Файл: Свешников А.А. Вероятностные методы в прикладной теории гироскопов.pdf

428 ИССЛЕДОВАНИЕ СЛОЖНЫХ ГИРОСКОПИЧЕСКИХ СИСТЕМ [ГЛ. 7

Рассмотрим этот случай несколько подробней, предполагая для простоты, что случайная функция, являющаяся возмущением в дан­ ной задаче, стационарна. Не останавливаясь на строгом выводе окон­ чательных расчетных формул, приведем общие соображения, по­ зволяющие получить эти формулы. Рассмотрим дифференциальное уравнение вида

где L — линейный дифференциальный оператор, а F IY, t , X ]— нелинейная функция своих аргументов. Функция X (t), со­ гласно сделанному предположению о ее стационарности, может быть представлена в виде ее спектрального разложения:

где дифференциалы йФ ( о>) связаны со спектральной плотностью случайного процесса X (t) формулами (1.93) и (1.94):

покрывающих ось частот со до бесконечности. В этом случае решение уравнения (75) можно рассматривать как функцию вре­ мени t u n параметров 7у=йФ(ш ■), т. е. можно написать

Предположим, что функция <р допускает линеаризацию относи­ тельно этих параметров, т. е. будем считать, что допустимо поль­ зоваться приближенным равенством

где частные производные дер (t)/dVj предполагаются вычисленными при нулевых значениях всех параметров F.. Находя математи­

ческое ожидание (79) и учитывая при этом, что на основании (77) М [ѴЛ = 0 , получим

Функция cp (t, 0,. . ., 0), есть решение исходного уравнения (75), при нахождении которого все дифференциалы йФ( w,)= Fy по­

ложены равными нулю. Однако обращение в нуль этих дифферен­

циалов в соответствии с (76) эквивалентно замене X (і) ее мате­ матическим ожиданием х. Таким образом, получаем первое пра­ вило: для нахождения математического ожидания у (t) решения нелинейного уравнения (75) нужно случайную функцию X (t) заменить ее математическим ожиданием и решение полученного таким образом уравнения приравнять у ( I ) . Следовательно, у ( t ) (приближенно) определяется уравнением, не содержащим случай­ ных величин и функций в правой части

является решением исходного уравнения (75), в котором слу­

которое получается из (76) после соответствующей замены и пере­ хода от суммы к интегралу.

Однако на основании формулы (1.95) интеграл в (84) есть кор­ реляционная функция Кх (t2).

Таким образом, для нахождения взаимной корреляционной функции решения уравнения (75) и случайной функции X (t) получаем следующее правило: для нахождения взаимной корреля­

430 ИССЛЕДОВАНИЕ СЛОЖ НЫХ ГИРОСКОПИЧЕСКИХ СИСТЕМ t r a . 7

где постоянная должна быть выбрана достаточно малой для того, чтобы дробь в (85) не зависела от ее значения.

Аналогичным образом можно получить правило и для нахожде­ ния корреляционной функции Ку (t, t2). Написав для этой цели

равенство (82) второй раз при t=~t2, перемножая эти равенства и учитывая (77), получим

где постоянный множитель р2 введен искусственно путем умноже­ ния обеих частей полученного равенства.

Сравнение (8 6 ) с (82) показывает, что у2 Ky{t, t2) является раз­ ностью решения у2 (t, t2) уравнения (75), в котором дифференциалы

замена на основании (76) и (83) дает взаимную корреляционную функцию R yx (t2, t). Следовательно, для нахождения корреляцион­

ной функции К у (t, t2) получаем следующее правило: для нахож­ дения корреляционной функции К у (t , t2) необходимо определить решение у2 (t, t2) уравнения, которое получается из уравнения (75)

где постоянная р2 должна быть выбрана достаточно малой для того чтобы выражение (87) не зависело от ее значения.

Так как и при вычислении у (t) и при вычислении у1 (t, t2) и у2 (t, t2) вид уравнения (75) не изменяется, а меняется только один аргумент правой части уравнения, то при использовании вычис­ лительных машин уравнение нужно «набрать» один раз, что упро­ щает вычисления.

В том случае, когда необходимо найти только дисперсию слу­ чайной функции Y (t) в определенный момент времени t-=tx, расчеты еще более упрощаются.

Действительно, так как D [Y (t^)] = K (tx, tx), то решение у (t) и у2 (t, t2) нужно находить только при одном значении аргу­ мента t= t1n при t2= tv Следовательно, взаимную корреляционную функцию І? (t2, t) нужно знать только при одном значении t2= tx и при значении второго агумента t, меняющемся в интервале (0 , ^). В соответствии с формулой (85) для этого необходимо найти ряд