Файл: Свешников А.А. Вероятностные методы в прикладной теории гироскопов.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 10.04.2024

Просмотров: 256

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

§ 6.3] ПРИМЕРЫ НА ПРИВОДИМЫЕ Н ЕЛ И Н Е Й Н Ы Е У РАВНЕНИ Я

391

вые части которых случайные функции 0 (t) и cp (t) входят также линейно:

d — U cos ? 0 • ß = — U sin cp,, + /с2к]2Ѳ(t), I

(6.121)

ß + U cos cp0 • a = —/с'трф (*)•

Система (121) может быть представлена в виде (7), если положить

2 і(і) = К ъ Ht), Z3(t) = %n1?(t).

(6 .1 2 2 )

Следовательно, сохраняя обозначения (122), вид решения (11) останется без изменения. Следовательно, останется без изменения и формула (14) и следующая из нее формула (15), в которой, од­ нако, корреляционные функции KZl (х) и Кг„(т) в соответствии с (1 2 2 ) имеют вид

Кж1М =

(Ра + >■§)

Iт I (cos V

— ^ sin ХвIх |) »

(6.123)

Кч (т) =

/с;27]2а2ц|е-^ М(1 — [і? (т I).

 

 

 

Подставляя

(123) в (115)

и интегрируя, вместо (118) получим

D [а (01

( у )+ * ;2 7]25,ф( у ) t =

 

 

= т U2[kl^S , $ ) + * № , $ ) ] * = 3 >9 4

• 10_10і РадЧсек,

(6.124)

где t в секундах. Формула (124) качественно не отличается от фор­ мулы (118), однако метод статистической линеаризации дает ошибку в коэффициенте у t в 1,3 раза.

Пример 6.2. Определить ошибку ГН, возникающую при вибрации точки подвеса гироскопа вследствие наличия упругой

податливости

ротора.

Г; кинетический момент

Н =

Дано:

вес

ротора Р 0=450

=4000

Г

см сек; коэффициенты

жесткости сг= 3 ,5 -ІО5 Г/см,

сУі—

= 4 - ІО5

Г /см; начальное значение угла ß=ß (0)=0, а составляющие

ускорения точки подвеса W, (t)и WУх(t) — нормальные стационарные случайные функции, имеющие нулевые математические ожидания и корреляционные функции, определяемые равенствами

где

=

 

/Ц К > = а2е-.чМ,

(6.125)

 

 

 

 

°‘І ~ 0,5 • 1 0 ° см2/сек*, =

0 , 2

1 /сек, о\ = ІО6 сж2/сек4, ц2 =

0,3 1 [сек.

Р е ш е н и е.

Поведение

рассматриваемого ГУ описывается

уравнением (27),

которое

после введения обозначений

 

Z(l) = aWVl(t)W,(t),

(6.126)

392 Н Е Л И Н Е Й Н Ы Е УРАВНЕНИЯ ПРИКЛАДНОЙ ГИРОСКОПИИ [ГЛ. 6

где

так (с, — с„

а = ^ У * .

НсуС, cos ßo

принимает вид

„

m0 = p 0lg,

 

&(t) =

Z ( t ) .

 

 

 

 

(6.127)

Следовательно, на основании (1.89)

 

 

 

 

 

 

D [а (*)] = 2 ^ ( t

— x ) K z (г) dx.

 

 

(6.128)

Так как случайные функции

Wz(l) ш WУх(t)

взаимно незави­

симы, а их математические ожидания равны нулю, то

 

 

Кг (х) = М [Z (t) Z (t + x)J =

 

 

 

 

 

 

= я2М [W,(t) W.(t+x)\ M LWyi(t)Wyi (t+ x )1 =

a?KWz{x)KWi{x).

(6.129)

Подставляя (129)

в (128) и учитывая (125),

получим

 

 

2

*

 

 

 

 

 

 

D [а (£)] = 2а2а^а| | (t — х) е~ (^i+^) ^dx =

 

 

 

 

 

о

 

 

 

 

 

 

2 а2а^а|

{([Н + ^2) t — [ 1

— е~ (И-i+P-j) *]}

2 a3g|g|

t

(6.130)

(З-і + Рг) 2

 

 

 

 

9-1 + P-2

 

 

Подставляя числовые данные примера, находим

 

 

 

 

D (а (*)] = 7,06 • 10"10*

радҢсек,

 

 

 

т. е., например, при t == 1 час D [а (£)] =

2,54 • ІО- 6

рад2,

аа =

0°, 1,

т. е. ошибка может достигать заметной величины.

 

 

§6.4. Гироскопические устройства, характеризуемые неприводимыми нелинейными уравнениями

Рассмотрим пример исследования ГУ, характеризуемых не­ приводимыми нелинейными дифференциальными уравнениями.

Пример 6.3. Исследовать возможность ограничиться нулевым приближением при определении математического ожидания оши­ бок а (t) и ß (t ) гироскопа направления, характеризуемого систе­ мой уравнений (3. 37), если стационарная нормальная случайная функция Ѳ(t) имеет нулевое математическое ожидание и корреля­ ционную функцию

К, (х) =а|е~і*е И ^cos Xöx

sin Хѳ |x

(6.131)

§ 6.4]

ПРИМЕРЫ НА НЕПРИВОДИМЫЕ Н ЕЛ И Н Е Й Н Ы Е УРАВНЕНИ Я

393

ajj =

0 , 6 - 1 0 рад2;

=

0,042

1 /сек;

\ =

0,42

1 /сек;

а° =

30°;

х = S/H = 0,05

1 /сек;

х' =

xz/g =

0,051

сек [см. (3.38)]. Начальные

значения ошибок а (f)

и ß (£)

равны нулю.

 

 

 

 

Р е ш е н и е .

 

Система

уравнений

для

рассматриваемого

ГН

имеет вид (3. 37),

т. е.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d — ßO cos (a0 -f- а) ==0 ,

 

 

(6.132)

 

ß +

xß =

— (Ѳ—f- хѲ —j- х'Ѳ) sin (а0 -j- а).

 

 

 

В нулевом приближении в соответствии с (62) имеем

 

 

 

d0 — ß0Öcos а0 =

0 ,'

 

 

 

 

 

(6.133)

 

 

 

ß0 -f- xß0 =

— (0 -f- хѲ -f- х'Ѳ) sin а0.

 

 

 

 

 

Из второго уравнения находим

 

 

 

 

 

 

 

ß0(t) =

 

 

і

 

 

 

 

xö(x)-j-x'Ö(x)]dz,

 

 

 

— sin a° ^e~x

 

[0(x)+

(6.134)

T. e.

 

 

 

о

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Po ( 0

=

o .

 

 

 

 

 

 

M [ß0 i t ) 6 (0 ] = Sin a°

t

 

 

(x) -

х £ ѳ (x) -

x 'Ä 8 (x)] d z .

 

Äßoé =

j e - " [ K ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(6.135)

Интегрируя по частям и ограничиваясь рассмотрением установив­

шегося процесса,

получим

 

 

 

 

*М =

~

№ + Х?) ^

+ 2^ e l

(6-136)

Находя математическое ожидание первого равенства системы

(133), имеем

 

 

 

 

 

а0 = kßj cos а° =

— 2 T(- ^ j 3 + Щ W + *І) W +

 

 

и

 

 

+ Xg -f- 2 х(гѳ) sin2 a°

(6.137)

 

 

 

 

 

 

ао — аог —

2 f(x + рѳр + X[5] (^ 0 + ^

(^ 0 + x 0 +

 

 

 

 

 

+ 2xfi,) sin 2а° =

—0,23 • 10~4t

1/сек.

(6.138)

Поправка

(t)

к

математическому

ожиданию

В(t), найденному

в первом приближении согласно (71), равна нулю. Следующие же приближения дают в данном случае несущественные поправки. Аналогичным образом можно убедиться, что â0 (t) в данном примере дает математическое ожидание d (t) с достаточной для практики точностью-

394

Н Е Л И Н Е Й Н Ы Е УРАВНЕНИ Я ПРИКЛАДНОЙ ГИРОСКОПИИ

[ГЛ. 6

§ 6.5. Гироскопические устройства, при исследовании которых возникают нелинейные задачи, не связанные

свидом уравнений ГУ

Вприкладной теории гироскопов возникает ряд нелинейных задач, не связанных с видом уравнений ГУ. К подобным задачам можно отнести исследование кардановых погрешностей гироскопа направления [23], [82], определение взаимного азимутального по­ ворота стабилизированных площадок на корабле при различной ориентации осей их кардановых подвесов [23], определение сред­ него времени пребывания ошибки ГУ в данном интервале и др.

Рассмотрим несколько примеров на решение подобных задач. Пример 6.4. Найти математическое ожидание и дисперсию кардановой погрешности ГН, установленного на самолете и слу­ жащего для определения угла рыскания ф самолета. Ось гироскопа (при отсутствии наклонов основания) составляет с продольной

осью самолета угол х.

Дано: углы крена у(£), тангажа &(t) и рыскания ф(і) само­ лета — независимые нормальные стационарные_ случайные функ­ ции времени, их математические ожидания у=& = ф = 0 , а средние квадратические отклонения 0^= oft= о = 1 °.

Р е ш е н и е . Карданова погрешность Дф ГН определяется соотношением Р5]

 

Дф = х + ф — arctg[tg(x + ф) Щ Ь + tgO siny].

(6.139)

При

«продольной»

установке ГН,

когда х =

0, имеем

 

 

 

Дфх=0 = Ф— arctg (tg ф

+ tg » sin у ).

(6.140)

При

«поперечной»

установке ГН,

когда х =

90°,

из (139)

сле­

дует

 

 

 

 

 

 

 

 

 

л I

t

.

t g Ф COS Ь

.— .

/ „

. , . .

 

Дфх=90о =

ф — arctg ---------т-Ц—. о

(6.141)

 

т

т

6 cos у — tg ф Sin 0 SH1 у

 

'

'

Считая углы ф, 9

и j малыми (поскольку их средние

квад­

ратические отклонения равны

1°), вместо (140)

и

(141)

прибли­

женно имеем

Дфх=0 =

—&у,

 

 

 

(6.142)

 

 

 

 

 

 

Дфх_90о =

_ ± ф ( т2_& 2).

 

 

(6.143)

Учитывая независимость случайных величин & и у,

из

формулы

(142) следует

 

 

 

 

 

(6.144)

 

 

Дфх=о = —&у = 0 ,

 

 

 

 

°itx=0 — 0»°у

 

 

 

(6.145)

8.53

ПРИМЕРЫ ДРУГИХ

Н Е Л И Н Е Й Н Ы Х ЗАДАЙ

 

 

 

395

Подставляя числовые данные примера, получим

 

 

 

 

 

 

сДфх=0 =

0,3045 • Ю~ 3 рад = 147.

 

 

 

 

 

Аналогичным образом, учитывая отсутствие зависимости

ф от

у и & и принимая

во внимание,

что ф = 0 , согласно (143)

получим

 

Дф.-0П° =

- у ?(D [tJ -

D ІА]} =

0 ,

 

 

(6.146)

°ІФх-воо =

Т °Ф[ 3 К

+

— 2зК і =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= т - [ 2 Н + 1

) +

(а? - 1

)2]- (6-147)

По формуле (147) вычисляем а Дфх=90О:

 

 

 

 

 

 

 

адфх=90о = 0,531

- ІО- 5

рад =

1",1.

 

 

 

 

Сопоставляя полученные

выше

значения, замечаем,

что аДфх=доо

• ^ адфх=0!

это обстоятельство указывает на целесообразность «по­

перечной» установки ГН на самолете.

 

угла

 

Представим

Найдем а Дф для

произвольного значения

х .

для этой цели формулу (139) приближенно

в виде

 

 

 

 

 

 

 

Дф = —&у cos2 (х -f- ф),

 

 

 

 

(6.148)

откуда при малом ф находим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Дф =

—&у (cos2 X— ф sin 2х — ф2 cos 2х).

 

(6.149)

Так как § = у =

0, то из (149) получим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Дф = 0.

 

 

 

 

 

(6.150)

Для дисперсии

D [Дф] имеем

 

 

 

 

 

 

 

 

D [Дф] = М {[Дф]2} — [Дф] 2 = М {[Дф]2)-

 

 

(6.151)

Подставляя сюда (149),

находим

 

 

 

 

 

 

 

D [Дф] =

D [&] D [у] {cos4 X4- D [ф] sin2 2х -f-

 

 

 

 

 

 

или

 

+

3 (D [ф] ) 2 cos2 2х — 2D [ф] cos2 х cos 2х}

(6.152)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

аДф = а|а2 [cos4 х +

а | (sin2 2х — 2 cos2 х cos[2x) -[- Заф cos2 2х].

(6.153)

Для аф = а&=

 

= 1 ° и различных величин установочного угла

X по формуле (153) вычислены

значения адф и зависимость

аДф =

= / (х) построена на

рис. 6.3, из которого следует,

что

аДф

дос­

тигает наименьшего

значения при х =

90°.

 

 

 

 

 

 

Пренебрегая в (153) тремя малыми последними слагаемыми,

приближенно имеем

 

 

o2cos4 X,

 

 

 

 

(6.154)

 

 

 

 

а ІФ =

 

 

 

 

Смотрите также файлы