Файл: Митропольский Ю.А. Интегральные многообразия в нелинейной механике.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 10.04.2024
Просмотров: 173
Скачиваний: 1
§ I. И Н Т Е Г Р А Л Ь Н Ы Е М Н О Г О О Б Р А З И Я |
19 |
зии. В дальнейшем эта идея вылилась в стройную теорию одночастотного метода в нелинейной механике, получив шего широкое распространение и глубокое математическое обоснование.
Особенно быстро метод интегральных многообразий на чал развиваться как в Советском Союзе, так и в США после выхода в свет монографии Н. Н. Боголюбова и Ю. А. Мит ропольского «Асимптотические методы в теории нелиней ных колебаний» в 1955 году.
В настоящее время идеи теории интегральных многооб разий в нелинейной механике получили широкое развитие и обобщение и стали существенно использоваться для ис следования сложных явлений, наблюдаемых в самых разно образных динамических системах, описываемых дифферен циальными уравнениями, содержащими малый параметр. Метод интегральных многообразий в настоящий момент яв ляется самостоятельным и эффективным направлением в теории дифференциальных уравнений, позволяющим полу чать не только качественные, но и количественные резуль таты при исследовании достаточно сложных динамических систем.
7. Примеры классов уравнений, допускающих примене ние метода интегральных многообразий. Остановимся теперь на рассмотрении некоторых типичных уравнений, часто встречающихся при решении различных задач физики и тех ники, для исследования которых эффективно может быть применен метод интегральных многообразий.
Прежде всего рассмотрим в самом общем виде колебания некоторой системы с N степенями свободы, которые харак теризуются следующими выражениями кинетической и по тенциальной энергии:
N |
N |
|
Т==- Т S akiqkqh V = ~ |
2 bklqkq- |
(1.16) |
где qu q2, ..., q\i — обобщенные координаты, fly, bkj — постоянные и, кроме того, квадратичные формы Т и V определенно положительны; тогда, как известно, посред ством линейного преобразования
N
^ 2 фТ гк (/ = 1, • ■• , Щ |
(1. 17) |
*=1 |
|
20 |
ГЛ. I. |
В В Е Д Е Н И Е |
|
|
можно ввести нормальные координаты гь г%.......ZN , для ко |
||||
торых |
|
|
|
|
|
Z É=1 |
1/ - 4 - |
Е юМ |
(1.18) |
|
Z |
A=1 |
|
|
(фf \ |
®k — соответственно нормальные функции и собствен |
|||
ные частоты, соответствующие квадратичным формам (1.16)), и уравнения Лагранжа для невозмущенного движе
ния примут следующий |
вид: |
|
|
= |
0 |
(ft = 1, 2, . . . , N). |
(1.19) |
Допустим теперь, что на рассматриваемую колебатель |
|||
ную систему действуют малые возмущающие силы |
|
||
zQk = е {Qi0) (q{, qc) + 2 |
[Qw? (<7,-, ?;) cos QJ -f |
|
|
a |
|
|
|
+ Q*2)(</i, ^)sinQ efl} |
( t = l , 2 ..........N), |
(1.20) |
|
где Qa — частоты возмущающих сил, e — малый положи тельный параметр. Тогда, переходя в выражениях (1.20) также к нормальным координатам, получаем следующую систему нелинейных дифференциальных уравнений:
-~pL' + |
- ?zdU zh *i) (ft = 1, 2.......... |
N), (1.21) |
где Zk определяются из условия эквивалентности работ согласно формулам
N |
|
|
( 1.22) |
2 * = = S Q /ФІЛ |
(ft = |
1,2 |
|
/=і |
|
|
|
Уравнения (1.21) путем замены переменных |
|||
+ |
x-bfi-1"**, |
J |
|
Д = |
— mkx_ke~1^ |
(1.23) |
|
j |
|||
легко приводятся к уравнениям в стандартной форме |
|||
-~Ж~ — EX k(t, Xi) ( f t = ± l , |
± 2 , . . . , |
± N), (1.24) |
|
в которых |
—шJ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1.25) |
и, кроме того, —со-А = со*, |
= Zk. |
§ 1. И Н Т Е Г Р А Л Ь Н Ы Е М Н О Г О О Б Р А З И Я |
21 |
В дальнейшем для упрощения систему дифференциаль ных уравнений (1.24) целесообразно записывать в вектор
ной форме |
|
- § - = е * (/,*), |
(1.26) |
где X , X — n-векторы (в нашем случае п — 2N). Правые части системы (1.26) являются периодическими функциями или почти периодическими в зависимости от того, как зави сели от t функции eQk.
К уравнениям типа (1.26) могут быть приведены также задачи о воздействии на колебательные системы внешних сил высокой частоты. Так, например, пусть движение та кой системы характеризуется уравнениями вида
Ц |
Чь 4 г ) |
(s = |
1, 2, |
... . N), (1.27) |
где Fs (wf, qlt |
— периодические |
(или |
почти периоди |
|
ческие) функции t и о — «большой» параметр.
Тогда, вводя новые неизвестные согласно формулам
* = |
qs = xs, |
-jf- = y s (s= |
1, 2, |
. . . , N), (1.28) |
вместо системы (1.27) получаем систему уравнений |
||||
" $ Г |
= еу*’ |
= s f ^ x’ Хі’ Уі> |
(s = |
Ь 2...........N)’ |
|
1 |
|
|
(1.29) |
где e = |
параметр. |
|
|
|
—---- малый |
|
|
||
К уравнениям вида (1.26) может быть приведен и более общий случай, чем указанный выше, когда состояние дина мической системы характеризуется угловой переменной а и п переменными xlf х2.......хп и описывается следующей
системой |
уравнений: |
|
|
|
|
|
dx |
xs(об, х^у |
. • • t хп) |
(s |
1> 2, |
. . . j |
|
dt |
||||||
da |
|
|
|
|
(1.30) |
|
= Ы (xlf . . . |
, хп) + |
А (а, |
х1г |
, хп), |
||
dt |
||||||
где X — большой параметр, X s (а, |
хіу |
хп), А (а, хи ... |
||||
...,хп) — периодические (или почти-периодические) функции
22 |
ГЛ. I. В В Е Д Е Н И Е |
угловой |
переменной а с периодом 2л. (Системы типа (1.30) |
встречаются при изучении гироскопических систем, в тео рии ускорителей и т. д.)
Вводя новую независимую переменную т = Kt, можем
представить систему (1.30) в виде |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
-fö- = |
eXs{a, |
xlt |
, хп) |
(s = |
1, 2......... п), |
|
(1.31) |
||||||||
~ |
= |
со(х1, |
... , хп) + еЛ(а, |
|
. . . |
, |
хп), |
|
|
||||||
Ху, |
|
|
|
||||||||||||
где е = |
1---- малый |
параметр, |
или, |
исключая |
т, |
в |
виде |
||||||||
dx s |
= |
eX*s (а, |
Ху, |
. . . , хп, |
е) |
(s — |
1, |
2, |
... |
, п), |
|||||
da. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1.32) |
|
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
X s (a, |
Ху, |
. . . |
, |
х п) |
|
|
|
|||
К (а, Ху, |
. . . , хп, е) |
|
|
|
|
||||||||||
Ö) (хх, |
. . . . |
х п) + 8Д (а, |
Ху, |
. . . , |
х п) ' |
||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||
К уравнениям вида (1.26) могут быть сведены также уравнения более общего вида, чем (1.21).
Как известно, нестационарные процессы в нелинейных колебательных системах во многих случаях приводятся к рассмотрению систем дифференциальных уравнений типа
-4 " { 2 ац 00 <7;} + |
2 |
Ьц (т) <7 ( = |
|
|
= eQj (т, Ѳ, qy, ... |
, qN, qt, ... , qj4, |
e) |
( / = 1 , 2 , . . . , M), |
|
|
|
|
|
(1.33) |
где qt — обобщенные |
координаты, |
eQj |
— внешние возму |
|
щающие силы, т — et — медленное |
время (медленное по |
|||
сравнению с естественной единицей времени — порядка пе риода собственных колебаний), е — малый положительный параметр, а;/ (т) = щі (т), Ьц (т) = Ьц (т) — инерционный и квазиупругий коэффициенты, медленно изменяющиеся со
временем, |
dQ |
— |
, |
, |
|
|
|
ѵ (т). |
|
|
|||
Система типа (1.33) с помощью замены |
переменных со |
|||||
гласно формулам |
|
|
|
|
||
|
|
N |
|
|
|
|
|
<7і = |
2 |
Ф |
(t' = 1, 2, ... |
, N), |
(1.34) |
k—\
