Файл: Свешников А.А. Вероятностные методы в прикладной теории гироскопов.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 10.04.2024

Просмотров: 228

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

452 ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ИСПЫТАНИЙ ГУ [ГЛ 8

риментально найденная оценка К г (т), не годится, так как конеч­

ные

пределы

интегрирования

и увеличение дисперсии

й х (')

с ростом т не только не позволят выявить характерные

особен­

ности Sx ( с о ) ,

но, как правило,

будут приводить к тому, что при

некоторых значениях со мы будем получать отрицательные орди­

наты

спектральной плотности — результат, противоречащий са­

мому понятию спектральной плотности.

Еще менее приемлемым является определение оценки по фор­

муле

 

 

 

п

\

1 ! I е "°г \х (t)—т,\ dt

(8.50)

7

И =

2

 

которая представляется «естественным» следствием определения спектральной плотности как усредненного значения квадрата

модуля комплексной амплитуды гармоники частоты

си.

Формула (50), которая иногда приводится в литературе, не

позволяет получить состоятельной оценки,

так как lim

D [/ (со)] =£=

=7^=0, хотя lim М [/ (со)] = Sx (со). Например,

Т-*• со

для нормального про-

Т-усо

 

 

цесса

 

 

lim D [/ (со)] = 5* (со).

(8.51)

оэ

 

 

Не останавливаясь более подробно на этом вопросе (см., на­ пример, [6в]), укажем только на сущность приема, используе­ мого для получения оценки спектральной плотности. Состоя­ тельную и асимптотически несмещенную оценку Sx ( со) удается получить, если под знак интеграла (49) ввести весовую функ­ цию h (т), обращающуюся в нуль вне интервала (—Т0, Т0) и по­ добранную так, чтобы она удовлетворяла еще некоторым доба­ вочным условиям. Увеличение Т0 уменьшает систематическую ошибку § х (со) (делает ее «менее смещенной»), уменьшая одновре­ менно ее эффективность. Поэтому выбрать рациональное значе­ ние Т0 (при достаточно большой длине реализации Т) практи­ чески удается следующим образом: выбрав вид весовой функции h (т), производят расчет § х (со) по формуле

т

S

8^ 2)

= è

—т

при различных значениях Т0 идя, например, от меньших к боль­ шим. При малом Т0 график функции Sx ( со) будет иметь вид плав­ ной кривой, на которой сглажены все характерные особенности спектральной плотности. По мере увеличения Тп эти характерные особенности начнут постепенно проявляться, однако весь ход графика Sx ( со) будет становиться менее устойчивым. Наконец,

§ 8.1]

О Б Щ И Е П Р И Н Ц И П Ы П О Л У Ч Е Н И Я О Ц Е Н О К

4 5 3

при дальнейшем увеличении Т0, как правило, получаются кри­ вые, имеющие вид реализации случайной функции. Если Т доста­ точно велико, то можно найти такое значение Т0, при котором S ( со) будет иметь устойчивую тонкую структуру, соответствую­ щую истинному виду Sx (ш). Если такого значения Т0 найти не удается, то это означает, что объем экспериментального материала недостаточен. Вид весовой функции h (т) можно менять довольно в широких пределах, и в литературе имеется ряд предложений на этот счет. Формула (52) эквивалентна формуле

СО

(8.53)

— СО

где I ( ш) определяется (50), а w ( ш) является преобразованием Фурье весовой функции h(i) .

В некоторых случаях обрабатываемые реализации имеют вид сравнительно медленно меняющихся функций, на которые нало­ жена быстро осциллирующая функция, т. е. реализация представ­ ляет собой как бы сумму низкочастотной и высокочастотной сос­ тавляющих. Подобная картина имеет место в том случае, когда спектральная плотность процесса имеет два резко выраженных максимума — в области низких частот и в области высоких час­ тот. (При исследовании ГУ эти максимумы могут соответствовать, например, прецессионной и нутационной частотам гироскопа, частоте качки корабля и частоте вибраций места установки ГУ.) В этом случае хорошие результаты дает^раздельная]* обработка низкочастотной и высокочастотной составляющих случайного процесса. Для этой цели реализации предварительно тем или иным методом сглаживают, получая таким образом «низкочас­ тотную составляющую». Затем вычитают эту составляющую из реализации и получают высокочастотную составляющую (см., например, [84]). Более подробное изложение методов оценки спектральной плотности выходит за рамки данной книги. Необ­ ходимые подробности можно найти в ряде источников [88], [78],

Р ] ,

1 5 Ы 66].

В

заключение общего обзора методов обработки реализаций

случайных функций кратко остановимся на определении закона распределения ординат случайных функций и проверке согласия теоретического закона распределения с экспериментальными дан­ ными. Рассмотрим снова реализацию случайной функции X (t), заданную на интервале времени (0, Т). Проведем прямую, парал­ лельную оси времени на расстоянии х от оси абсцисс. Эта прямая пересечет реализацию в ряде точек, соответствующих выбросам случайной функции за данный уровень. Обозначим время пребы­ вания реализации выше уровня х после /-го выброса через t..

454 ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ИСПЫТАНИЙ ГУ [ГЛ. 8

Тогда в качестве оценки F (х) функции распределения F (х) можно принять

F ( x ) = i - 1 2 ^

?(8 -5 4 )

о

 

где суммирование производится по всем выбросам, имевшим место для данной реализации в течение времени Т. Оценка (54) является состоятельной и несмещенной.

При обработке реализаций случайной функции также может возникнуть вопрос, насколько экспериментальный материал со­ гласуется с предположением о виде закона распределения. На­ пример, можно ли считать случайную функцию нормальной? Если обозначить функцию распределения предполагаемого за­ кона распределения через FT (ж), то вопрос сводится к оценке согласия FT (ж) с полученной на опыте оценкой F (х).

Применение для этой цели критериев согласия, разрабо­ танных для случайных величин, невозможно хотя бы потому, что во все формулы в этом случае (см., например, формулу (25)) входит число степеней свободы, связанное с объемом выборки п, теряющее смысл применительно к реализации случайной функции. Однако при небольшом видоизменении некоторые из этих крите­ риев (например, критерий согласия К. Пирсона) могут быть применены и для случайных функций. Подробнее об этом можно найти, например, в [в6] *).

§ 8.2. Обработка результатов испытаний гироскопических устройств

1. Определение параметров гироскопических устройств. Рас­ смотрим сперва простейшую задачу обработки эксперименталь­ ных данных, связанную с определением параметров ГУ: смеще­ ния Іг центра тяжести гироскопа относительно точки подвеса, кинетического момента гироскопа Н, коэффициента жесткости пружины в гиротахометре и т. п. Будем считать в данном пара­ графе, что условия работы ГУ являются неизмененными, и следо­ вательно, искомые параметры являются постоянными величи­ нами, а не функциями времени. Случайность этих величин связана с тем, что их значения всегда несколько отличаются Рот рас­ четных, и следовательно, при рассмотрении нескольких приборов одной партии мы всегда будем иметь случайный разброс пара­ метров ГУ, хотя для каждого прибора в отдельности эти пара­ метры выступают в качестве постоянных величин, значения кото­ рых необходимо определить на опыте.

*) См.

также Дж. Б е н д а т, А. П и р с о л , Измерение и анализ

случайных

процессов, ^«Мир», 1971.

§ 8.2 J

ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ИСПЫТАНИЙ Г У

4Г)5

Таким образом, обработка результатов опыта в данном, прос­ тейшем случае может преследовать две различные задачи: а) оп­ ределить значения параметров ГУ и указать точность этого опре­ деления и б) найти закон распределения величин параметров для приборов данной партии (данной технологии изготовления).

Рассмотрим обе эти задачи подробнее. Если бы при измерении параметра а ГУ отсутствовали ошибки измерения, то первая задача решалась бы точно путем однократного измерения. Однако в действительности всякое измерение сопровождается ошибкой, следовательно, произведя п раз измерение параметра, мы полу­ чим серию чисел

хѵ х.2, х3, . . ., хп,

(8.55)

которые при независимых измерениях можно считать выборкой объема п из некоторой генеральной совокупности (см. § 8 .1 , п. 2). Ошибки измерения в подавляющем числе случаев можно считать нормальными величинами. Следовательно, выборку (55) можно считать выборкой из нормальной генеральной совокуп­ ности и применить к ее обработке формулы математической ста­ тистики, приведенные в предыдущем параграфе для этого случая. Если при измерении величины а отсутствуют систематические ошибки, то искомый параметр а равен математическому ожи­ данию случайной величины X, соответствующей выборке (55). В этом случае в качестве оценки а следует принять оценку мате­ матического ожидания X, т. е. на основании (5)

П

 

ä = x = ^ ^ x j .

(8.56)

3 = 1

 

В качестве оценки дисперсии ошибки определения параметра а

на основании (6 ) и (1 2 ) имеем

 

П

 

=

<8 '57>

з=і

 

Наконец, для определения доверительного интервала е, в ко­ тором может находиться ошибка определения искомого параметра а с заданной доверительной вероятностью а, на основании (17) имеем

а = Р ( І а — « l< s } =

2^ Sn_x(t) dt,

 

 

 

О

(8.58)

t,

в ^ п

е 'Jп

 

 

 

3 = 1

45В

ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ИСПЫТАНИЙ ГУ

[ГЛ. 8

где величина

а должна быть выбрана так, чтобы

 

 

1 — а < 1 .

(8.59)

Как отмечалось в § 8.1, при достаточно большом п (п >- 30) закон распределения Стьюдента Sn (t) практически не отличается от нор­ мального закона распределения, и следовательно, вместо фор­ мулы (58) можно пользоваться формулой

(8.60)

где Ф (X) — интегральная функция Лапласа [см. (1.21)]. Независимо от того, применяется формула (58) или (60),

понятие доверительного интервала может быть использовано как для определения числа опытов, для которого при заданной гарантийной вероятности ошибка не выйдет за пределы задан­ ного интервала, так и для определения вероятности, с которой при заданном числе измерений гарантируется ошибка параметра, не большая заданной.

Впервом случае, задавшись величиной е и а, по формулам (59)

и(60) определяют с помощью соответствующих таблиц значение дроби

откуда находят искомую величину п:

(8.62)

Во втором случае по е, п и а| находят taи по формулам (59) и (60) определяют а *).

Во всех предыдущих формулах мы считали, что изменения значений параметра а, получаемые при различных измерениях, вызываются ошибками измерения. Очевидно, что все приведенные выше рассуждения остаются в силе и в том случае, когда неста­ бильность результатов связана не только с ошибками измери­ тельной аппаратуры в собственном смысле слова, но и с неста­ бильностью условий работы ГУ, например, с нестабильностью температуры, нестабильностью частоты тока, питающего гиро­ мотор, и т. д.

Единственное предположение, которое необходимо для при­ менимости приведенных выше формул, состоит в требовании отсутствия систематических ошибок, т. е. отсутствия постоянно

*) Входящая в формулу (61) величина является характеристикой точности метода измерения параметра а и мало зависит от числа опытов п.

Смотрите также файлы