Файл: Свешников А.А. Вероятностные методы в прикладной теории гироскопов.pdf

Скачать файл (17,93Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 10.04.2024

Просмотров: 237

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

§ 7.4] ПРИМ ЕРЫ ИССЛЕДОВАНИЯ СЛОЖ НЫ Х СИСТЕМ 433

угол бортовой качки Ѳ(t) — стационарная случайная функция времени, а в качестве системы уравнений, описывающей рассматри

ваемый ГК, можно принять^систему

(30), полагая

<р=y>0 =const:

[3 -)- U cos

f 0 ■а-

z sin К

Öy,

U cos ?0

ft2

z sin К

â ____ ^ _ р

( 1 — P)4>:

Ö,

U cos <p„ 1

U cos <f>o

U cos cpo

(7.91)

Ь _|_ n

Fß = —F z s'" я R

К ;;

T + 2 Ci«t +

«2y =

Z C O S

Ѳ.

Дано:

начальные

значения

углов а (г), ß (г),

у(£):

а(0) =

1,1 - ІО- 4

рад,

ß(0) = 2 -10 ~ 5

рад,

-у (0) == 0,02

рад,

ср0 =

60°,

К і (т) = а^е^Н ^cos

+ у

sin X| т Q,

о? =

6,7 • 10~ 3

рад2/секг,

р- =

0,04

1 /сек, Х=

0,42 1/сек,

*7 =

7,29 • IO“ 3

i /ceKj

^ _

о,05,

g =

981 см/сек2,

К =

45°,

п =

0,098 • ІО- 2

1/сек,

z ==—3 м,

к = 1,24 • 10_3

J /сек,

F = 1,5 • 10_31 /сек,р = 3,64*

10_3.

Р е ш е н и е .

Применение метода,

использованного

в пре

дыдущем примере, в данном случае является невозможным, так

как	[случайная				функция
Ѳ(t) входит в систему
уравнений			(91)		в	виде
произведения				Ѳ (£)-у			(t),
т. е. нелинейно. Поэто
му применим метод Досту-
пова.
Набрав систему (91) на
аналоговой машине и за
меняя при этом все слу
чайные функции а,						ß,	у, $
и Ѳ их		математическими
ожиданиями				и	учитывая
при	этом,			что	Ѳ=Ѳ— 0
вследствие стационарности процесса Ѳ(t),									с	учетом	заданных
начальных			условий			получим закон изменения				â (t), представлен
ный на рис. 7.2.					Для		нахождения	взаимной		корреляционной
функции		R^i		(t, t2),		в	соответствии	с (85)	определяем		решение

28 А . А . С в е ш н и к о в , С. С. Р и в к и н

434	ИССЛЕДОВАНИЕ СЛОЖ НЫ Х ГИРОСКОПИЧЕСКИХ СИСТЕМ		[ГЛ. 7
системы (91) при замене		Ѳ(t) на \>.г К.ъ (t2) и вычисляем R ^{t, t2)
по формуле		^	(7.92)
	RM t,
		ri

где решение задачи для разных значений [хх показывает, что

Рис. 7.3. График взаимной корреляционной функции (tx, t2).

можно положить и, = 1. Производя указанное решение системы при значениях £=^=300 сек, 600 сек, 900 сек и при значениях

	второго	аргумента				взаимной
	корреляционной функции в							ин
	тервале			получим				для
	каждого значения				зависимость
	R« 8 (fl, t2)	от t2, которая пред
	ставлена на рис. 7.3. Снова ре
	шая систему уравнений (91), в
	которой	Ѳ (t)		заменено				на
	ц2 й аіі (t2, t),		получим			решение
	а2 (t, t2),	которое			в [согласии
	с (87) дает искомую дисперсию
Рис. 7.4. График зависимости	В [я(0] =	-Я!і(*’		г)~	й{і) ,		(7.93)
D И *)].
где в соответствии с пробными расчетами		в	качестве			р2	взято
ц2 = 1 . ^

Найдя по формуле (93) для выбранных значений tx три значе ния D [а (£)], получаем возможность построить график зависи мости D [а (£)] от t (рис. 7.4).

§ 7 .4 ]

ПРИМЕРЫ ИССЛЕДОВАНИЯ СЛОЖНЫХ СИСТЕМ

435

Пример 7.3. Определить для времени I математическое ожидание ä и дисперсию D [ а (t) ] ошибки а (t) авиационной гиро вертикали, уравнение которой определяется соотношением

(3.69) при условии ірх (ж)—signx:

â ( / ) = - - / / ч — ^ s i g n l a ^ ) — Z (/)'|,

(7.94)

где отклонение физического маятника %(t) имеет нулевое матема тическое ожидание и корреляционную функцию

К г (т) = a^e-v-1т I (cos Хт -J- — sin X| т .

Данная задача отличается от предыдущей только тем, что уравнение гировертикали имеет существенно нелинейное сла гаемое sign [a (t)—y.(t)). Однако это не меняет схему решения задачи методом Доступова. Решая уравнение (94) в той же последовательности, что и в предыдущем примере, получим зна чения ä и D [а] для момента времени t.

Г Л А‘В А 8

ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ИСПЫТАНИЙ ГИРОСКОПИЧЕСКИХ УСТРОЙСТВ

§ 8Л. Общие принципы получения оценок вероятностных характеристик случайных величин

ипроцессов

1.Основные задачи, возникающие в гироскопии при обра ботке опытного материала. Применение вероятностных методов

вприкладной гироскопии возможно только в тех случаях, когда даны вероятностные характеристики случайных величин и функ ций, определяющих внешние воздействия на ГУ, или когда имею щийся экспериментальный материал позволяет непосредственно определить вероятностные свойства величин, являющихся по казаниями гироскопического устройства.

Таким образом, в прикладной теории гироскопов возникает необходимость как в определении вероятностных характеристик возмущений, так и в исследовании вероятностных свойств показа ний гироскопических приборов, являющихся случайными вслед ствие наличия различных случайных факторов, характеризую щих условия использования прибора.

Решение первой из этих задач не связано с исследованием погрешностей гироскопа как такового, а требует изучения харак тера случайных сил и моментов, действующих на ГУ. Определе ние этих характеристик необходимо для аналитического исследо вания поведения гироскопического устройства и расчета его точности.

Решение второй задачи возможно в том случае, когда мы рас

полагаем готовым образцом ГУ и можем его испытать в условиях, близких к предполагаемым условиям его эксплуатации.

Несмотря на различное прикладное содержание указанных выше двух задач, их математическая природа является одинако вой. В обоих случаях речь идет об определении вероятностных характеристик случайных величин или функций на основании обработки опытного материала. Иными словами, в обоих слу чаях мы имеем дело с основной задачей математической статис тики.

2. Получение оценок по реализациям случайных величин.

В большинстве прикладных задач, как это неоднократно от-

§ 8 . 1 ] ОБЩИЕ ПРИНЦИПЫ ПО ЛУ ЧЕНИЯ ОЦЕНОК 4 3 7

мечалось в предыдущих главах, достаточно использовать резуль таты корреляционной теории случайных функций. Поэтому остановимся прежде всего на определении первых двух момен тов случайных величин и функций.

Как известно из статистики [20], [ 30 ], f77], обработка экспери ментального материала не позволяет определить точные значе ния искомых моментов, а дает возможность найти только их приближенные значения. Эти приближенные значения, называе мые оценками искомых параметров, мы будем обозначать в даль нейшем теми же буквами, что и оцениваемые параметры, отмечая их волнистой чертой сверху.

Так, например, оценку математического ожидания х случай ной величины X будем обозначать х, оценку дисперсии этой

величины — а2 и т. д.

Рассмотрим сперва получение оценок случайной величины. Предположим, что в результате п независимых испытаний полу чено п реализаций этой величины, которые обозначим

(8 . 1)

Реализации (1) называются выборкой us генеральной совокуп ности, число п — объемом выборки, а числа Xj — элементами выборки.

Оценки моментов случайной величины X, получаемые по дан ной выборке, функционально связаны с элементами выборки Xj и, следовательно, в свою очередь являются случайными вели

чинами. Поэтому полной характеристикой оценки является ее закон распределения, вид которого зависит от вида закона рас пределения случайной величины X и характера оцениваемой величины.

Общее представление о качестве получаемой оценки можно составить без вычисления ее закона распределения, изучая не которые общие свойства оценок, из которых наиболее важными являются: состоятельность, несмещенность и эффективность.

Оценка а параметра а называется состоятельной, если ее

дисперсия стремится к нулю с ростом объема выборки, т. е. если выполняется равенство

lim D [âj = 0.

(8.2)

Оценка называется несмещенной, если математическое ожида ние оценки равно оцениваемой величине, т. е. если

М \ä\ — а

( 8. 3)

при любом п.