Файл: Свешников А.А. Вероятностные методы в прикладной теории гироскопов.pdf

458 ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ИСПЫТАНИЙ ГУ ІГЛ. 8

от систематических ошибок, то вместо выборки (64) после ис­ пытания т приборов мы будем иметь выборку

«и äs------ e«. (8-R7)

где через а, обозначена оценка величины ап полученная по фор­ муле (56). Если считать, что измерение параметра для каждого прибора делается независимо от измерений для других приборов, то элементы выборки ät являются независимыми. Обработав реализации äl методом, рассмотренным в § 8 .1 , п. 2 , для выборки (67) можно найти «теоретический» закон распределения пара­ метра А, получаемого путем измерения значений этого параметра для серии однотипных приборов. Так как значения ät получаются с ошибкой измерения, характеризуемой плотностью вероятности

в нем / (а+(., (а) на /т (а). Однако практически задача существенно упрощается, так как обычно и закон распределения случайной величины А и закон распределения случайной величины X, харак­ теризующей ошибки измерения är можно считать нормальными. В этом случае достаточно определить дисперсию случайной ве­ личины А, которая, в соответствии с общей формулой (1.39) для дисперсии суммы независимых слагаемых и формулами (6 6 ) и (65), определяется равенством

т

2. Испытания ГУ для проверки их соответствия техническому заданию. Во многих случаях испытания ГУ производятся с целью проверки соответствия их параметров техническому заданию. При этом испытациц ставятся или в порядке технического^коц-

i 8.2] ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ИСПЫТАНИЙ ГУ 459

троля в процессе изготовления ГУ или в процессе контрольных проверок после хранения изделия перед его эксплуатацией или, наконец, в порядке различных регламентных проверок.

Во всех этих случаях возникает задача определения, насколько испытываемое изделие укладывается по значениям его параметров (будем рассматривать только случай, когда параметры являются постоянными величинами) в определенные пределы, обеспечиваю­ щие нормальную работу ГУ при его эксплуатации. Задача обычно усложняется тем, что определение значения параметра изделия сопровояедается ошибками, и следовательно, о пригодности изде­ лия приходится судить не по истинной величине измеряемого параметра, а по его оценке. При этом возникает вопрос об уста­ новлении необходимых допусков, определении требующегося числа испытаний и о рациональном способе проведения испытаний.

Рассмотрим возникающие при этом вопросы более подробно. Сформулируем прежде всего задачу математически. Путем анализа условий применения гироскопического устройства уста­ новлен интервал (аѵ аа), при попадании внутрь которого пара­ метра устройства а обеспечивается необходимое качество системы, составной частью которой это устройство является. Производится серия п испытаний, при каждом из которых определяется пара­ метр а с ошибкой X , имеющей нулевое математическое ожидание и дисперсию огх. Требуется указать признак, при наличии кото­ рого прибор следует признать не удовлетворяющим предъявля­ емым ему требованиям, и наконец, указать число испытаний п , при котором вероятность а признать некачественный прибор

качественным была бы достаточно малой величиной.

Рассмотрим решение этой задачи для простейшего (но наиболее часто встречающегося) случая, когда ошибка измерения X явля­ ется нормальной величиной. Также нормальным будем считать и закон распределения параметра А. Интервал (аѵ а2), как было указано выше, определяется из анализа условий использования ГУ и не является искомым в данной задаче. Примем для простоты, что прибор бракуется, если измеренная величина параметра а выйдет хотя бы раз за интервал (Ьх, Ь2), расположенный симмет­ рично относительно расчетного значения параметра ä, а также будем считать, что

и определим вероятность а при заданном s после п испытаний, показавших, что исследуемый параметр лежит в интервале (Ь,, Ъ2).

Если точность измерения параметра, характеризуемая средней квадратической ошибкой измерения ах, известна, то искомую вероятность можно определить путем следующих рассуждений.

Обозначим через /а (а) плотность вероятности случайной вели­ чины А, которую будем считать известной на основании предвари­ тельного анализа процесса изготовления приборов подобного типа («априорная плотность вероятности»), и через / 0 (а/С) — плотность вероятности, которую следует принять для параметра а после того, как при п испытаниях имело место событие С, состоя­ щее в том, что измеренное значение параметра А ни разу не вышло за интервал (Ьи Ь2) («апостериорная плотность вероятности»). Согласно формуле умножения вероятностей имеем

Наконец, интегрирование последнего выражения по а от а—е0 до а + е 0 даст для искомой вероятности а окончательное выраже­ ние

Формула (77) позволяет исследовать зависимость вероятности а признать некачественный прибор качественным от числа испыта­ ний п и ширины контрольного интервала е. Для рационального выбора окончательных значений этих величин необходимо учи­ тывать и значение вероятности ß того, что качественный прибор будет признан некачественным, что может часто иметь место, например, если интервал е взять очень узким.

Вероятности а и ß, которые в статистике часто называют «риском потребителя» и «риском поставщика», необходимо учи­