§ 8.1] ОБЩИЕ ПРИНЦ ИПЫ ПО ЛУ ЧЕНИЯ ОЦЕНОК 447
нределения^Стыодента с числом степеней свободы к -п 1-\-п2—2, которому подчиняется величина
^ а ^пх (пг + « 2 —’2 )
(8.37)
ѵбг, — щи"
і'де
(8 .3 8 )
а £ и ajj — оценки математического ожидания и дисперсии,
найденные по обеим выборкам (34), рассматриваемым как выборка объемом (Пі+Пг) из одной генеральной совокупности. Применение закона Стьюдента для оценки гипотезы об одинаковых значениях математических ожиданий ж и у отличается от проверки гипотез, рассмотренных выше, только тем, что вместо таблиц закона распределения Фишера в данном случае надо использовать таблицы закона распределения Стьюдента, которые можно найти
в I*«»], |
Р ] . |
3. |
Получение оценок по реализациям случайных функций. |
Во всех рассмотренных выше методах обработки эксперимен тальных данных предполагалось, что в качестве исходного ма териала дана выборка типа (1 ), т. е. совокупность независимых реализаций случайных величин. В том случае, когда исходным экспериментальным материалом являются реализации случай ных процессов, возникает ряд особенностей, связанных, во-пер вых, с тем, что значения реализаций случайных процессов в раз личные моменты времени являются реализациями зависимых случайных величин, и, во-вторых, с тем, что в этом случае воз никают не только задачи нахождения оценок числовых пара метров, но и задачи нахождения оценок различных функций, таких, как, например, корреляционных функций и спектраль ных плотностей.
Приведем основные правила обработки реализаций случай ных функций, ограничиваясь рассмотрением только стационар ных случайных процессов.
Предположим, дана реализация стационарного случайного процесса X (t) на интервале времени (0, Т). Обозначим эту реали зацию X (t). Реализация х (t) в статистике случайных процессов играет роль, аналогичную выборке (1 ) в статистике случайных величин, а длина реализации Т в некотором смысле слова ана логична объему выборки п.
Если случайный процесс X (t) является эргодическим (см. [вв ]), то по реализации х (t) можно определить оценки ряда характерис тик случайного процесса X (t), причем точность этих оценок будет повышаться с увеличением длины реализации Т.
4 4 8 О Б Р А Б О Т К А Р Е З У Л Ь Т А Т О В И С П Ы Т А Н И Й Г У І Г Л . 8
Не останавливаясь здесь на формулировке условий эргодич ности, отметим только что во всех задачах, которые будут рассматриваться ниже, это условие выполняется. Общие характе ристики оценок, с которыми мы имели дело применительно к оцен кам параметров закона распределения случайных величин (сос тоятельность, несмещенность, эффективность), применимы и к оценкам параметров случайных функций, однако имеют нес колько другой вид вследствие того, что роль объема выборки в данном случае играет длина реализации Т.
Так, например, если обозначить Кх (т) оценку корреляцион ной функции стационарного случайного процесса X (t), то оценка
будет состоятельной, если |
|
lim D \ Кх (ъ)] = 0. |
(8.39) |
71 -> со |
|
Оценка ІГДт) будет несмещенной, осли |
|
м [ З Д ] = В Д . |
(8.40) |
и наконец, оценка будет асимптотически несмещенной, если |
lim М Г ^ т )! = *,(*). |
(8.41) |
Т - > со |
|
Перейдем к рассмотрению правил нахождения оценок основ ных параметров стационарной случайной функции.
Несмещенная состоятельная оценка математического ожи дания X стационарной случайной функции определяется формулой
т |
|
X = ^г ^ X (t) dt. |
(8.42) |
о
Дисперсия этой оценки, служащая мерой ее эффективности, связана с корреляционной функцией Кх ( т) формулой
т |
|
D[£J = ft j (Т — t)K x (x)d-z. |
(8.43) |
о |
|
При вычислении оценки математического ожидания по фор муле (42) используются все ординаты реализации х (t), и поэтому можно было бы думать, что эта оценка является более эффектив ной, чем оценка, которая использует только дискретное число орди нат, выбранных, например, в концах интервалов Д, получаю щихся путем разбиения всего интервала Т на тп равных частей. Однако, как на это впервые обратил внимание С. Я. Виленкин [1Б],
§ 8.1] |
О Г . І Ц И Е П Р И Н Ц И П Ы П О Л У Ч Е Н И Я О Ц Е Н О К |
449 |
|
оценка |
хт математического |
ожидания, которая для дискретного |
числа |
ординат выражается |
формулой |
|
m
(8.44)
(при весьма общих предположениях о виде корреляционной функции ^ ( т ) ) , при некоторых значениях т может иметь мень шую дисперсию, чем оценка (42). Иными словами, существует оптимальный интервал дискретности, при котором оценка по дискретному числу ординат имеет меньшую дисперсию, чем оценка, использующая весь непрерывный график реализации X (t). Хотя выигрыш, получаемый при оптимальном шаге дис кретности, и невелик (порядка МТ1), указанные выше свойства оценки хт следует учитывать в том случае, когда получение не прерывной реализации процесса связано с добавочными трудно стями (см. [в6]), например, когда ординаты случайного процесса получаются путем фотографирования шкал приборов.
Формулы (42), (44) и соответствующие им формулы для дис персий оценок предполагают, что математическое ожидание х является постоянной величиной. Если данное условие не выпол няется, как это часто имеет место вследствие «дрейфа нуля» раз личных приборов, то оценка математического ожидания будет иметь систематическую ошибку, которая может расти с ростом Т. Поэтому нахождению оценок математического ожидания по ука занной выше схеме всегда должен предшествовать анализ опыт ного материала в целях проверки правильности предположения о стационарности процесса. Иногда для такого анализа достаточно исследовать физические причины возникновения случайного про цесса. В других случаях приходится обрабатывать реализацию процесса по частям и исследовать, может ли расхождение оценок для различных участков реализации быть объяснено случайными причинами, или мы имеем дело с систематическим изменением математического ожидания, т. е. процесс не является стацио нарным.
Так как корреляционная функция процесса X (t) является математическим ожиданием произведения
[X (t) — я] [X (t + т) — X]
то, используя формулу (42) и заменяя X его оценкой х, для оценки Кх (т) получим
(8.45)
= ^ [x{t)~x\[x(t-\- i) — x\dt.
О
29 А . А . С в е ш н и к о в , С. С. Р и в ш ш
450 |
О Б Р А Б О Т К А Р Е З У Л Ь Т А Т О В И С П Ы Т А Н И Й Г У |
[ Г Л . 8 |
Оценка (45) будет асимптотически несмещенной и состоятель ной. Для определения ее дисперсии в общем случае уже недоста точно знания корреляционной функции процесса (или ее оценки), а необходимо располагать моментами ординат случайной функ ции до четвертого порядка включительно. Однако если процесс X (t) является нормальным, то эти моменты могут быть выра жены через Кх {і) и для дисперсии оценки (45) может быть полу чена формула, при выводе которой для простоты считалось, что оценка х получена по отрезку реализации х (t) в интервале (0, Г—х). В этом случае
м |
[ а д |
] = |
а д |
- |
|
|
|
|
|
|
(Т |
|
|
\ |
(7’ — х — ті)І'^Лх + ^і) + |
^х(т — Ti)]dxi- |
|
D f^ W l = (T T T ^ 5 ( Г - т - х ,) [ Я * ( т 1) + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
т-~ |
|
|
|
+ |
л'Д х + |
хі) л'Л х — хі)М хі + |
yz= ^ k (х) \ |
r**(x + |
xi) + |
|
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
У’- т |
|
|
|
|
+ К |
(х- |
тд - к х (X)] dxx- |
J хх [Кх(, + |
хх) + |
(8.46) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Т - т У’- т У’- т |
|
|
|
+ |
ХДх- т 1) ] ^ - (^Л -Гз J |
J |
$ IК Л к - І г ) К Л Ь - І г ) + |
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|
-\-к ЛЧ — * — h) к х if3 + х — h)] d t ^ d t g + |
|
|
|
7 -т |
|
|
|
|
|
\ 2 |
|
|
|
|
\ |
(71 — X — T j ) [Kx(x + xx) + Kx(z — X j ) ] |
dTxJ -f |
|
|
|
0 |
|
г T— 1 |
|
|
J |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(T’- x ) 4 |
S |
іт— x — xi ) ^ ( xi)^xi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В том случае, когда математическое ожидание ж известно, в фор муле (45) £ нужно заменить на %, оценка корреляционной функ ции становится несмещенной (в отличие от оценки (45), которая только асимптотически несмещенная), а вместо формулы (46) для дисперсии оценки получим более простое выражение
D |
f C |
( x) |
Т - т |
- |
( |
F |
^ |
S |
( r |
- |
x - |
] |
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
+ ^ ( x + xl ) ^ ( x — h) \dxl- |
( 8 -4 7 ) |
§ 8.1] |
ОБЩИЕ ПРИНЦ ИПЫ П О ЛУ ЧЕНИЯ |
ОЦЕНОК |
451 |
Положив |
в последней |
формуле |
т = |
0, получим |
дисперсию |
оценки дисперсии Кх (0) нормального |
случайного процесса X (t) |
при известном х: |
т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D [Кх (0)] = |
± \ ( Т - ^ ) К 1 |
(тх) dxv |
(8.48) |
|
|
0 |
|
|
|
В формулы (46), (47), (48) входит корреляционная функция Кх (т) случайного процесса X (t), которая, по смыслу рассматри ваемой задачи, является неизвестной. Поэтому во всех формулах в правых частях равенств неизвестную функцию Кх (і) для полу чения окончательного числового результата приходится заме нять ее оценкой Ё х {і). Эта замена вносит тем меньшую ошибку, чем больше длина реализации Т и чем, следовательно, точнее оценка R x (т). Однако даже в том случае, когда оценка корреля ционной функции не обладает большой точностью, эта замена обычно бывает допустима, так как необходимая точность полу
чения дисперсии |
D [Rx ( т) 1 бывает невысокой — достаточно оце |
нить порядок |
ее |
величины. |
В формулах (42) и (45) предполагается, что математическое |
ожидание х |
случайной функции X (t) является постоянной. |
На практике иногда это предположение не выполняется строго («дрейф нуля»), В этом случае оценки х к К х (т) будут содержать систематические ошибки, величина которых, как правило, рас тет с ростом Т.
При получении оценки спектральной плотности представля ется естественным принять за основу связь между спектральной
плотностью |
и корреляционной |
функцией |
(1.96), заменив |
в этой |
формуле S x |
( id) и Кх ( т) их оценками, т. |
е. положив |
|
|
|
т |
|
|
|
= І |
S e - ^ K x (r)dr, |
(8.49) |
|
—т |
|
|
где замена области интегрирования (—оо, со) на (—Т, Т) явля ется вынужденной, поскольку вне этого интервала значение оценки Кх {і) не может быть получено. Однако формула (49) не является наилучшей и может быть применена только в том случае, если вид корреляционной функции Кх (і) не вызывает
сомнения и оценка Кх ( т) используется только для определения параметров этой корреляционной функции. В этом случае в фор мулу (49) нужно подставить соответствующее аналитическое выражение, которому и будет соответствовать оценка S x ((o) (в этом случае интегрирование нужно проводить от —оо до + 00)- Если вид Кх ( т) нам неизвестен, а вся обработка реализации ве дется для определения тонкой структуры спектральной плотности, то формула (49), в которую подставляется в этом случае экспе-
