Файл: Свешников А.А. Вероятностные методы в прикладной теории гироскопов.pdf

зуемых линейными дифференциальными уравнениями. Исследова­ ние поведения стационарных гироскопических систем, характеризуе­ мых линейными дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами после окончания переходного процесса (независимо от порядка уравнения), не связано с принципиальными трудно­ стями, так как при стационарных внешних возмущениях ошибки ГУ будут также стационарными случайными функциями. Поэтому исследование ошибок системы можно считать законченным, если определена спектральная плотность ошибки. Спектральная плот­ ность на выходе линейной динамической системы определяется по формуле (1.97), и следовательно, для ее нахождения требуется выполнение то ibnojj алгебраических преобразований и арифмети­ ческих вычислений. Положение меняется, если коэффициенты линейных уравнений, описывающих исследуемую систему, не яв­ ляются постоянными или если нас интересуют ошибки ГУ до окон­ чания переходного процесса. В этом случае вычисления сущест­ венно усложняются и для их выполнения возникает необходимость в использовании вычислительных машин — моделирующих уст­ ройств или цифровых вычислительных машин.

Не ставя перед собой задачу изложить все применяемые при этом методы, которые можно найти в специальных руководствах по вычислительной технике, рассмотрим несколько методов, ко­ торые могут быть использованы для определения вероятностных характеристик на выходе линейной динамической системы. Эти ме­ тоды позволяют решать задачу определения первых двух моментов на выходе нестационарной линейной системы, но могут оказаться полезными и при исследовании установившегося процесса в ста­ ционарной системе в том случае, когда вследствие сложности си­ стемы упоминавшиеся выше алгебраические и арифметические вычисления могут стать утомительными.

Итак, рассмотрим гироскопическую систему, характеризуемую

где X . (t) будем считать стационарными случайными функциями с заданными корреляционными функциями Kj ( т) и заданными

рассматривая систему (49), мы не ограничиваем общности задачи.

422 ИССЛЕДОВАНИЕ СЛОЖ НЫХ ГИРОСКОПИЧЕСКИХ СИСТЕМ [ГЛ. 7

Так как правая часть уравнения (54) e,u><=cos «rf-f-i sin комп­ лексная, то решение системы уе^р (t, ш) будет также комплексным выражением. Положив

,/ехр m) = ?/соз (ff (0) + jysin ш), (7.5В)

можно вместо одной комплексной функции г/^Р (t , oj) ввести в рас­ смотрение две вещественные функции ycß s (t, ш) и у*™(t, ш),

из которых первая является решением системы уравнений, отли­ чающейся от (54) тем, что в правой части уравнения сохранена только вещественная часть экспоненты (т. е. справа стоит 8 .rcos &t),

а вторая — решение такой же системы уравнений, содержащих справа 8 vsinwf. Подставляя (55) в (51), получим

.4г и спектральные плотности S -(ш) и

Вычислим для примера математическое ожидание и диспер­ сию Y . (t), предполагая для простоты, что случайные величины

А 1 не зависят от случайных функций X . (t).

Находя математическое ожидание обеих частей равенства (57), получим

Определяя дисперсию (57) и учитывая при этом сделанное предположение о независимости первой и второй суммы, стоящей в правой части этого равенства, находим

D [r,(f)] = г2= 22 1=*1w M * ) M 0 +

где при получении последней суммы произведение интегралов за­ менено двойными интегралами, учтено свойство (53), позволяющее выполнить одно интегрирование, и отброшены мнимые слагаемые в подынтегральном выражении, поскольку они вследствие свойств четности спектральных плотностей обращаются в нуль при ин­ тегрировании,

и дисперсий решений системы линейных уравнений необходимо произвести следующие вычисления: 1 ) найти решения у<-9) (if)

системы при замене всех случайных функций в правых частях уравнений их математическими ожиданиями; 2 ) определить реше­ ния системы yjl (t) однородных уравнений при нулевых начальных

ным 1 ; 3) определить при нулевых начальных условиях решение системы неоднородных уравнений ус°* (t, ш) и y^f (t, u>), в которых

правые части уравнений заменены на cos u>t и соответственно на sinurf; 4) вычислить г/. (t) и D [Yj (t)] по формулам (58) и (59).

Вычисления yW (t), yjt(t), ycj f (t, ш) и jfjf (t, «») могут быть вы­

полнены на электронных вычислительных машинах (аналоговых устройствах или цифровых вычислительных машинах), причем эти вычисления упрощаются благодаря тому, что левые части уравне­ ний достаточно набрать на машине только один раз, поскольку для получения искомых функций достаточно менять только начальные условия и правые части уравнений. Единственная трудность, которая при этом осложняет вычисления, состоит в том, что функ­ ции усРа (t, ш) и yaj f (t , ш) необходимо определять при различных

значениях параметра ш, что увеличивает объем вычислений. Поэтому для получения вероятностных характеристик решений

системы линейных уравнений часто прибегают к различным искус­ ственным приемам, упрощающим производство вычислений с по­ мощью вычислительных машин.

В качестве одного из таких способов рассмотрим метод сопря­ женных уравнений.

Будем считать для простоты, что требуется определить вторые моменты (т. е. корреляционные функции и взаимные корреляцион­ ные функции) решений системы уравнений (49) при нулевых начальных условиях и при нулевых значениях математических ожиданий Xj правых частей уравнений (переход к общему случаю

не связан с принципиальными трудностями).

Наряду с системой уравнений (49) рассмотрим две системы од­