Файл: Свешников А.А. Вероятностные методы в прикладной теории гироскопов.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 10.04.2024

Просмотров: 233

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

§ 8.1]

ОБЩИЕ ПРИ Н Ц И П Ы П О ЛУ ЧЕН И Я ОЦЕНОК

443

Вопрос о том, какой объем выборки п можно считать «до­ статочно большим» для того, чтобы пользоваться приближен­ ными формулами (19) и (20), должен решаться с учетом необходи­ мой надежности получаемых оценок. В статистике обычно при­ нимают, что при rC^ 30 можно не делать различия между законом Стыодента и нормальным. Однако во многих случаях можно

считать, что нормальный закон распределения для х/Ѵ а* имеет место уже при меньшем п.

Кроме определения моментов закона распределения иногда возникает необходимость в определении вида закона распреде­ ления по данной выборке. Как и определение параметров закона распределения, эта задача может быть решена только прибли­ женно, т. е. может быть определен только вид закона распреде­ ления, который в данной задаче целесообразно принять в ка­ честве искомого, и указаны некоторые правила, согласно которым можно убедиться, что этот закон распределения согласуется (или не согласуется) с результатами опыта.

Не останавливаясь подробно на этой задаче, отметим только кратко порядок ее решения. Анализируя полученную выборку, обычно удается сделать предположение о виде закона распреде­ ления. Для этого (при достаточно большом объеме выборки) целесообразно построить частости попадания элемента в раз­ ряды (см. табл. 8.1). Получаемая таким образом «гистограмма» при достаточно малом интервале разряда h приближенно копирует кривую плотности вероятности / (х) и, следовательно, позволяет сделать предположение о виде закона распределения. Определив затем оценки числовых параметров этого закона (например, оценки моментов), можно написать явное выражение для плот­ ности вероятности /т (х) этого закона распределения, который обычно называют «теоретическим». Далее выбирают некоторый параметр х, который может служить мерой расхождения наблю­ даемой выборки с теоретическим законом распределения и имеет распределение, не зависящее (или слабо зависящее) от вида ис­ комого закона распределения / ( х). Если такой параметр найден, то можно определить значение ха этого параметра, удовлетворяю­ щее условию

Р { х ^ х а) = а,

(8 .2 2 )

где а — «достаточно малое» число, называемое в данном случае уровнем значимости. Если значение х,; параметра х, определен­ ного по данной выборке, оказывается больше ха, то имеет место событие, которое (в том случае, когда наше предположение о виде плотности вероятности /т (х) справедливо) имеет вероятность, меньшую малого числа а. Следовательно, произошло весьма маловероятное ^событие и можно считать, что наше предположе­ ние о виде закона распределения «не согласуется» с выборкой,

444

ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ИСПЫТАНИЙ ГУ

[ГЛ. 8

Если,

наоборот, х5^ > к, то выборка не противоречит

принятому

закону

распределения.

 

Различные критерии согласия отличаются друг от друга вы­ бором параметра х. В наиболее широко применяемом критерии согласия К. Пирсона за меру расхождения теоретического закона распределения с данными опыта принимается величина у2, опре­ деляемая формулой

т

 

 

(8.23)

где рг — вероятность попадания

элемента выборки в

разряд

номер I при наличии теоретического закона распределения, опре­

деляемая формулой

 

 

іа

 

 

Р і = \

/тИ ^-т.

(8.24)

h(i-i)

 

 

a pt — частость попадания в этот разряд, полученная на опыте (см. табл. 8.1). В математической статистике доказывается [30], что при и->оо закон распределения случайной величины Z= / 2 стремится к универсальному закону распределения, не завися­ щему от закона распределения случайной величины X. Плотность вероятности этого распределения определяется равенством

/(«)

z к

(8.25)

2 ^ 2

 

 

где к — «число степеней свободы», связанное

с числом разрядов

т и числом г соотношений, использованных для определения параметров закона распределения /т (х) по данной выборке, фор­

мулой

(8.26)

к — т—г—1 .

Для закона распределения (25) составлены таблицы вероят­

ностей

 

Р{Х2> ^ } = « ,

(8-27)

которые дают значение у^ (или уа) по заданному уровню

значи­

мости а. Входами в эти таблицы, как это ясно из вышеизложен­ ного, является величина а и число степеней свободы к. Даль­ нейшее применение критерия согласия Пирсона не отличается от общей схемы, изложенной выше.

Й§ К критериям согласия по своей идее близко примыкают крите­ рии, служащие для проверки гипотезы о тождественности зако­ нов распределения в двух выборках или о тождественности пара-

§ 8.1] ОБЩИЕ ПРИНЦ ИПЫ П О ЛУ ЧЕНИЯ ОЦЕНОК 445

метров распределения этих законов в том случае, когда вид за­ кона распределения известен.

Из критериев первого типа можно указать на критерий согла­ сия Н. В. Смирнова, основанный на критерии согласия А. Н. Кол­ могорова, подробности о котором можно найти, например, в [20]. Из критериев второго типа рассмотрим только проверку гипо­ тезы о равенстве математического ожидания в серии выборок, если известно, что закон распределения во всех выборках нор­ мальный с одинаковой дисперсией. В этом случае, согласно схеме,

принятой в дисперсионном анализе Р.

Фишера,

надлежит посту­

пать следующим

образом.

 

 

 

 

 

Пусть

имеется к выборок:

 

 

 

 

 

 

 

7 = 1 , 2 ,

к; N-.

к

 

(8.28)

x j , и x

j , i '

n j

2

nj

 

 

 

 

 

j=

1

 

Известно, что случайные величины, реализациями которых яв­ ляются рассматриваемые выборки, подчиняются нормальному закону распределения с одинаковой (неизвестной) дисперсией, но, возможно, с различными математическими ожиданиями. Требуется проверить, насколько результаты опыта соответствуют предположению о равенстве математических ожиданий во всех выборках. Если это предположение верно (справедлива «нулевая

гипотеза»),

то

величина

^

 

 

 

 

 

 

7 _ °й

 

(8.29)

 

 

 

 

г

 

 

где

 

 

 

 

 

 

 

к

 

 

 

к n j

 

« к -

2

» , ('X J

*)2>

 

х ^ '

(8.30)

 

У=1

 

 

7=1 ѵ=і

 

 

 

 

n j

 

к

 

 

 

â

v=l

 

 

(8.31)

 

 

 

 

j — i

 

подчиняется закону распределения Фишера со степенями свободы (к—1) и (N—к), имеющему плотность вероятности

/ N — 1\

к-ъ

 

/ ( г ) = 7 7 ^ г Г - ^

E r

(8'32)

Следовательно, можно задаться достаточно малой вероят­ ностью а и определить соответствующий ей уровень za величины Z такой, чтобы выполнялось равенство

Р (Z > zs} = a.

(8.33)

446

ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ИСПЫТАНИЙ ГУ

[ГЛ. 8

Если фактически определенное по формулам (29), (30), (31) значение zq случайной величины Z окажется больше za, то веро­ ятность нулевой гипотезы будет меньше а и можно считать, что нулевая гипотеза не согласуется с опытом. В случае, когда zq^ z a, результаты опыта не противоречат нулевой гипотезе.

Закон распределения Фишера может быть использован и для проверки гипотезы о равенстве дисперсий двух нормальных слу­ чайных величии X и Y, для которых в результате пх и соответ­ ственно пу независимых испытаний получены две выборки

 

х ѵ х2,

. .., хПі,

уѵ у2, . .

ущ.

 

 

(8.34)

Как доказывается в математической статистике [20],

отношение

оценок дисперсий

 

^

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z = - 4 ,

 

 

 

 

 

(8.35)

где, как обычно,

 

Ч

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

j= 1

 

 

 

j-

1

 

 

 

 

 

j=i

 

 

 

 

 

 

 

(8.36)

 

 

 

У = 1

 

 

 

 

 

подчиняется закону

распределения

Фишера

с /с1 =тг1—1

и

к2=

= пг — 1

степенями

свободы.

 

 

 

 

 

 

 

 

Следовательно, и в этом случае можно определить предель­

ное значение величины z=za, превзойти которое

полученное на

опыте значение z=zq может только

с вероятностью, меньшей а.

Значения za при различных вероятностях

а. и числах

свободы

к1 и к2 даны в таблицах, имеющихся в ряде источников (см.,

на­

пример,

[20]). При составлении этих таблиц принято,

что Z есть

отношение большей дисперсии к меньшей (т. е.

всегда

1 ).

Следовательно, если окажется, что

zq^>za,

то

это

означает,

что

при нулевой гипотезе

(дисперсии

а2

и о2

равны)

произошло со­

бытие, вероятность которого меньше а, и следовательно, при вы­ бранном уровне значимости нулевая гипотеза должна быть от­ вергнута.

По такой же схеме производится оценка гипотезы о равенстве математических ожиданий двух нормальных генеральных сово­ купностей, обладающих одинаковыми (неизвестными) диспер­ сиями, если оценки этих математических ожиданий определя­ ются по выборкам (34). Отличие заключается только в том, что вместо закона Фишера в данном случае используется закон рас-

Смотрите также файлы