Файл: Свешников А.А. Вероятностные методы в прикладной теории гироскопов.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 10.04.2024

Просмотров: 252

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

400

Н ЕЛ И Н Е Й Н Ы Е У РАВНЕНИ Я ПРИКЛАДНОЙ ГИРОСКОПИИ

[ГЛ. Ь

или,

принимая во внимание (175), имеем

 

 

 

2 Е лЕ я

Ч ~ к + ~к)р°

(0.178)

 

Р {I Т К То) — Е 2 + £ 2

Для принятых в примере исходных данных по формуле (178) находим

Р ( | т | < То}= 0,920; 0,997; 0,999,

т. е. вероятность того, что нормаль к стабилизированной площадке не выйдет за «допустимый конус» со значениями угла растворе­ ния 2 ^ 0 = 20'; 30'; 40', является сравнительно большой.

Г Л А В А 7

ИССЛЕДОВАНИЕ СЛОЖНЫХ (ГИРОСКОПИЧЕСКИХ СИСТЕМ

§7.1. Предварительные замечания

Впредыдущих главах были рассмотрены гироскопические устройства, описываемые сравнительно простыми уравнениями. Исследование этих уравнений могло быть выполнено аналити­ ческими методами, причем часто удавалось получить окончатель­ ные простые расчетные формулы для вычисления вероятностных характеристик ошибок рассматриваемых ГУ.

Положение существенно меняется при анализе сложных гиро­ скопических систем, характеризуемых системами уравнений высокого порядка, часть из которых содержит переменные коэффи­ циенты или нелинейные члены. Для исследования подобных ги­ роскопических устройств приходится прибегать к различным чис­ ленным методам, как правило, рассчитанным на применение совре­ менной вычислительной техники.

К сложным гироскопическим системам относятся в первую очередь гироскопические стабилизаторы, гироскопические ком­ пасы, гирогоризонткомпасы, гирошироткомпасы, инерциальные навигационные системы и др.

Приведем системы уравнений нескольких типов сложных гироскопических ""систем, имеющих наибольшее практическое применение, а именно: гироскопические стабилизаторы (ГС), гироскопические компасы (ГК) и инерциальные навигационные системы (ИНС).

§ 7.2. Уравнения движения сложных гироскопических систем

1. Гироскопические стабилизаторы. В качестве первого при­ мера приведем уравнения прецессионного движения гиромаят­ ника на подвижном основании, полученные Р. И. Чертковым, [59]

# (ß + сор а + и3 sin а) cos ß -f-

+ ml [(g-0 + w3) sin я + ш, cos aj cos ß = Mv

— Я [(а -j- щ) cos ß + (и2 sin а — u3cos а) sin ß] +

(7.1)

-f- ml [(g0-f- w3) cos а sin ß — wx cos ß —

 

— w3sin а sin ß] =

My',

26 А. А. Свешников, С. С. Ривкин

402 ИССЛЕДОВАНИЕ СЛОЖ НЫХ ГИРОСКОПИЧЕСКИХ СИСТЕМ [ГЛ. 7

где Н — кинетический момент гироскопа; а и р — углы отклоне­ ния оси гироскопа относительно направления геоцентрической вертикали; т — масса ротора вместе с внутренним кольцом кар-

данова подвеса; I — расстояние центра

тяжести

гиромаятника

от точки подвеса; М^ и М у>— проекции

моментов

внешних сил

на соответствующие оси подвеса ГМ; g0 — ускорение силы земного тяготения; иѵ щ, и3 — проекции на оси системы отсчета пе­ реносной угловой скорости этих осей, обусловленной вращением Земли и собственным движением объекта относительно Земли; wx, w2, w3 — проекции на те же оси абсолютного линейного уско­ рения точки опоры ГМ.

При географической ориентации осей O^rf,

составляющие их,

и2, и3 определяются соотношениями

 

 

 

 

UN

 

 

ц 1 = и5 = — -д- = —?,

 

И2 =

ц , =

U COS <Р +

ѴЕ

(7.2)

- д - ,

и3 =

и!. =

U sin cp +

ѴЕ

 

— tg cp,

 

где U — угловая

скорость

суточного

вращения

Земли;

R —

радиус Земли;

ср — широта

места; vE,

vN — восточная и

север­

ная составляющие относительной скорости объекта.

(см.

(2.67))

Соответственно

для проекций wlt w2, w3

имеем

wi = W^ — ѵЕ + ( j f +

2 U cos <pj (yf — vNtg cp),

 

 

=

=

+

+

+ t/27? cos cp sin p +

 

 

 

 

vl + v%

+

2UvEsin cp,

 

w3 =

 

 

 

 

 

 

= г>{------ ^-------U2R cos2 p —

 

 

 

 

 

 

 

 

—

2Uve cos cp.

 

Таким образом, обобщенные координаты а (t) nß (t), определяю­ щие положение оси гироскопа, являются решением нелинейной системы уравнений (1 ), коэффициенты которой, учитывая соотно­ шения (2 ) и (3), в общем случае являются переменными.

Применительно к четырехгироскопной вертикали (рис. 3.15), рассмотренной Я. Н. Ройтенбергом [58] в приближенной поста­ новке [см. (3. 243)], Р. И. Чертковым были получены [5в] более

§ 7.2І

УРАВНЕНИЯ ДВИЖ ЕНИЯ

403

 

полные уравнения движения, имеющие следующий вид:

—2Н {у cos ß — yß sin ß + (и3 cos ос — н2 sin а) 3 —

 

 

— (м2 cos а -f- Hg sin а) у sin ß} +

 

 

+ ml I (go + w3) sin а -f- w2cos a] cos ß =

2 H { 8 — I(â + иу) sin ß — (u.2sin a — u3cos a) cos ß| y} +

( 7 . 4 )

-1- ml [(g0 + w3) sin ß cos a — w1cos ß — w2sin a sin ß] =

My>,

2H (ß -f- u2 cos а -f- u3sin oc) — со = —MZi,

 

 

2H [(d -(- Uy) cos ß -f- (и, sin а — u3cos a) sin ß] cy =

Mz3,

где, помимо введенных выше обозначений, у и 8

— углы поворота

одной и второй пар гироскопов относительно

осей прецессии;

иу, и2, и3и wx, w2, w3 — при географической ориентации осей O^rf, системы отсчета определяются соотношениями (2 ) и (3) соответ­ ственно; и Му’ — моменты внешних сил, приложенные к со­ ответствующим осям внешнего и внутреннего колец карданова подвеса сферического маятника; М г, и Мгз — аналогичные мо­ менты относительно осей прецессии гироскопов.

Рассмотрим уравнения движения одноосного ГС. Уравне­ ния ГС применительно к гирораме, ось стабилизации которой па­ раллельна продольной оси корабля, совершающего чисто борто­

вую качку, имеют вид [см. (3.220)]:

 

 

1гр- + 2Щ + riyâ. — Kj =

/ 06 (t) + ПуіІ (t) + My,

 

2 /r_3ß 2Я (d 4- u j —■S2a -)- n2ß =

—S2%y (t) — M2,

 

T i b +

+ X i =

— kzé ( t ),

(7.5)

Гу77у+ 7 / у + ^ = 0 ,

 

т ^ + і + ь « - Ри 7 =

ьці).

 

Ряд примеров уравнений одноосного ГС, содержащих нелиней­ ные члены, приведены в книге [58]. Так, например, уравнения движения стабилизирующего устройства силового типа с одним вертикальным гироскопом на подвижном основании имеют вид

Aä — ffß — L (ß,

d, Ь) 4 - Hu2a = Hu3-f R sign (& — d) 4 - Mx, )

2?ß 4- Hü +

S (a) 4- Hu$ = —Hiiy — К sign ß — My,

| ' *

где а и ß — углы поворота гирорамы и гирокамеры внутри нее; &— угловая скорость вращения вокруг оси гирорамы объекта, на котором установлен гиростабилизатор; А и В — соответствую­ щие моменты инерции гиростабилизатора; иу, щ, и3 — составляю­ щие переносной угловой скорости системы отсчета 0 £т£;

L

(ß, d, &) — момент, развиваемый стабилизирующим двигателем;

S

(ос) — момент, развиваемый датчиком моментов; i?sign (&—d) —

26'

404 ИССЛЕДОВАНИЕ СЛОЖНЫХ ГИРОСКОПИЧЕСКИХ СИСТЕМ ІД'Л. 7

момент сил сухого трения на оси рамы; A’sign ß — момент сил сухого трения на оси гирокамеры; М х и М — моменты всех дру­ гих внешних сил, приложенных к системе.

Значительное применение получили двухосные ГС, часто используемые в качестве гирогоризонтов силового типа. Простей­ шие уравнения приборов этого типа были приведены в § 3.5 [см., на­ пример, (3.243)]. Более полные уравнения двухосных силовых ГС даны в книге Д. С. Пельпора [48]. Так, для четырехгироскопного двухосного ГС, у которого оси прецессии гироскопов перпенди­ кулярны стабилизируемой площадке, имеем следующую систему четырех уравнений по обобщенным координатам а, ß, у, е:

( А 2 + В 1 COs2 Р + Сг sin2 ß) йуп— _

—(Вх— Сг) [ш,н sin ß cos ß + ß (cos2 ß — sin2 ß) (0,д —

—u>*B«vBsin ß cos ß] — А$шгв — (C2 — в 2 — A x+

+ B xsin2 ß + Cx cos2 ß) <o*Hu>j,H+ (H1+ H[) (ш:Си— ß) X

 

X sin [Xsin ß + (ff, +

H[) [Xcos JAcos ß —

 

 

— (ß 2 — H'2) è sin e cos ß +

(ff2 — H2) (o)Xll — ß) cos s sin ß —

 

 

— (H2+ # 2) «VBsin S + {H1— H[) m,Bcos [X=

Qa,

 

—А ушх + (Вг — Cx)

+

(#! — Н[) р. sin jx -f-

 

 

 

+

(ß 2 + # 2) é cos ®+

(ßi +

H[) uz sin jx +

 

(7.7)

 

 

 

 

+ ( B 2--

ß 2)

C0S S = (?ß>

 

 

 

 

 

(A3— Лд) шг -j- (Л3 4 - A'3) ji. 4 - (ß3 — C3K— ßg + C3K) X

 

 

X (cos2 jx — sin2 [x) ш д

(ß3

C3k

ß 3

Сяк’ ) (си2 шу)Х

 

 

X Sin |XCO S

JX —

(ff,

+ ff[) (Oy cos [X 4 -

 

 

 

 

 

 

 

+ (H1- f f [ ) u x sinr = Qfi,

 

(Ai — А ')

+ (Л4 -f- A\) ё — (ß4 — CiK— B\ -f C4K) X

 

 

X (cos2 e — sin2 s)

 

+ (ß4 — c ilc4 - ß ; — Cm) X

 

 

X (Ш1 — <»*) sin s cos e 4 - (ß 2 +

B'2) <ox cos s 4-

 

 

 

 

 

 

4- (ß 2 — H'2)<oy sin e =

Qt,

 

где а и ß — углы поворота наружной и

внутренней

рам ГС; ц

и s — углы

поворота

гироскопов вокруг осей

прецессии;

А х,

В х, Сх — моменты инерции

площадки с установленными на ней

гироскопами

относительно

осей, связанных с

площадкой;

Л2,

В 2, С2 — моменты инерции наружной рамы карданова подвеса относительно связанных с ней осей (в моментах инерции А х пло­ щадки и А 2 наружной рамы учтены и моменты инерции стабили­

зирующих

двигателей, приведенных к соответствующим осям);

А 3, А 3, А 4,

А[ — суммарные моменты инерции ротора и кожуха

каждого из четырех гироскопов относительно соответствующих осей прецессии; В 3, В'3, ß 4, ß ' — суммарные моменты инерции ротора и кожуха каждого из гироскопов относительно осей, пер­

§ 7.2] УРАВНЕНИЯ ДВИЖ ЕНИЯ 405

пендикулярных осям прецессии и собственного вращения гиро­ скопов; С3к, С'к, С4к, С'ік — моменты инерции кожухов каждого из гироскопов относительно осей, совпадающих с осями собствен­ ного вращения; Н х, Н[, Н2, Н'2 — кинетические моменты соответ­ ствующих гироскопов; а>х, о>0 — проекции абсолютной угловой скорости площадки на связанные с нею оси; со*,,, о>Ув, согв — проекции абсолютной угловой скорости наружной рамы на свя­ занные с нею оси;

“,* =

<в*и — ß>

 

)

 

«V = “уя C0S ß — ш*н sin ß>

[

(7-8)

Шг =

0)уя sin ß +

<!)*„ COS ß,

I

 

=

—Wx, Sin a — <огі cos a,

 

(7.9)

<°РЯ =

ШУ. +

 

 

== (oXi cos a — W01sin a;

 

 

о>Уі, u)0i — проекции

угловой скорости самолета

на связанные

с ним оси, определяемые формулами (2.38)

 

 

“*,= Т+ Фsin

sin у,

 

(7.10)

Шуі =

ф COS &COS

 

шг1 =

9 cos у — ф cos &sin у;

 

 

Da и Dp — коэффициенты моментов сил жидкостного трения в осях подвеса;

<?,=-Ѵ+ мѵ I

 

 

(7.13)

Qa, Qß, Q^, Qs — моменты внешних сил относительно осей подвеса

площадки и осей прецессии гироскопов; в Qa и

 

входят моменты

трения в осях подвеса Мй, Mß и моменты стабилизирующих дви­

гателей:

Ма

 

 

 

 

--

Л/,с.д(р.),

1

 

(7.11)

= — Mß— MXt.mK(в),

j

 

 

Mä = Dr (

^ +

^ t g ß + cosßJ,

1

(7.12)

К в —

 

 

1

 

D и De— коэффициенты моментов сил жидкостного трения в осях прецессии гироскопов; Мх'^ и М^ — управляющие моменты (мо­ менты коррекции).

Смотрите также файлы