Файл: Свешников А.А. Вероятностные методы в прикладной теории гироскопов.pdf

Скачать файл (17,93Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 10.04.2024

Просмотров: 260

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

§ 6.2]		Н Е П Р И В О Д И М Ы Е		Н Е Л И Н Е Й Н Ы Е ЗА Д А Ч И	387
типа
		Vj exp	‘ 2	zß j ■fdy1dy2dy3dyidysdy6
		'	7=i
1	дЕ	.
равны —		.

Следовательно, большинство интегралов, на которые распада ется интеграл (107), может быть выражено через характери

стическую

функцию

£ и ее

частные

производные

первого

по

рядка. (Предполагаем / непрерывной).

интеграл,

содержащий

Исключение

представляет

только

в подынтегральном

выражении множитель

signy3,

и интеграл,

содержащий

i/ 4c o s i / 6 .

Для

вычисления

первого

интеграла

представим

sigm/ 3

виде

разрывного

интеграла

(4. 21),

т. е.

положим

sign у3 =

( 6. 108)

)

е« лт ,

после

чего получим

СО

С 6

И ехрИГ 2

ZrJj

дГъ (Sign Ул'^

ЛуА уА уА уА уАУъ=

— СО

J - 1

—1

S И И И е*т ехР р 2

zi ys

ѴуАуАуАУійУвЛув Ц - =

7=1

_Ч

E(zi,

z2,

z3 + z, z4,

(6.109)

z5, Z g) —.

Для вычисления второго интеграла,

представив

cos уа

виде

+ е-^>)

получим

(

5 . . . J “ p

< 2 ыУ

/у4 cos yedy1 . . . dyв

/ѵч

^ = 1

1 f дЕ(zb

z2,

г3, z4, г5,

zg-j-1

2 г I

і#г4

<?z4

i Zl ’ Z 2 ’ Z3>

Z 4 ’

z 5> z

•

25*

388 Н Е Л И Н Е Й Н Ы Е УРАВНЕНИЯ ПРИКЛАДНОЙ ГИРОСКОПИИ [ГЛ. 6

Учитывая вышеприведенные соотношения и формулу (109), уравнение (106) можно представить в виде

дЕ . .			> дЕ . ,			. <?£■ -
dz	"Ь ( ! Ѵ і —		Р Л ) ~äz----- Ь ( V i +			vi z 2 — z3> ~ лГ +
			+ (c22 2 +	ftez4)		+ (pTz5 — k2zx)	+
		+ (tei»Äz2 +		°і!Ѵ4 +		Ф / 5) E +	^0 = ^ + 1 +
■ c 2		dE		J	E(zv z2, z3 + z, z4, z6,ze)-^- =			0,	(6 .1 1 0 )
	2	dz.		J	E(zv z2, z3 + z, z4, z6,ze)-^- =			0,	(6 .1 1 0 )
	2	dz.
где	dz.		обозначает		частную производную		от	в	которой
аргумент z6 заменен на z6 +						1 соответственно.
	Дифференцируя			это	равенство по различным переменным z .

и полагая потом все переменные z^.=0 , получим ряд рекуррентных соотношений, связывающих последовательные моменты случайной

величины и г (т)=а (т) (считаем,	что все	появляющиеся		таким об
разом моменты существуют).			одному разу по
Так, продифференцировав\|последовательно по			одному разу по
z2 и z3 и положив потом %. = 0 , получим два уравнения,				содержа
щие â (т) и В (т), решая которые,	находим
t		___
а (t) = сх I е_\|1‘ <і!_т)п;к(т) dz,		ß(£) =	0 .	(6 .1 1 1 )
о

Дифференцируя (110) по другим аргументам характеристической функции Zj и комбинируя получающиеся после обращения в нуль всех переменных Zj уравнения, можно получить ряд соотношений между моментами случайных величин U . (т) более высокого порядка.

При исследовании ГИ обычно представляет интерес не только ошибка ускорения, пропорционального â (г), но и ошибка опреде

ления самой скорости, пропорциональная отклонению угла а (t) t

от значения — ^ wK(^) dtv которое должен показывать интегратор

в том случае, когда ошибки отсутствуют. Определение ординат функции а (t) можно выполнить аналогичным образом, используя уравнения (1 0 0 ), однако расчеты при этом усложняются.

Исследование ГИ, приведенное выше в качестве иллюстрации применения теории марковских процессов к анализу нелинейных гироскопических устройств, может быть проведено и каким-либо другим приближенным методом, например, методом последователь ных приближений.

§ 6.3] ПРИМ ЕРЫ НА ПРИВОДИМЫЕ Н Е Л И Н Е Й Н Ы Е УРАВНЕНИЯ

389

§ 6.3. Гироскопические устройства, характеризуемые приводимыми нелинейными уравнениями

Ряд ГУ, описываемых простейшими приводимыми нелинейными уравнениями, был рассмотрен в главе 4. Ниже будет приведено несколько примеров, содержащих более сложные задачи.

Пример 6.1. Определить дисперсию угла а(t) отклонения корабельного ГН, если гироскоп ориентирован относительно ко рабля так, что уравнения движения имеют вид (1 ); угловые скорости прецессии, обусловленные моментами сил сухого трения в осях подвеса: т)1 =2-10~ 3 Нсек, г)2 =0,5-10_ 3 Мсек. Угол бортовой качки Ѳ(t) и угол рыскания cp (t) — стационарные, нормальные независимые случайные функции, корреляционные функции ко торых могут быть приняты в виде

к ь СО = |т| (cos Х0т + -g - sin Xj | т f ) ,

of =

1,674IO' 2

рад2; рѳ =

( ) , 1

1/сеге, Хв = 0,7 1

/сек,

(6.112)

(х) =

М ( 1 +

h I).

о2 =

0,67

• ІО-3

рад2,

0,03

1/сек.

Время работы ГН t значительно больше времени корреляции

случайного процесса Ѳ(t) и случайного процесса

ср (t),

широта

места ср0=60°,

С/=7,29 *10—5

Мсек.

Р е ш е н и е .

Искомая дисперсия определяется формулой (14).

Переходя в этой формуле от переменных интегрирования

хх и х2

к переменным

интегрирования

1 = 2t — x1— т2

х = х 2 —-хх

(6.113)

и учитывая,

что в данном примере

соя «р0 =

1 /2 , получим

t Г2*-Т

77*.

77fc\

d% K tj (х) d i +

D [а (£)] = у

— cos

(cos ~

L о

t 1-2t - z

(cos Ц . + cos ^ f ) dl

KZi (t) di =

= t J cos

\KZi (x) + KH(x)J dx —

j I[KH(x) + к гг (x)] Xcos Щ- +

sin

U {2 t — x)

[KZl (x) — Â'^(x) |J dx.

—

(6.114)

390 Н ЕЛ И Н Е Й Н Ы Е УРАВНЕНИЯ ПРИКЛАДНОЙ ГИРОСКОПИИ [ГЛ. 6

Учитывая, что значение t предполагается большим, в послед нем выражении сохраним только слагаемое, пропорциональное t, а верхний предел интегрирования положим равным бесконечности. После этого получим

СО
D[a(t)]*»f S cos ^ [ Я ,,( т ) +	£ ,,()] .	(6.115)
о
Для определения корреляционных функций
Zx (t) = т)2 sign 6 (t) и Z2(t) =	тд sign 9 (f)

в соответствии с (4. 38) имеем

АД (т) =	2	\
АД (т) =	— т]\| arc sin kb(т),	(6.116)
		(6.116)
АД (Д =	a r o s i l 1 h i '1)’	,

где нормированные корреляционные функции кь (") и к? (т) в соот ветствии с (1 1 2 ) определяются равенствами

кь (т) = е~^е1т 1(c o s Хѳт ------

s j n Х8 1т |^ ,

(6.117)

/сф(т) = е '^ І т| (1 — [а |т|).

Дальнейшие вычисления приходится вести численно. Подстав ляя (116) в (115), учитывая (4.36) и производя численное инте грирование, получим

D[a(ü)] = 5 • IO“ 10 t рад2!сек.

(6.118)

Например, при t= l0 мин D [а (t) ]= 3 -ІО- 7 рад2.

Для сравнения рассмотрим решение этой задачи методом ста тистической линеаризации. Согласно этому методу [25] нелиней

ные выражения sign Ѳи sign сЬнужно заменить	линейными функ
циями	(6.119)
sign Q= kfl, sign cp = /Cjtp,	(6.119)