Файл: Свешников А.А. Вероятностные методы в прикладной теории гироскопов.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 10.04.2024
Просмотров: 241
Скачиваний: 1
§ 7.3] |
МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ У РАВНЕНИЙ |
425 |
Интегрируя последнее равенство от 0 до t и учитывая при этом, что для функций Y ■(t) заданы нулевые начальные условия, имеем
и |
*п |
(7.в7) |
2 |
т r J (<) = S2 wу м*. |
|
У=1 |
о •;_1 |
|
Наконец, умножив последнее равенство на zH> (£), просумми ровав по т от 1 до п и учитывая (63), получим явное выражение искомых функций Y t (t) через правые части системы уравнений (49) в виде
2 2 * £ Ч 0 * & Ч х)Х ,(х)* - |
(7.68) |
j=\ т=1 |
|
Сравнивая последнюю формулу с (1.76), видим, что эти две фор
мулы совпадают, если положить |
Y 0 (£)=0 и обозначить |
|
I (*. х) = lij (*. х) = |
2 z(m1)z(i J }(х)- |
(7.69) |
|
т - 1 |
|
Таким образом, найдя решения сопряженной системы уравне ний (64), импульсные переходные функции г-го выхода относи тельно /-го входа могут быть определены путем суммирования произведений этих решений, взятых в соответствующие моменты времени. Дальнейшее вычисление моментов функций Y\ (t) тре бует выполнения квадратур, которые могут быть найдены численно или путем добавления в алгоритм решения системы (64) соответ ствующих математических операций.
Например, для y{(t) и D [F, (£)] имеем
Уі (0 = |
\ |
2 |
h j (*» х) x j (х) dx> |
(7-70) |
|
|
0 |
J |
п |
п |
|
|
* * |
|
|||
D ГY {(£)] = |
^ |
і 2 |
2 hi (^> ті) lij (^> х2) Rji (х1 >хг) ^хі^х2 > |
(7.71) |
|
где под |
т2) |
понимается K Xj (т,, т2). |
|
||
Существуют и другие методы вычисления моментов решения линейной системы уравнений (49), которые оказываются эффектив ными при использовании вычислительных машин (см., напри мер, [42]). Специфика применения этих методов к исследованию гироскопических устройств состоит в том, что в ряде случаев решения дифференциальных уравнений, описывающих ГУ, могут содержать высокочастотную составляющую, которую необходимо вычислять со сравнительно большой точностью, так как ее наличие
426 ИССЛЕДОВАНИЕ СЛОЖ НЫ Х ГИРОСКОПИЧЕСКИХ СИСТЕМ [ГЛ. 7
может привести к накапливающейся ошибке. В этом случае иногда бывает полезным предварительно преобразовать перемен ные в уравнениях так, чтобы искомые функции имели более плав ный характер. Эти преобразования требуют учета конкретных свойств исследуемых уравнений, а их рассмотрение выходит за рамки данной книги.
2. Исследование сложных гироскопических систем, характе ризуемых нелинейными дифференциальными уравнениями. В том случае, когда дифференциальные уравнения гироскопической системы содержат приводимые нелинейности, исследование слож ных гироскопических систем выполняется методами, кратко оха рактеризованными в предыдущем пункте.
В том случае, когда нелинейности имеют неприводимый ха рактер, задача существенно усложняется и для ее решения при ходится прибегать к различным приближенным методам, среди ко торых в последние десятилетия основное значение приобретают методы, рассчитанные на применение вычислительных машин. Из этих методов кратко остановимся только на двух: на методе Монте-Карло и на методе Доступова.
Первый метод является универсальным и его применение для ис следования сложных нелинейных гироскопических систем отли чается только спецификой набираемых на машине уравнений. В остальном же решение задачи идет по той же схеме, что и в других случаях применения этого метода: набирают на машине систему исследуемых уравнений, моделируют реализации случайных функ ций, являющихся входными возмущениями, и получают на выходе реализации случайных функций, являющихся характеристиками поведения исследуемой системы. Обработка этих реализаций об щими методами математической статистики позволяет получить вероятностные характеристики ошибок сложной гироскопиче ской системы.
Преимуществом этого метода является его универсальность и возможность исследования системы уравнений гироскопической системы без каких-либо допущений, упрощающих эти уравнения.
В качестве недостатка метода Монте-Карло следует указать резкое возрастание объема вычислений с увеличением требую щейся точности получаемых результатов, так как при фиксирован ной вероятности того, что ошибка результата не превысит по абсо лютной величине некоторого значения е, необходимое число розыгрышей пропорционально 1 /е2. Кроме того, обычно представ ляет интерес получение вероятностных характеристик выходных функций гироскопических систем не для строго заданных парамет ров системы и случайных сил и моментов, действующих на систему, а для целого диапазона этих параметров. Для применения же ме тода Монте-Карло необходимо зафиксировать значения этих па раметров, Поэтому серию розыгрышей приходится проводить
§ 7.3] МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ УРАВНЕНИЙ 427
столько раз, сколько различных комбинаций этих параметров представляет интерес. Это еще более увеличивает общий объем вычислений.
Поэтому, наряду с методом Монте-Карло, для исследования нелинейных систем находят применение различные аналитические методы, удобные для реализации на вычислительных машинах.
В качестве одного из таких методов рассмотрим метод, предло женный Б. Г. Доступовым [25] и состоящий в том, что моменты выходной функции динамической системы выражаются через ли нейную комбинацию решений системы, найденных при нескольких значениях случайных параметров, входящих в уравнения системы.
Этот метод для одного уравнения первого порядка, содержащего случайные величины, был рассмотрен в п. 4 § 5.1, где было пока зано, что если уравнение зависит от одной случайной величины А,
математическое ожидание а и дисперсия |
которой известны, т. е. |
Y = F ( Y , t , A ) , |
(7.72) |
где функция F является нелинейной функцией своих аргумен тов, то
y(t) = ?(t, â), |
(7.73) |
где tp (t, ä) — решение уравнения (72), в котором случайная вели чина А заменена ее математическим ожиданием й.
Для дисперсии решения уравнения (72) там была приведена формула
|
D [У ( * ) ] « |
» ^ J , |
(7.74) |
где уг (£) — решение |
уравнения (72), в котором случайная ве |
||
личина А заменена |
суммой ö-f-коа, |
а к — «достаточно малая» по |
|
стоянная.
Таким образом, для определения дисперсии выходной вели чины Y (t) достаточно решить исходное уравнение (72) дважды: один раз при А = й и другой раз при A=ä~\-koa.
Приведенные в § 5.1 рассуждения применимы и для уравнения более высокого порядка, чем первый (к системе уравнений первого порядка), если уравнения содержат функции случайных величин. Единственное изменение, которое нри этом будет иметь место, све дется только к тому, что у (t) и уг (£) в этом случае будут реше ниями уравнения более высокого порядка, а не уравнения первого порядка, как это было рассмотрено выше для одного уравнения. Этот метод без труда обобщается и на тот случай, когда уравнения содержат функции нескольких случайных величин.
Метод Доступова применим и в том случае, когда исследуемое дифференциальное уравнение содержит случайные функции с из вестными вероятностными характеристиками.
