Файл: Свешников А.А. Вероятностные методы в прикладной теории гироскопов.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 10.04.2024

Просмотров: 259

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

382 Н ЕЛ И Н Е Й Н Ы Е УРАВНЕНИЯ ПРИКЛАДНОЙ ГИРОСКОПИИ [ГЛ. в

и ооозначим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X=

-

 

 

 

 

 

( 6. 86)

 

 

 

 

 

 

рѴ

 

 

 

 

 

 

В новых тгеременных уравнения

(82) и (83), (81)

примут вид

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ъ) =

 

(6-87)

х- ^ " і/ і і (7іі»

 

дгіі

Иг/ііОіі»

^)!

flId^i

^

:0 ,

(6 . 8 8 )

 

 

 

 

/и !1)!'

^2) =

/ 1 (

 

Іг)’

 

 

(6 . 89)

Для определения граничных условий при т)1 =

т)2, воспользовав­

шись нормальностью величины г;2, имеем

 

 

 

 

 

 

СО

/

К

.

^

'jg

=

7

^

e(6 . 90)2 •

 

 

S

Іг )

d7ii

Представим интеграл, стоящий слева, в виде

 

 

 

 

СО

 

Т)2

 

 

 

 

с о

 

 

 

 

 

5 Н'ПV Ѵа)=

5

fi(Vi>

 

+

5 fniVv

Ъ )аЪ-

(6- 91)

 

 

 

 

 

 

 

 

ь

 

 

 

 

Проинтегрировав

равенство

(87)

по ^

от — со до т/2, а равен­

ство (8 8 )

от г]2 до -)- со и складывая полученные результаты, учи­

тывая (90) и (91), после ряда преобразований получим

 

 

[ < ѵ +« )А < ч .- ^ +

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= >

— > /„ (ѵ

%) +

2

^

^

+

jyttS p Ll . . v

(6 . 92)

 

Будем искать решение уравнения (87) в виде

ряда

 

 

 

/іОін

Ъ) =

е

 

72=1

 

 

 

 

 

(6 . 93)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где D_n(X) — обозначение

функции

параболического

цилиндра с

отрицательным целым индексом:

 

 

 

 

 

 

 

 

(—I)”- 1

--у-d— 1 f ^ ir

 

 

 

(6 . 94)

 

v'J (и —1 ) 1

 

dz«-i\e

2 L

w

 

 

 

 

 

 

 

S 6.2]

НЕПРИВОДИМЫЕ Н ЕЛ И Н Е Й Н Ы Е ЗАДАЧИ

383

Отыскание решения в виде ряда (93) не накладывает ограни­ чений на искомое решение, поскольку этот ряд удовлетворяет уравнению (91) и граничным условиям на бесконечности. Подстав­ ляя ряд (93) в уравнение (90) с учетом (81), получаем:

o - ' D-

21l

е * ^П_

М - Т . ' * -

(В-95)

■"\V2

)+

s/2

 

Последнее равенство эквивалентно граничным условиям (92).

Умножив последнее равенство на /П

и интегрируя

по

получим бесконечную систему алгебраических уравнений для оп­ ределения ап:

 

 

 

СО

]

(6 . 96)

 

 

 

ajnan

 

 

 

х

где

 

 

 

 

 

а .

°°

_ % п_

 

 

 

 

е ~ г * '

 

 

 

J H

5

M i l ) M

i t ) 11 + ( - ’ ) ' К ' й -

<B - S 7 >

 

Система полученных Гуравнений позволяет определить коэф­ фициенты ап с любой точностью, так как для этого достаточно сохранить в ряде (93) первые п членов

М ъ . = % ~ + * n'D- 1 (т")*

(6 - 9 8 )

I—1

 

Для нахождения плотности вероятности случайной величины сс(т)=а плотность вероятности /(■»)], т)2) необходимо проинтегриро­ вать в бесконечных пределах по -ц2, заменить в окончательном выражении % на а/о^ и умножить результат на 1 /о Выполнив эти преобразования, получим

° ° f па ‘п _

/ ( « ) = — 2

а»

е™хj е

TjD- (

 

! ) +

 

 

 

X И=1

'

Ч*

V

 

7

 

 

 

 

 

 

_ ü i

'p

_ 3 . t

\

]

(6-99)

 

 

 

+

j

e“

 

.

Таким образом, применение теории марковских процессов поз­ волило не только определить моменты ошибок гировертикали с ре­ лейной характеристикой коррекции (72), но и найти закон распре­ деления этих ошибок, располагая которым, моменты любого по­

384 Н ЕЛ И Н Е Й Н Ы Е УРАВНЕНИЯ ПРИКЛАДНОЙ ГИРОСКОПИИ [ГЛ. б

рядка могут быть найдены простым интегрированием по формулам

(1.15).

Сделанное при этом предположение, что углы отклонения маят­ ника %(t) имеют корреляционную функцию вида (75), не является принципиальным, так как сущность метода не меняется, если нор­ мальная случайная функция (і) имеет дробно-рациональную спектральную плотность более сложного вида, однако число ком­ понент у многомерного марковского процесса увеличивается и весь расчет соответственно усложняется.

5. Гироскопический интегратор с нелинейной характеристикой межрамочной коррекции. В качестве следующего примера рас­ смотрим систему уравнений (40) для гироскопического интегра­ тора с нелинейной характеристикой межрамочной коррекции, т. е. систему вида

р — fijâ -f- Vjp =

—c1ws (t) — c2 [ö (t) cos а — ф (t) sin а],

( 6. 100)

ä + v2p + Кч* =

—К sign ß + К у (t),

 

где ф t), &(t) и f (t) — случайные функции, характеристики ко­ торых предполагаются известными, а все коэффициенты уравне­ ний — положительные постоянные, связанные с параметрами ГИ, входящими в систему уравнений (40) очевидными соотношениями.

Примем, что измеряемое ускорение wk постоянно, а 9 (і) и j (t) являются нормальными стационарными функциями,имеющими нулевые математические ожидания и корреляционные функции типа экспонент, т. е. положим

К$(х) = а |е -^ ІтІ,

I

 

£.(T)=afe-^M .

)

(6 .1 0 1 )

Примем, что рыскание отсутствует (ф=0).

Сделанные предположения эквивалентны предположению о том, что функции &(і) и 4 (і) являются стационарными решениями диф­ ференциальных уравнений первого порядка, содержащих в пра­

вых частях равенства белый

шум, т. е.

 

..

___

(6 .1 0 2 )

7 )+ [уГ =

Ѵ2 !Ѵі М*)>

 

где (t) и £2 (t) — независимые случайные функции, корреляцион­ ные функции которых равны дельта-функциям.

Уравнения (100), (102) эквивалентны системе шести уравнений первого порядка, определяющей шесть функций â (t), ß (t),

§ 6.2]

НЕПРИВОДИМЫЕ Н Е Л И Н Е Й Н Ы Е ЗАДАЧИ

385

ß ( t ) , &( t ) , f

( t )

и а. (t ). Так как в правые части двух из этих урав­

нений входят

функции, обладающие свойствами белого

шума,

то эти шесть функций можно рассматривать как компоненты ше-

стимерного марковского

процесса

(£), С/ 2 (0 ,

EMO, EMO,

£ / 5 (0 , и в (t), где введены обозначения

 

 

 

U г (t) =

ä(t),

U2( t )

=

$ ( t ) ,

 

u a( t ) = № ,

u t (t) =

b(t),

(6.103)

U 5 (0 =

t (0.

U e(t) =

a(t). .

 

В этих обозначениях рассматриваемая система уравнений примет вид

~df +

^2 ^ 1 + v 2

+ кгsign Uz — k3U5,

d- j f —

+

c2 ?74cos U6 = —c4wK,

 

 

(6.104)

 

 

- j f + HÜ 4 = \/2t4>api(i),

dUß_Tj dt — Ul•

Определяя обычным образом [см. (1.132)] коэффициенты уравне­ ния Колмогорова, получим

аі = — Ѵ-гУі —

— К sign у3+ kty6,

а 2 =

Н-іУі — 'ОУг—

с2У4 cos Уб — сги>, (0.

 

У2* ^4 ===

(6.105)

а5 =

 

Р'уУ5' аЬ= Уі’

b4i =

2 а|рй, й55 =

2 з;р^,

Ь .,= 0, если оба индекса j и Z не равны 4 или 5.

Таким образом, уравнение Колмогорова для условной плот­ ности вероятности / системы случайных величин

Гі =

а д ,

г г= и , м ,

У3= и з (г),

Y4 =

U4(т),

y 5 =

u 6(т),

ув =

г/в(х),

25 А- А. Свешников, С. С. Ривмш

386

Н Е Л И Н Е Й Н Ы Е УРАВНЕНИЯ

ПРИКЛАДНОЙ ГИРОСКОПИИ [ГЛ. 6

вычисленной в предположении,

что в некоторый момент

времени

t < т ординаты рассматриваемых случайных функций

заданы,

имеет вид

 

 

(6.106)

Решение полученного уравнения в общем виде представляет существенные трудности, однако в данной задаче нас интересует стационарный режим работы интегратора, а для характеристики его точности достаточно определить только второй момент ординат случайной функции

Ux (<)=d (t).

В этом случае задача существенно упрощается. Вследствие ста­ ционарности процесса (переходный процесс считаем закончив­ шимся) плотность вероятности / не должна зависеть от т. По­

этому первое слагаемое

в уравнении (106) можно отбросить.

Умножив после этого обе части уравнения на

exp

и интегрируя по каждой из переменных у}. в бесконечных преде­ лах, получим

И СО И ехрИ

Lfdy^yr.dyzdyidysdye = 0 , (6.107)

—СО

 

где через L/ обозначена левая часть уравнения (106). Интегралы типа

интегрированием

по

частям

могут быть

приведены к

виду

— iZjE (z4, z2, z3,

z4,

z5, z6), где E — характеристическая

функ­

ция рассматриваемой

системы

случайных

величин. Интегралы

Смотрите также файлы