Файл: Свешников А.А. Вероятностные методы в прикладной теории гироскопов.pdf

располагать законом распределения случайной функции С(t), которого мы не знаем, поскольку ее закон распределения зависит от закона распределения Y (t), являющейся искомой функцией данной задачи. Однако в методе статистической линеаризации обычно предполагается, что закон распределения С(і) мало отли­ чается от нормального. Следовательно, правые части равенств (53) могут быть вычислены и для каждого вида нелинейности <р(Д оказываются зависящими только от математического ожидания и дисперсии С(<). В этом случае равенства (53) позволяют опреде­ лить параметры к х и к2, а, учитывая приближенную замену (52), нелинейная задача оказывается замененной «эквивалентной» ли­ нейной задачей, решая которую обычными для линейных систем способами, можно определить величины М [" (£) ] и D (С(t)) и использовать их для уточнения к ± и к 2. Однако легко видеть, что применяемый при этом метод последовательных приближений не позволяет устранить ошибки, возникающие вследствие прибли­ женной замены (52). Поэтому данный метод, давая в ряде случаев приемлемую точность, не позволяет не только уменьшить возникаю­ щую при его применении ошибку, но и не дает возможности оце­ нить порядок величины этой ошибки. Поэтому могут быть случаи, когда применение метода статистической линеаризации может привести к искажению существенных особенностей рассматривае­ мой нелинейной системы.

Методы, основанные на применении теории марковских про­ цессов, также предполагают определенные допущения, однако эти допущения имеют совсем другую природу, чем в методе малого параметра или методе линеаризации, и не отличаются от допуще­ ний, обычно применяемых в корреляционной теории случайных функций.

В§ 5.2, п. 2 было показано применение марковских процессов

кисследованию свойств решения уравнения второго порядка спе­ циального вида. Рассмотрим решение более общей задачи. Пред­ положим, что функция X (t), являющаяся входом в нелинейную систему, обладает дробно-рациональной спектральной плотностью

Я » = |Р»(М I2 и является нормальной. Тогда в соответствии

с формулами (1.107) и (1.108) ее можно рассматривать как реше­ ние дифференциального уравнения

где р — оператор дифференцирования по времени, а %(t) — бе­ лый шум. В этом случае, как это было отмечено в § 1.3, X (t) можно рассматривать как компоненту и-мерного марковского про­ цесса.

Предположим, что оператор L, входящий в уравнение (44), описывающее исследуемую нелинейную динамическую систему, имеет вид

коэффициентами). Перейдем и в этом случае от одного дифферен­ циального уравнения к-то порядка к системе к уравнений первого

Первые n уравнений являются следствием наличия дробно­ рациональной спектральной плотности у стационарного случай­ ного процесса X (t), являющегося возмущением в данной задаче, а последние к уравнений эквивалентны уравнению (44), причем символ j в правых частях этих уравнений показывает, что нелинейная функция F входит только в одно уравнение (в приня­ тых обозначениях — в последнее).

Система (58) является системой уравнений первого порядка и, следовательно, ее решение однозначно определяется начальными значениями искомых функций Ur(t) (г=1, 2, . . ., п-\-к). С другой стороны, наличие в правых частях уравнений белого шума \ (t) не может привести к вероятностной зависимости ординат процес­ сов Ur (t) в будущие моменты времени от значений ординат про­ цессов в прошлые моменты времени. Поэтому случайные функции Ur (f) являются компонентами многомерного (п-\~к мерного) мар­ ковского процесса и для их исследования может быть применен аппарат теории марковских процессов. В частности, для плотности

получено многомерное уравнение Колмогорова, коэффициенты которого выражаются через коэффициенты системы уравнений (58) по формулам, аналогичным формулам (1.132) и (1.133) для одно­ мерного марковского процесса.

Несмотря на то, что решение уравнений Колмогорова в ряде случаев может представлять существенные математические труд­ ности, применение теории процессов Маркова сводит задачу ис­ следования нелинейной динамической системы к определенной математической схеме расчета, реализация которой хотя и может быть связана с вычислительными трудностями, но не вызывает никаких принципиальных затруднений. Для применения этой схемы расчета является существенным, что исходные допущения (дробно-рациональная спектральная плотность и нормальный за­ кон распределения ординат случайной функции, являющейся возмущением для данной системы) обычно принимаются в технике, и следовательно, в этом методе исследования нелинейных систем не делается никаких добавочных допущений. В частности, харак­ теристика нелинейного звена F (С) учитывается в том виде, в ка­ ком она задана в условиях задачи.

Выбор различных методов исследования нелинейных систем зависит от характерных особенностей рассматриваемой задачи

итребует определенного опыта исследователя.

3.Гироскоп направления. Рассмотрим исследование несколь­ ких нелинейных ГУ, уравнения которых приведены в начале дан­ ного параграфа. В качестве первого примера рассмотрим ГН, ха­ рактеризуемый системой уравнений (32), в которой угол а0 не будем считать малым. Наоборот, углы а и ß, являющиеся ошиб­ ками ГН, можно считать малыми, и следовательно, возможно приме­ нение метода малого параметра. Искусственно вводя «малый»

параметр ѵ, перепишем систему (32) в виде (заменив, а0 на а0)

где случайную функцию Ѳ (t) будем считать для простоты стацио­ нарной, нормальной и обладающей нулевым математическим ожи­ данием. Положим

а (t) = а0(t) -f vgCj (t) + v2a2 (t) + . . ., |

и будем последовательно определять функции Uj (t) и ß . (t) таким образом, чтобы коэффициенты уѵ7 в левых и в правых частях

376 Н Е Л И Н Е Й Н Ы Е У РАВНЕНИ Я ПРИКЛАДНОЙ ГИРОСКОПИИ [ГЛ. 6

равенств совпадали, т. е. применим обычную схему решения задачи методом малого параметра. Подставив (60) в (59), получим

<х0 (t) + V*! (0 + v2â2 (0 + • • • — ß0 (0 9 (t) cos а0 +

+Ѳ(t) V[—ßj (£) • cos a° + ao (t) ß0 (t) sin a°] -f-

+Ѳ(£) V2 |^а0 (t) ßx (t) sin a° — ß2 (t) cos a° -}-

+ßo (0 ai (0 sin z° + у а2 (г) ß0 (0 cos а0 + . . . = 0,

(6.61)

Приравнивая коэффициенты у v°, v 1 и v2 , получим три системы уравнений для определения искомых функций а (£) и ß (£) в нуле­ вом, первом и втором приближениях:

Как и должно быть в методе малого параметра, левые части полученных систем уравнений являются одинаковыми, а в правые части входят функции а . (t), ß. (t), определяемые системами урав­

нений для меньших значений индекса /. При этом полученные си­ стемы уравнений являются линейными, а их правые части содер­ жат а. и ß . нелинейным образом.

Рассмотрим последовательное решение полученных уравнений, считая для простоты начальные условия нулевыми. Начнем с ре­