Файл: Свешников А.А. Вероятностные методы в прикладной теории гироскопов.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 10.04.2024
Просмотров: 255
Скачиваний: 1
396 Н Е Л И Н Е Й Н Ы Е У РАВНЕНИ Я ПРИКЛАДНОЙ ГИРОСКОПИИ [ГЛ. 6
откуда следует, что при х = 90° в первом приближении
Одф = 0.
Рассмотрим, насколько изменится полученный результат, если учесть отброшенные в (153) слагаемые. Вводя обозначения
|
COS 2 У . ~ Х , |
а д ф = < р ( ж ) , а§ат : |
(6.155) |
|
перепишем (153) |
в виде |
|
|
|
ср (х) — к |ж2 |
+ |
(1 — х) х — -тгх(2х-— 1 ) -|- Ззф (2х — 1 )2J, |
||
откуда |
|
|
|
|
|
|
= 2 к [X (1 - 8 4 + 1 2 4 ) + 3 4 — 6 а |] . |
(6 .1 5 6 ) |
|
Так как 4 |
<С о2<^1, |
то при любых значениях х |
в интер |
|
вале (0,1) dtp (x)/dx )> 0. Это означает, что функция tp (х) не имеет
в |
этом интервале экстремума, |
а |
наименьшее значение функции |
tp (X) будет при наименьшем зна чении аргумента, т. е. при х=0
или при х=90° [см. (155)]. Сле довательно, оптимальным значе нием установочного угла является х=90°.
Наиболее полное устранение кардановой погрешности ГН может быть достигнуто путем установки его на стабилизированной относи тельно плоскости горизонта пло щадке, которая может представ
лять собой площадку силового гирогоризонта или площадку, стабилизируемую от центральной гировертикали с помощью сле дящей системы.
Пример 6.5. Определить вероятность того, что нормаль к ста билизированной площадке корабельного гирогоризонта силового типа в случайный момент времени t не отклонится от истинной вертикали места больше чем на угол у0, обеспечивающий условия нормальной работы установленного на площадке прибора (секстан, гравиметр).
Дано: срединные значения *) ошибок стабилизации площадки по осям подвеса (рис. 6.4) Ел= 3'; Е^=3'; математические ожида ния этих ошибок <х= р = 0 ; ось вращения наружного кольца кар-
*) Для нормального закона распределения срединное значение Е ошибки связано со средним квадратическим значением ее а соотношением Е —
= р Ѵ/2'а(р ==0,4769...).
398 |
Н ЕЛ И Н Е Й Н Ы Е У РАВНЕНИ Я ПРИКЛАДНОЙ ГИРОСКОПИИ |
[ГЛ. б |
||||
|
Плотность |
вероятности |
/(а, ß) = |
/(a)/(ß) системы случайных |
||
величин |
(а, ß) |
будет |
|
|
|
|
|
|
|
/ к |
—е |
' |
(6.161) |
где |
р = |
|
т.ЕаЕр |
|
|
|
0,4769... |
|
случайной величины |
у. Ве |
|||
|
Найдем плотность вероятности |
|||||
роятность попадания случайной величины у в интервал (у, у+^у)
равна вероятности попадания конца вектора у в кольцо, |
ограни |
||||||
ченное окружностями |
а2 |
ß2 = у2 |
и а2 -)-ß2 = (y-fdy) 2 |
(рис. 6 .6 ). |
|||
Следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
f i t ) dt ~ |
. |
/(а, |
ß)dadß. |
|
(6.162) |
|
|
|
T2^ + ß !<(T+^T)! |
|
|
|
||
Сделав замену ß = |
у cos ср, а = |
у sin ср |
и учтя (161), после со |
||||
кращения на d'( получим |
|
|
|
|
|
||
fit) |
-EL. |
|
|
|
ßoc |
df. |
(6.163) |
|
|
|
|
|
|
|
|
Учитывая периодичность тригонометрических функций, инте грал (166) можно представить в виде
/ = е~а^ J е-ьт’віпф^ф. |
(6.167) |
Интеграл (167) выражается через функции Бесселя нулевого порядка от мнимого аргумента, так как
J |
= 2nl0(z). |
(6.168) |
§ 6.5] ПРИМЕРЫ ДРУГИХ Н Е Л И Н Е Й Н Ы Х ЗАДАЧ 399
Принимая во внимание |
(168), |
вместо (167) получим |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
/ |
= |
2 ке~аі'г/ 0 |
(йу2). |
|
|
|
(6.169) |
|||||
Подставляя (169) |
в (163), находим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
^ Т ) = |
| 3 ^ - ‘г70 (йу2) |
|
|
(6.170) |
|||||||||
И Л И |
|
|
|
рѴ / |
|
, |
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
/(т) = |
2 Р2Т |
|
|
|
|
|
4 |
h |
n[?^ ( |
1 |
1 |
Y] |
(6.171) |
||
|
EaEi е |
|
|
|
|
|
°L |
2 |
Ug |
El)]' |
||||||
т. е. величина у не следует нормальному закону. |
|
|
||||||||||||||
При Ъ=£=0 можно воспользоваться рядом [73] |
|
|
||||||||||||||
|
|
/o(bT2) = |
l |
+ |
^ |
|
+ |
^ |
f |
+ . . . |
|
|
(6.172) |
|||
В |
рассматриваемой |
|
задаче |
fe = |
0 , |
поэтому |
/ 0 (fey2) = 1 |
и, со- |
||||||||
гласно |
(170), |
|
|
|
|
|
_р!тг /j _ , j_\ |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
/(Т) |
= i £ ! i e 2 и + *гі |
|
|
(6.173) |
||||||||||
|
|
|
Е„Ец |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Полагая Еа — Е ^ ~ Е, |
имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
/ ( Т) |
|
2 р!т_в |
Е г |
|
|
|
|
(6.174) |
||||
|
|
|
|
|
£ 2 |
|
е |
|
|
|
|
|
|
|||
По |
условию |
примера |
требуется |
|
определить |
вероятность |
||||||||||
РІ ІтК То ); имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
р { Іт К Т о }= |
J / ( тМт» |
|
|
(6.175) |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
где / (у) — плотность вероятности |
величины у, |
определяемая фор |
||||||||||||||
мулой (170). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пользуясь для / (у) формулой (173) и учитывая обозначения (165), |
||||||||||||||||
вместо (175) получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
р (I Т I < |
|
|
|
|
|
т° |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
То} = |
Ë j f |
5 |
|
|
dT. |
|
|
(6.176) |
||||||
откуда |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Р (I Т I < |
То) |
|
Р2 |
(1 |
- |
е~а% |
|
|
(6.177) |
|||||
