при р < 2 У J-fi это движение представляет собой затуха ющие колебания с частотой
и коэффициентом затухания |
|
_ |
J |
1 |
“ |
2 |
2ГМ1* |
где 7,Ы1 = -у, а при, р > 2 \ rJ xC движение имеет затуха
ющий апериодический характер.
Таким образом, двигатель оказывает демпфирующее действие па механические колебания. При этом демпфи рующим параметром оказывается жесткость механиче ской характеристики. Чем меньше р, тем медленнее затухают колебания. В пределе, когда Р = 0, колебания в механическом звене не затухают. Если возмущающее воздействие АМС периодически изменяется с частотой собственных колебаний й х, то амплитуда колебаний неогра ниченно возрастает.
Демпфирующее действие на механические колебания оказывает составляющая момента АМ — —ргсо, зависящая от скорости. При этом р = | dM/cko | характеризует степень завпспмостп момента от скорости. Момент АМ — = —Рсо действует подобно вязкому трению, преобразу ющему энергию колебаний в тепло. Механические коле бания якоря двигателя постоянного тока или ротора асинхронного двигателя вызывают соответствующие коле бания тока в силовой цепи, т. е. мехапнческие колебания передаются в силовую электрическую часть привода, где пх энергия расходуется на потери в активных сопро тивлениях.
Демпфирующее действие электропривода, рассмотрен ное для случая с неподвижной второй массой, сохраняется и для двухмассовой системы при движении обеих масс. П ри, отсутствии трения в механическом звене привод остается единственным средством гашения упругих коле баний. Однако по сравнению с рассмотренным случаем эффект демпфирования для двухмассового звена снижается, так как демпфирующий момент непосредственно приложен только к одной колеблющейся массе. При наличии двух масс демпфирование электропривода будет по-разному проявлять себя применительно к движению первой и второй масс.
При Р = 0 колебания масс не демпфируются. Массы, разделенные упругим валом, совершают противофазные колебания с частотой
При р = оо движение первой массы полностью ста билизировано, т. е. coj = const, следовательно, демпфи рование для второй массы полностью отсутствует и ее двпжепие характеризуется незатухающими колебаниями с частотой
Q2 = -)/£ //,.
При этом первая масса представляет собой для второй как бы жесткую заделку. Таким образом, при предельных значениях р система характеризуется незатухающими механическими колебаниями. Очевидно, существует такое значение Р, при котором имеет место наибольшее затуха ние одновременно для колебапйй обеих масс, а значит, и для упругого момента. Демпфирование в двухмассовой системе по-разному проявляет себя и в зависимости от
соотношения моментов инерции / х и / 3 маховых масс. |
При / 2 |
J x первая массй для второй оказывается прак |
тически жесткой заделкой, поэтому колебания второй
массы будут близки к незатухающим. |
При / х |
/ , вто |
рая масса |
для |
первой будет |
почти |
жесткой |
заделкой |
(рис. 8-18, |
б). |
На движении |
меньшей массы, |
которой |
в данном случае является ротор двигателя, существенно сказывается демпфирование электроприводом, как это было показано выше.
Электропривод с двухмассовым упругим звеном может быть изображен простой механической моделью, приве денной на рис. 8-18, в. Для большей наглядности враща тельное движение заменено в модели поступательным. Роль электрической силовой части привода в этой модели выполняет цилиндр с поршнем и вязкой средой. Продви жении цилиндра со скоростью у0 на поршне возникает - усилие, приложенное к массе тх,
F = ${vq- v 1),
где р — коэффициент вязкости среды.
Модель наглядно иллюстрирует демпфирующее дей ствие электропривода.
Для расчетов переходных процессов в электроприводе с упругим звеном (рис. 8-18, а) необходимо иметь диффе-
ренциальные уравнения для величин со1, со2, М и М у. Эти уравнения могут быть получены на основании исходных уравнений (1-56) для упругого звена:
M - M y = J 1 d2Ф1 . dt2 ’
М у — М с = / 2 ^Дф2 dt2 '
С учетом того, что М = (5 (<в0 — сщ) и Му = С (cpx —
— ср2), получаем:
р (со0- Щ ) - С (фг - ф2) = Л ^ ;
С(Ф1- Ф 2) - М 0 = Л ^
или в операторной форме при нулевых начальных условиях
-jy<В0 + ф-2 — ^ Тi\рг+ £ Р + 1 j фы
- ^ + Ф1 = (2П92Р2 + 1)Ф2. |
|
|
где 2\ = \ r J jC — 1/Q2 — |
постоянная |
времени, |
соответ |
|
ствующая угловой частоте |
й г |
___ |
свободных |
колебаний |
массы |
с моментом инерции |
/ 2, |
с; |
Т2= ]/'J 2lC — 1/й, — то же |
для |
массы |
с моментом |
Решая |
инерции / 2, с. |
|
относительно |
последнюю систему |
уравнений |
и ф2, 'получаем: |
|
|
|
|
(Титыр3+ |
Т\р2+ Тмр + 1 ) рф1= (Tip2+ 1) со0 - |
м с/р; (8-64) |
|
(Т\.гТмр3+ Tip2+ PmP + I) Рф2 = |
|
|
= co0- ( ^ I P 2+ |- p |
+ |
l)^ c /P , |
(8-65) |
где |
|
|
|
|
|
|
J 2 |
1 |
= |
1 |
|
|
(^1 + Jz) С |
Q^2 |
|
|
— постоянная времени, соответствующая угловой частоте Й12 свободных колебаний двухмассовой системы, с;
Тж= (JI + J г)/Р — результирующая механическая постоянная времени привода, с.
Так как рсрх — aL — а 0 — М/$, то из уравнения (8-64) может быть получено операторное уравнение для момента двигателя
(ТиТмР3+ П р* + Тмр + 1) М = М с. |
(8-66) |
Вычитая из уравнения (8-64) уравнение (8-65) и умно жая полученную разность на коэффициент жесткости С, получаем дифференциальное уравнение для момента М у в упругом валу
{TUTups+ Т\р2 + тмр + 1) Му = (ТМ1р + 1) м 0| (8-67)
где ТМ1 — / х/р — механическая постоянная времени дви гателя с учетом масс, жестко связанных с валом двига теля, с.
Уравнения (8-64) — (8-67) имеют одинаковую левую часть, т. е. одно и то же характеристическое уравнение третьего порядка. В соответствии с критерием Гурвица система устойчива, если при положительных коэффици ентах характеристического уравнения в данном случае выполняется неравенство:
— Т 12Тм > 0.
Так как в соответствии с выражениями для Т;? я Tj.2
Ti^> Т]2,
то электропривод с упругим звеном в виде двухмассовой системы всегда устойчив. Исследование корней характери стического уравнения позволяет получить достаточное условие
при выполнении которого переходные процессы сопро вождаются затухающими колебаниями.
Изменение скоростей со! и со2 в переходных процессах определяется решением уравнений (8-64) и (8-65). При со„ = = const и М с = const правая часть уравнений (8-64) и (8-65) представляет собой установившееся значение ско рости:
Юуст = ®0 Мц/р .
Определим вынужденные колебания момента двигателя и момента в упругом валу при синусоидальном изменении момента нагрузки
Mc — M CmsinQct. '
Для определения амплитуд моментов М и М у в зави симости от амплитуды момента нагрузки воспользуемся комплексным методом. Тогда в соответствии с (8-66) н (8-67) будем иметь для комплексов М, М с, М у:
|
|
м |
|
|
1 |
|
|
|
|
л7с |
(l- 7 ,f,Q2)+ /Q rM(l_ 7’SaQ2) |
’ |
|
|
|
Л/у _ |
|
l-b/PT’su |
|
|
|
|
М с |
(1-7’зЙ2)+/Й?1м (1—Tj,,Q2) |
|
|
|
Отсюда |
для |
амплитудных значений М т , М Ст, |
M y m |
|
|
М т |
|
|
1 |
|
(8-68) |
|
|
Мс m |
У |
(1 -T*Q*y + а*цх ( i - T ^ Q y ’ |
|
|
|
|
М у |
\/ |
(1 - т\ а у + в*г* (Г- |
• |
(8-69) |
|
■Мс 7)1 |
|
|
|
Введем |
обозначения |
Т2Й = -^ = Q*, |
7\[Qo = |
0M и |
|
?Vi&2 = 6mi- Тогда |
выражения (8-68) и (8-69) можно |
|
представить в относительных величинах: |
|
|
|
|
м т _ |
|
1 |
|
(8-70) |
|
|
Мст |
|
+ |
» |
|
|
|
|
|
М у т |
/ |
|
H -ojoi |
|
(8-71) |
|
М, т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где |
|
|
|
•Jl |
|
|
|
|
|
|
Yl |
|
|
|
|
|
|
Jl + J2' |
|
|
Выражения (8-70) и (8-71) определяют реакцию электропривода на синусоидальные возмущающие воздействия со стороны нагрузки (рис. 8-19 и 8-20). При слабом демпфи ровании в электроприводе возникают резонансные явле ния, когда амплитуды моментов двигателя и упругого элемента существенно превосходят амплитудные значе ния момента сопротивления. Демпфирование характери
зуется параметрами 0м.и 0М1, |
т. е. |
жесткостью механи |
ческой характеристики р при |
= |
const, / 2 = const и |
С = const. Для колебаний момента двигателя демпфиро вание непрерывно растет с уменьшением р. Для момента в упругом валу колебания минимальны при некотором оптимальном значении р.
Резонансная частота находится исследованием на мак симум выражений (8-70) и (8-71). Резонансная частота