 , |
ß ( 0 ) ^ 0 , |
(6.42) |
то решение системы уравнений (41) методом последовательных приближений показывает [87], что угол а поворота наружного кольца подвеса начнет изменяться с постоянной угловой скоро стью, т. е. мы будем иметь эффект, качественно отличающийся от результата, следующего из линейной теории (эффект К. Магнуса). Представляет интерес исследовать, насколько нелинейный харак тер этих уравнений может изменить результаты линейной теории при наличии случайных вращений основания ГУ.
В качестве второго примера уравнения ГУ, написанного с уче том слагаемых, содержащих произведения составляющих угловой скорости, приведем уравнение (3.113) гиротахометра
г. эр + |
Щ + с(3 = / г |
8(Ь |
+ |
Н (со cos ß — <о£ sin ß) — |
|
|
( |
2 ___ |
2 |
\ |
(6.43) |
|
; |
|
sin 2ß + |
cos 2ßj |
2. |
Определение |
вероятностных |
характеристик |
решений не |
линейных уравнений. Прежде чем исследовать нелинейные уравне ния конкретных ГУ, рассмотрим общие методы определения вероят ностных характеристик решений нелинейных уравнений. Эти методы могут быть разбиты на три основные группы:
а) методы, основанные на разложении по степеням малого пара метра нелинейных выражений, входящих в уравнения, или вы ходной функции системы;
б) различные методы последовательных приближений; в) методы, основанные на применении теории марковских про
цессов.
Метод разложения по степеням малого параметра уже при менялся нами в § 5.2 при нахождении вероятностных характери стик уравнения второго порядка, содержащего в коэффициентах уравнения случайные функции с заданными вероятностными ха рактеристиками.
При практическом применении этого метода следует различать два случая. В первом случае решение ищется в виде разложения по степеням параметра, который из физических (или математиче ских) соображений можно считать малым, причем все нелинейные выражения, входящие в уравнения, разлагаются по степеням этого же параметра. Приравнивая затем коэффициенты у одина ковых степеней этого параметра в правых и левых частях равен ства, получаем бесконечную систему линейных уравнений, в каж дое следующее из которых в правые части входят только функции, найденные при решении предыдущих уравнений, а также матема тическое ожидание искомой функции, определяемое нелинейным
24 А. А. Свешников, С. С. Рипкии
370 |
Н Е Л И Н Е Й Н Ы Е У Р А В Н Е Н И Я П Р И К Л А Д Н О Й Г И РО С К О П И И [ГЛ. 6 |
уравнением, не содержащим случайных величин и функций. Таким образом, если подобный процесс сходится, то мы получаем искомую функцию в виде ряда по степеням малого параметра, коэффициентами которого являются случайные функции, свой ства которых могут быть определены путем последовательного нахождения вероятностных характеристик решений линейных уравнений, что не связано с принципиальными трудностями.
Во втором случае решение по-прежнему ищется в виде разло жения по степеням малого параметра, однако коэффициенты этого разложения определяются методом, не использующим разложения нелинейных выражений, входящих в уравнения, по степеням этого параметра. Поэтому второй способ является предпочтительным
втом случае, когда в уравнения входят характеристики суще ственно нелинейных звеньев, которые не могут быть разложены
вряд Тейлора.
Независимо от того, какая из этих двух разновидностей метода малого параметра используется, при вероятностном анализе реше ний нелинейных уравнений, в качестве малых величин обычно рас сматриваются отклонения случайных величин (или случайных функций) от их математических ожиданий, а в качестве малого параметра выбираются искусственно введенные коэффициенты у этих отклонений, которые в окончательных формулах должны быть положены равными единице.
В данном параграфе мы будем использовать только первый спо соб применения метода малого параметра. Идея этого способа и вывод необходимых расчетных формул были достаточно подробно рассмотрены в § 5.2 и не требуют добавочных пояснений.
Второй способ применения метода малого параметра в том виде, какой ему придал Б. Г. Доступов [25], был кратко рассмотрен в § 5.1 применительно к исследованию решения уравнения, зави сящего нелинейным образом от случайной величины. Применение этого метода к исследованию решения уравнений, содержащих нелинейным образом случайные функции, будет показано в главе 7 при рассмотрении вопроса об использовании вычислительных машин для определения вероятностных характеристик решений дифференциальных уравнений, определяющих поведение сложных гироскопических систем.
Рассмотрим сущность одной из разновидностей применения метода последовательных приближений для определения вероят ностных характеристик решения нелинейного уравнения.
Пусть уравнение ГУ имеет вид (31)
L Y ( l ) = <?[X{t) + Y ( t ) l |
(6.44) |
где X (t) — заданная случайная функция, характеризующая слу чайные возмущения, действующие на гироскопическое устрой-
8 6.2] |
НЕПРИВОДИМЫЕ Н Е Л И Н Е Й Н Ы Е ЗАДАЧИ |
371 |
ство, |
а 7 (t) — случайная функция, характеризующая |
поведе |
ние ГУ (например, ошибка ГУ); L — линейный оператор, а cp (z) — характеристика нелинейного безынерционного звена, которое может быть и существенно нелинейным. Обозначим
;(*) = А ' ( 0 + У ( 0 |
(6.45) |
и будем считать Y (t) «малой» по сравнению с X (t), понимая под этим малое влияние второго слагаемого в (45) на моменты функ ции ^ (t). Подобное предположение при исследовании ГУ часто может быть сделано, так как средние квадратические ошибки ГУ, как правило, на порядок и более меньше средних квадратических отклонений внешних возмущений. Пренебрегая поэтому Y (t) в пра вой части уравнения (44), получим уравнение для определения первого приближения Y 1 (t) искомой функции Y (t). Это уравне ние имеет вид
L7 ,(0 = ? [А (і)] |
(6.46) |
иявляется уравнением приводимой нелинейной системы. Следо вательно, применяя методы, рассмотренные в предыдущем пара графе, при известном законе распределения случайной функции X (t) можно определить все необходимые моменты функции 7 , (t)
итем самым вычислить закон распределения ординаты функции
7 , (t) с любой точностью, используя разложения типа ряда Шарлье (1.44). Подставив затем 7 , (t) вместо 7 (t) в формулу (45), получим значение функции £,(£), являющейся первым приближе нием функции С(t):
С,(*) = А(*) + 7,(i). |
(6.47) |
Для определения моментов ординат функции |
С, (t) необхо |
димо, кроме моментов функции А (t) и функции 7 , (f), располагать еще смешанными моментами этих функций. Их нахождение осу ществляется теми же методами, что и вычисление моментов 7 , (t). Действительно, обозначая весовую функцию, соответствующую оператору L, через I ( т) (будем считать для простоты оператор L стационарным и однородным, а начальные условия нулевыми),
получим |
^ |
|
Y1 |
(т) ср \Х (I — т)1 dz. |
(6.48) |
|
о |
|
Умножая последнее равенство на X (^) и находя математиче ское ожидание обеих частей равенств, получим
t
я** (/, h) + у, (t) X(/,) = j I (Z) M (A (*,) F [X (t - T) J) dz, (6.49)
0
где математическое ожидание, стоящее под знаком интеграла,
372 Н ЕЛ И Н Е Й Н Ы Е УРАВНЕНИЯ ПРИКЛАДНОЙ ГИРОСКОПИИ [ГЛ. в
может быть вычислено, поскольку закон распределения X (t) предполагается известным. Аналогичным образом могут быть вы числены смешанные моменты и более высокого порядка. Таким образом, все необходимые моменты случайной функции (t) могут быть найдены, а следовательно, может быть получен и закон распределения этой функции с любой точностью. Для опре деления функции У2 (t), являющейся вторым приближением функ ции Y (t), подставим в (44) вместо С(t) = X (t) -f- Y (t) первое при ближение Cj (t), после чего получим
L Y z (t) = ?[Zi(t)]. |
(6.50) |
Уравнение (50) соответствует приводимой нелинейной системе. Поэтому необходимое число моментов функции У2 (t) может быть найдено указанным выше методом. Следовательно, можно опре делить и необходимое число моментов С2 {t)~X (£)+У2(£) и вы числить моменты случайной функции У3 (t), определяемой фор мулой
Ы 3 (*) = ?& (*)]■ |
(6-51) |
Этот процесс можно продолжать далее до тех пор, пока после довательные приближения Yj (t) и У ,+1 (t) (их моменты) перестанут
существенно отличаться друг от друга (если, разумеется, процесс сходится). Вычисление каждого последовательного приближения, естественно, усложняется, однако выполнение всех этапов вы числений не связано с принципиальными трудностями. Вы числения упрощаются в том случае, когда функция У (t) может считаться «малой» по сравнению с X (t), и следовательно, для нор мального процесса X (і) закон распределения С(t) можно полагать нормальным.
К методу последовательных приближений примыкает метод статистической линеаризации [2б], [85], состоящий в том, что не линейную функцию tp [С (t) ] приближенно заменяют линейной, полагая
ч>К (* )]» * !+ &,;(*), |
(6.52) |
где параметры кг и кг подбираются таким образом, чтобы получаю щаяся при такой замене линейная система была бы по возможности ближе к нелинейной системе, описываемой уравнением (44), что можно достигнуть, уравняв наибольшее число моментов правой и левой части равенства (52). Так как мы располагаем двумя пара метрами, то имеется возможность уравнять только первые два момента, потребовав, чтобы выполнялись равенства
*i + W ) = M M C (*)]}, \
(6.52)
Ä |D [C (0 1 = D { ? [C (0 |} . 1
