Файл: Свешников А.А. Вероятностные методы в прикладной теории гироскопов.pdf

тывать при разработке рациональных методов контроля. Более подробное изложение относящихся к данному вопросу сообра­ жений выходит за рамки настоящей книги (см., например. [21],

В некоторых случаях возникает необходимость выяснить, не имеются ли среди испытанных приборок образцы, значение параметра А которых не может быть объяснено случайным его разбросом в соответствии с имеющимся законом распределения этого параметра. Например, такая задача может возникнуть в том случае, когда приборы изготовляются на различных заво­ дах и есть основание считать, что условия работы или принятая технология на одном из заводов приводят к систематическому изменению значения параметра прибора. Так как в подавляющем большинстве случаев и ошибки измерения и истинные значения параметра можно считать нормальными величинами, то здесь могут быть использованы формулы (29)—(33) дисперсионного анализа Фишера. В ряде случаев может быть использован и кри­ терий согласия Смирнова. Их применение к исследованию кон­ кретного ГУ рассмотрено в примере 8.1.

§ 8.3. Определение характеристик случайных функций, являющихся ошибками ГУ

1. Определение параметра ГУ при ошибках измерения, яв­ ляющихся случайной функцией времени. Определение вероятно­ стных характеристик случайных функций при исследовании гироскопических устройств не отличается в принципе от опреде­ ления вероятностных характеристик любых случайных функций и имеет только некоторые особенности, связанные со спецификой решаемых при этом задач.

В качестве первой задачи такого типа рассмотрим определение параметра гироскопического устройства в том случае, когда измерение его величины сопровождается ошибкой X (t), имею­ щей характер стационарной случайной функции. Подобная за­ дача возникает, например, при контрольных проверках ГУ и в некоторых других случаях. Предположим, что измерения производятся непрерывно в течение промежутка времени Т. В результате измерений мы получим реализацию у (t) случайной функции Y (t), связанную с реализацией х (t) случайной функ­ ции X (t) соотношением

Будем считать, что измерение свободно от систематической ошибки, и следовательно, математическое ожидание х равно нулю. В этом случае задача сводится к определению математического

462 ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ИСПЫТАНИЙ ГУ [ГЛ. 8

ожидания у , которое равно искомому значению параметра а. Эта задача не отличается от общей задачи, рассмотренной в § 8 .1 , и. 1, и следовательно, формулы (42) и (43) полностью применимы в данном случае. Однако рассматриваемой задаче можно придать и несколько другой вид, который иногда возникает при контроль­ ных испытаниях приборов. Предположим, что нам задан интер­ вал (%, а2), при нахождении внутри которого параметра а счита­ ется, что прибор удовлетворяет техническим условиям, а при на­ хождении вне этого интервала — не удовлетворяет. Предположим далее, что в целях простоты контроля принимается, что первое условие выполнено, если за время Т не наблюдалось ни одного выброса за «дозволенный» интервал (Ьг, Ь.2), и не выполнено — если наблюдался хотя бы один выброс за границы указанного интервала. Требуется определить границы интервала (bv b2) и длительность контроля Т таким образом, чтобы вероятность а признать исправным прибор, не удовлетворяющий техническим условиям, была достаточно малой. Не останавливаясь на выборе допустимого значения а (при этом нужно учитывать возможные последствия от пропуска дефектного прибора, недопустимость частой браковки исправных приборов и ряд других обстоятельств),

задача сводится к нахождению одного параметра е, определяю­ щего интервал (а — е, а + е), невыход за который в течение времени Т гарантирует с вероятностью а нахождение параметра А в интервале (79).

Если случайная функция X (t) нормальная и имеет дробно­ рациональную спектральную плотность, то эта задача может быть решена с помощью теории марковских процессов. Для этого достаточно заметить, что, согласно теореме Дуба (см. § 1.3), функ­ ция X (t) является компонентой марковского процесса, и следо­ вательно, задача сводится к решению уравнения Колмогорова (1.147) при соответствующих граничных и начальных условиях, которые должны учитывать закон распределения значений пара­ метра А.

Для простейшего случая, когда ошибка X (t) имеет кор­ реляционную функцию видаа2е~и-ІтІ, эта задача решена до конца [2 1 J, для более сложного вида корреляционной функции задача реша­ ется по той же схеме, однако решение уравнения Колмогорова, естественно, усложняется. Приближенное значение вероятности а можно определить с помощью теории выбросов, не прибегая к пред­ положению о наличии марковского процесса.

§ 8.3] ОП РЕДЕЛЕН И Е ХАРАКТЕРИСТИК ОШИБОК ГУ 463

где / (а+е, и) — плотность вероятности / (у, ѵ) ординаты случай­ ного процесса Y (t) и его производной V (t)=dY (t)/dt в момент времени t, взятая при у=а-\-е. Аналогичным образом среднее число случаев пг выхода реализации случайного процесса у (t) при заданном значении параметра а за уровень Ьх сверху вниз

равно

о

а общее среднее число выходов п в течение времени Т ординаты функции Y (t) за интервал (bv b2) равно сумме Пу-\-п2, т. е.

Если среднее время между соседними выбросами достаточно ве­ лико, чтобы можно было считать выбросы независимыми случай­ ными событиями, то для числа п появлений выбросов приближенно справедлив закон распределения Пуассона (см. [20], [14], [1в ]), согласно которому вероятность Рп появления п выбросов опреде­ ляется формулой

Интересующая нас вероятность а есть вероятность того, что за время Т не будет ни одного выброса, т. е. а—Р0. Следовательно, учитывая ”(83), имеем

Для использования последней формулы нужно, во-первых, явно вычислить интегралы (82) и, во-вторых, более точно сформу­ лировать сделанное выійе предположение о том, что среднее время между выбросами достаточно^велико для применимости закона I Гуассона.

Вычисление интегралов (80) и (81) просто осуществляется для нормального процесса X (t). В этом случае

где дисперсия производной У (t)=dY (t)/dt=dX (f)/dt в соответ­ ствии с (1.73) определяется формулой

(8.8В)

dt2 т=о

Подстановка (85) в (80) и (81) и интегрирование дают

Вопрос о выполнимости условий, при которых можно считать применимым закон Пуассона, требует более тонкого исследования, однако в первом приближении можно считать, что эти условия вы­ полняются, если среднее время между выбросами х больше вре­ мени тк корреляции процесса X (t), т. е. времени

В качестве второй задачи рассмотрим задачу определения гармони­ ческой компоненты, являющейся слагаемым в выходной функции ГУ. Подобная задача возникает, например, в некоторых инерциаль­ ных системах, на выходе которых могут возникать колебания с частотой Шулера, амплитуда которых зависит от значения на­ чальных условий. Аналогичная задача появляется иногда при испытаниях приборов в том случае, когда высокая частота, пи­ тающая гиромотор, создается генератором, вращаемым мотором, питающимся низкой частотой (например, 50 гц). В этом случае частота 50 гц может «пройти» через систему и таким образом соз­ дать компоненту, не характерную для нормального режима ра­ боты прибора.

В том случае, когда амплитуда этих колебаний не меняется в течение опыта, выделение этих колебаний может быть достиг­ нуто путем корреляционного анализа. Действительно, если слу­ чайная функция Y (t) связана с центрированной стационарной слу­ чайной функцией X (t) равенством

где а, Vи if - постоянные числа, то, вычисляя оценку корреля­ ционной функции Y (t) по формуле (45) и учитывая, что при до­