Файл: Нестеров Ю.Ф. Теория и расчет судовой тепловой изоляции.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 10.04.2024

Просмотров: 162

Скачиваний: 6

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Рис. 15. Изоляционная конструкция (а) и ее прямая (б) и обрат­ ная (в) электрические модели

Коэффициенты теплопроводности материалов можно

принимать

по средней рабочей температуре, так как зависимость к

^ / (/) яв­

ляется незначительной.

 

Будем предполагать, что отдельные детали конструкции с различ­ ными коэффициентами і плотно прилегают друг к другу и благодаря хорошему контакту соприкасающиеся точки различных поверхностей имеют одну и ту же температуру.

Таким образом, при решении задач теплопроводности, по суще­

ству, не будет учитываться лишь

влияние

крепежных деталей, мон­

тажных дефектов, диффузии водяного пара

 

и увлажнения

изоляции,

а также продувания ее воздухом.

 

 

 

 

Явление теплопроводности подчиняется основному закону тепло­

проводности (закону

Фурье):

 

 

 

 

^

= - ^ ^

= - ^

Б

dlT,

(36)

где dQ — элементарное количество тепла, проходящее через пло­ щадку dFT (в м2) на изотермической поверхности в направлении

нормали

пт

(dFT ~ BdlT);

— = grad

t — температурный

гра­

диент,

°С/м

(пт — нормаль

к изотермической

поверхности,

м)\

dlT — элементарная длина изотермической

линии

в плоскости

хтуг

(рис. 15, а).

 

 

 

 

 

Применение закона Фурье к случаю двухмерной задачи при ста­ ционарном режиме и независимости коэффициентов К от температуры

приводит к дифференциальному

уравнению

Лапласа

- J i +

^ r = 0,

(37)

дх;

ду;

 

где i=f

(хт, ут)— гармоническая температурная функция координат.

За

начало координат принят левый нижний

угол конструкции

(см. рис. 35, а), ось хт направлена вправо, ось ут

— вверх.

Уравнение Лапласа описывает распределение температур в темпе­

ратурном поле. Оно представляет собой дифференциальное уравне­ ние в частных производных второго порядка эллиптического типа.

Для того чтобы из бесчисленного количества решений системы уравнений (36) и (37) выделить одно-единственное решение, описы­ вающее отдельный конкретный процесс теплопроводности, необхо­ димо к этой системе присоединить условия однозначности.

Полная совокупность условий однозначности для стационарных процессов теплопроводности распадается на:

1) геометрические условия, задающие конкретную форму и раз­ меры изоляционной конструкции;

2)физические условия, которые задают физические параметры материалов (Яи, л.д, л.с), существенные для процесса;

3)граничные условия, характеризующие особенности распределе­ ния температур на границах конструкции.

Вычислять коэффициент теплопередачи для всей изолированной поверхности судна, содержащей периодически повторяющиеся эле-

менты набора, неудобно. С целью упрощения расчетов всегда можно ограничиваться вычислением k лишь для периодически повторяю­ щегося участка с единичным профилем набора. Обычно шаг такого участка равен шпации s. При этом стенку набора высотой h распола­

гают

посередине

шпации.

 

В симметричных изоляционных конструкциях линии АТВТ

и

CT DT

(рис. 15, а),

выделяющие периодически повторяющийся участок

и располагаемые посередине расстояния между стенками профилей набора, одновременно являются и граничными линиями тока тепла.

Или иначе, по боковым поверхностям

АТВТ

и CT DT

участок

адиа-

батно изолирован и тепловой

поток

через

боковые

границы

равен

нулю. При этом на левой и правой боковых

границах

 

 

 

 

= ( # - )

= 0 -

 

О»)

\

ОХт / л е в

\ ОХт / прав

 

 

 

Для симметричных

изоляционных

конструкций

= 0

не

только на боковых границах, но и на оси симметрии. Поэтому для них достаточно рассматривать половину конструкции.

На боковых границах несимметричных

 

конструкций

( * \

= ( J L \

.

( 3 9 )

\ ОХт / л е в

\ ОХт / п р а в

 

v '

Однако такие граничные условия реализовать сложно, так как пришлось бы моделировать стенку с большим количеством элементов набора. Поэтому для несимметричных конструкций строгие гранич­ ные условия (39) заменяют условиями (38). Такая замена приводит к незначительной положительной погрешности. Чем больше шпация s, тем меньше погрешность, возникающая вследствие замены гранич­ ных условий, так как при увеличении шпации практически осущест­ вляемые границы (прямые, перпендикулярные к наружным поверх­ ностям) приближаются к линиям тока у краев участка.

Вычисления,

сделанные

для

участков, содержащих различное

количество

повторяющихся

элементов набора

[2], показали, что

при s/h >

2 погрешность не превосходит 1 %. Поэтому влиянием крае­

вого эффекта у

несимметричных

конструкций

практически можно

пренебречь даже при малых шпациях. Обычно же s/h > (2,5—3,0); при этом погрешность, вызываемая заменой граничных условий, не превосходит 0,1%.

Из тепловых сеток (рис. 52, а—54, а; 58, а и др.) видно, что область влияния стального профиля на температурное поле ограничена рас­ стоянием s = (2-Г-4) h. При s > (2н-4) h линии тока у свободных краев модели становятся прямыми (неискаженными). Это означает, что при указанном условии соседние профили набора вообще не влияют на температурное поле исследуемой части конструкции. Сле­ довательно, вместо изучения влияния периодически повторяющегося набора можно исследовать влияние его единичного профиля.

Таким образом, во всех случаях граничные условия однознач­ ности задаются в следующем виде:

на

наружной поверхности Л Т С Х

 

 

t =

ta

=

const;

 

на

внутренней поверхности

BTDT

 

 

t =

tB

=

const;

(40)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

на левой и правой боковых границах АТВТ

и

C T D T

 

 

 

 

При этом пусть

для определенности

ta

>•

 

 

 

 

Следовательно,

на наружной и

внутренней поверхностях кон­

струкции заданы граничные

условия

первого рода, а на ее боковых

нетеплопроводных границах — второго

рода.

 

 

 

 

Для определения количества тепла, проходящего через поверх­ ность Fr конечных размеров, нужно проинтегрировать уравне­ ние (36):

Длина конструкции В (вдоль оси zT) вынесена за знак интеграла, так как В = const для всех частей изоляционной конструкции.

Таким образом, чтобы найти тепловой поток Q, необходимо знать

подынтегральную

функцию

а следовательно, и

распределение

температур t — f

(хт, ут).

Знание поля температур

является необ­

ходимым условием для решения всех без исключения задач тепло­ проводности. Для этого предварительно следует найти решение диф­ ференциального уравнения Лапласа (37).

С

математической точки зрения решение уравнения (37) для судо­

вой изоляции обычно сводится к плоской внутренней задаче

Дирихле,

т. е. к отысканию гармонической температурной функции

координат

t — f

(хт, уг),

удовлетворяющей

уравнению Лапласа при заданных

граничных

условиях.

 

 

Следовательно, чтобы определить Q и k, необходимо решить урав­

нения

(37)

и

(41) совместно.

 

 

 

 

 

§

20

 

 

 

 

Теория метода

 

 

 

 

электротепловой аналогии

 

Выявление аналогии. Выявим существование аналогии между тепловыми и электрическими явлениями.

Явление электропроводности управляется основным законом элек­ тропроводности (законом Ома):

dl

1

dv dF, = —

б

ду

Ш9;

(42)

 

р

дпэ

9

дп.

 

 

здесь dl — сила Тока, о; р — удельное электрическое

сопротивление

материала,

ом-м (1/р — удельная электропроводность,

1/ом-м);

J^- = grad

v — градиент электрического потенциала

*,

в/м; v —

электрический потенциал, в; пэ — нормаль к изопотенциальной по­ верхности, м\ dF3 — элементарная площадка, расположенная на изопотенциальной поверхности, м2; б — толщина электрической модели, м; dl3 — элементарная длина изопотенциальной линии в пло­ скости хэуэ (рис. 15, б), м.

Дифференциальное уравнение электропроводности, описывающее распределение потенциалов, в случае стационарного плоского поля при постоянных физических параметрах представляет собой уравне­ ние Лапласа:

Т ^ + ^

= 0 '

<4 3 >

где хэ иэ у — координаты электрического поля; v = f (хэ,

уэ) — гар­

моническая потенциальная функция координат, удовлетворяющая уравнению (43).

Математические выражения физических законов (36) и (42), кото­ рым подчиняются явления тепло- и электропроводности, имеют совер­ шенно одинаковую структуру. Они отличаются только тем, что вхо­ дящие в них физические переменные и параметры имеют различную размерность. Такое сходство имеет своим следствием то, что и описы­ вающие эти явления дифференциальные уравнения (37) и (43) (в основе которых лежат упомянутые законы) также имеют одинаковое строе­ ние. Это обстоятельство и позволяет провести формальную матема­ тическую аналогию между сравниваемыми явлениями. Сила тока / является аналогом теплового потока Q, электрический потенциал v — аналогом температуры t, а электропроводность 1/р — аналогом коэф­ фициента теплопроводности X.

Правила осуществления аналогии. Рассмотрим содержание тре­ бований, которые необходимо и достаточно выполнить для осущест­ вления аналогии.

Метод ЭТА базируется на теории подобия, так как аналогию физи­ ческих явлений можно рассматривать как наиболее общий случай подобия. Правила достижения аналогии принципиально не отли­ чаются от общих правил осуществления подобия (в узком смысле этого слова), которые даются третьей (основной) теоремой подобия. Согласно теореме, для того чтобы модель стала подобной конструкции, необходимо и достаточно соблюсти подобие условий однозначности (геометрических, физических и граничных).

Чтобы оказались подобными граничные условия однозначности, должны быть одинаковыми законы распределения потенциалов и температур на границах электрической модели и тепловой конструк­ ции.

* Индексом «э» будем отмечать величины, относящиеся к электрическому полю.

75

Смотрите также файлы