Файл: Свешников А.А. Вероятностные методы в прикладной теории гироскопов.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 10.04.2024
Просмотров: 263
Скачиваний: 1
§ 6 .2 ] |
Н е п р и в о д и м ы е н е л и н е й н ы е з а д а ч и |
37? |
шения системы (62). Второе уравнение этой системы не зависит от первого и имеет решение
t |
|
|
ß0 (t) = —sin а 0 ^ |
[б (fj) + *Ѳ (^) + х'Ѳ (fj)] dtv |
(6.65) |
о
Подставляя (65) в первое уравнение системы (62) и интегрируя, получим
t t2 |
|
a0(t) — —cos a0 sin a0 j j |
(-хѲ(іх) + х'Ѳ^)] dt-fit2. (6.66) |
о о
Таким образом, решения исходной системы [(59) в нулевом приближении явно выражены через случайную функцию Ѳ(t), параметры которой предполагаются известными. Поэтому моменты ординат случайных функций a0 (t) и (30 (і) могут быть выражены через моменты случайной функции Ѳ(t), а учитывая сделанное предположение о нормальности этой функции, через корреляцион ную функцию K q ( х). Например, находя математические ожида ния обеих частей равенств (65) и (66), получим
Ро —
t
â0 = у sin 2a° |
J e-*T |Д Ѳ(x) — x K 6 |
(х) — х 'іГ ѳ (х)] (t — х) dx. |
(6.67) |
|
о
Возведя в квадрат и перемножая (65) и (66), после нахождения математического ожидания получим
|
*2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
к Ф ѵ ti) = sin2«0 S (*2 — |
|
|
|
+ |
(2xx' — 1)KB(x) + |
||||
-j-x ,27sT0V (x)] d x -{-sin2a° |
^ |
(tx— x) e |
[х2ІІГѳ( x ) |
- f - |
|||||
|
+ (2xx' — |
1) if j (x) + |
x'2/ ^ |
(x)] dx _ |
|
||||
|
— sin2«0 |
I (ts — 11 — х)[х2^ |
ѳ(т)-(- |
(6.68) |
|||||
|
|
+ |
(2хх' — |
l) к в (x) + ^ k v |
(t)] dx, |
||||
K«a(ti, |
t2) — |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t21* |
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
T sm !2a° j J e - ^ |
- ^ F |
(x1( |
xs) dx1dx2 — ä0 (^) ä0 (£2), |
|||||
00
*-a (^i) t2) — o,
MS Н Е Л И Н Е Й Н Ы Е У Р А В Н Е Н И Я П Р К Л А Д Н О Й Г И РО С К О П И И [ГЛ. (і
где F (т:1, т2) — квадратичная форма, состоящая из корреляцион ных функций К %(tj), К ц(т2) и их производных, а взаимная кор реляционная функция R aß0(Д, t2) обращается в нуль вследствие того, что подынтегральное выражение содержит математические ожидания трех центрированных нормальных случайных величин, тождественно равные нулю.
Для нахождения моментов ах (t) и ßx (t), необходимых для по лучения моментов a (t) и ß (t) в первом приближении, следует проделать аналогичные выкладки с системой уравнений (63). Вычисления при этом усложняются вследствие того, что в правые
части системы функции а0 |
(t) и ß0 (t) входят нелинейным образом. |
|
Например, записав явное |
решение второго уравнения |
системы |
в виде |
|
|
t |
|
|
ßj (t) ~ — cos а0 ^ е~х(*-<3а0 (Д) [Ö(fj) -(- х9 (£х) -|- х'Ѳ (fx)] dt1 |
(6.69) |
|
о |
|
|
и подставляя полученный результат в первое уравнение, получим явное выражение а! (t) через заданную случайную функцию Ѳ(t) и функции а0 (t), ß0 (t). Следовательно, любые моменты ал (t) и ßx (t) могут быть найдены. Например, находя математическое ожидание (69), получим
ßj (t) = —cos а0 j |
Сі> ^г) |
|
|
|
|
dtx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ x/?0ocu(ti, tj) + X |
^2-^ва„ (h’ |
h) |
dtx. |
(6.70) |
|
dtf |
t2-t\ |
Для определения входящей под интеграл взаимной корреляцион ной функции а0(f3, I) достаточно умножить обе части (66) на 0 (t3) и найти математическое ожидание полученного таким образом выражения. Так как при этом под знаком интеграла появятся произведения трех центрированных нормальных случайных вели чин, то
|
« Ѳаи(і3, t) = |
0 |
|
и, |
следовательно, |
|
|
|
Рг(0 = |
0. |
(6.71) |
и |
Аналогично могут быть вычислены и другие |
моменты ßx (t) |
|
(t), которые будут уже отличны от нуля, и для нахождения |
|||
окончательного результата возникнет необходимость в вычисле нии многократных интегралов.
Таким образом, применение метода малого параметра к данному примеру иллюстрирует правило, применимое ко всякому методу
§ 6.2] НЕПРИВОДИМЫЕ Н Е Л И Н Е Й Н Ы Е ЗАДАЧИ 379
последовательных приближений: применение этого метода явля ется достаточно простым, когда уже первые приближения (в на
шем случае — нулевое) |
позволяют получить необходимую точ |
|||
ность, |
а последующие |
приближения |
необходимы |
только для |
того, |
чтобы убедиться |
в достаточной |
точности первого прибли |
|
жения. |
нелинейной характеристикой |
коррекции. |
||
4. |
Гировертикаль с |
|||
В качестве второго примера рассмотрим уравнения прецессион ного движения ГВ с нелинейной характеристикой коррекции (35). Рассмотрим первое из этих уравнений, причем примем нелиней ную характеристику коррекции в виде sign)a(t)— и поло жим М 2= 0. В этом случае первое уравнение системы примет вид (индекс 1 у Хі опускаем)
* (0 = |
Сг si&n ІХ (t) — а (*)]. |
(6.72) |
|
где вероятностные характеристики х (t) |
предполагаются |
задан |
|
ными, и задача состоит |
в определении |
первых двух моментов |
|
ошибки гировертикали а (t). Будем считать начальные условия нулевыми, а угол отклонения маятника х (t) нормальной стацио нарной случайной функцией с нулевым математическим ожида нием^! заданной корреляционной функцией К (т). В данном слу
чае а (t) также можно считать малым по сравнению с х (t), однако применение метода малого параметра в его обычной форме здесь невозможно, так как правая часть уравнения не является непре рывной функцией разности х (t)— a (t), и следовательно, разложить эту функцию по степеням ѵа (t), подобно тому, как это мы делали в предыдущей задаче, невозможно. t 'm:-'-*
Метод последовательных приближений в том виде, в^каком он был рассмотрен выше, также не может быть применен.
Действительно, если для нахождения нулевого приближения
пренебречь |
в |
правой части |
уравнения (72) а (t) |
сравнительно |
|
с X (*)і то |
мы |
получим уравнение |
|
||
|
|
“о (0 == |
sign ft (f)l, |
(6.73) |
|
которое было рассмотрено в § |
4.1, где было показано, что |
||||
|
|
ЛГ2 |
t |
|
|
|
|
Г |
|
(6.74) |
|
|
D [«о (<01 = ~ |
) (t — т) arcsin kx(т) dr, |
|||
о
где кх (т) — нормированная корреляционная функция углов от клонения маятника х 00-
Таким образом, в качестве нулевого приближения мы получаем нестационарную функцию а0 (t). С другой стороны, из физических соображений ясно, что решением уравнения (72) после окончания
380 Н Е Л И Н Е Й Н Ы Е УРАВНЕНИЯ ПРИКЛАДНОЙ ГИРОСКОПИИ [ГЛ. 6
переходного процесса является стационарная случайная функция а (t). Таким образом, характер нулевого приближения резко от личается от точного решения задачи, и следовательно, метод по следовательных приближений или будет сходиться медленно, или вообще даст расходящийся результат.
Применение теории марковских процессов к этой задаче вполне возможно, поскольку угол отклонения маятника %(t) предпола гается нормальной стационарной случайной функцией, а допуще ние о дробно-рациональном виде ее спектральной плотности может быть принято.
Пусть для простоты корреляционная функция %(t) имеет вид
|
= а х е ^ІТ, |
|
(6.75) |
|
и плотности |
|
|
|
тс (ш 2 -f- |А2 ) * |
(6.76) |
|
|
|
||
В этом случае функции а (t) и %(0 |
определяются |
системой |
|
двух уравнений первого порядка: |
|
|
|
4 (*) = |
с х s i g n ІХ (t) — а |
(01. I |
(6 7 7 ) |
ü (0 + |
wc(0 = °x \/2 |
> |
|
где £ (t) — белый шум, имеющий нулевое математическое ожида ние и корреляционную функцию
а д = а д .
Как было отмечено в § 1.3, в этом случае функции
u i(t) = *(t), 1
(6.78)
U %(f)s s x (O J
являются компонентами двумерного марковского процесса. Сле довательно, двумерная плотность вероятности ординат этого про цесса удовлетворяет уравнениям Колмогорова, коэффициенты ко торых в соответствии с формулами (1.149) и (1.150) имеют вид
а і = |
С х sign (х2 — Xj), а2 = — pz2, |
|
&11 = |
&12 |
(6.79) |
0, &22 == |
||
Независимость коэффициентов а. и Ъ.г от времени показывает, что существует стационарное решение уравнений Колмогорова. Поэтому, отбрасывая во втором уравнении Колмогорова произ водную д//дт и обозначая, как обычно в теории марковских про цессов, через и У2 значения ординат функций U1 (t) и U%(t) в момент времени т, для определения плотности вероятности этих
