Файл: Матлин Г.М. Проектирование оптимальных систем производственной связи.pdf

можно осуществление только одного из двух несовместимых со­ бытий:

Принимается, что в течение рассматриваемого отрезка време­ ни Т каждый абонент может находиться либо около телефонного аппарата, либо в пути между рабочим местом и местом установки телефонного аппарата, либо на своем рабочем месте. Тогда имеет место следующее нормирующее условие:

в месте размещения телефона; Г0 — время, ів течение которого або­ нент находится в пути между рабочим местом и телефонным ап­ паратом.

Сложность заключается в том, что телефонным аппаратом мо­ жет пользоваться не один, а m абонентов. Поступивший в момент t вызов i-му абоненту может застать его на произвольном расстоя­ нии от телефонного аппарата. Поэтому величина затрат времени на подход к телефонному аппарату может колебаться в очень ши­ роких пределах.

Нахождение каждого абонента в произвольный момент вре­ мени в какой-либо точке пространства определяется целым ком­ плексом социальных, психологических и других факторов, кото­ рые формируют функцию поведения абонента. Из-за зависимости непроизводительных затрат времени, связанных о подходом к те­ лефонному аппарату, от функции поведения абонента невозможно определить величины этих затрат в общем виде. Эта задача ста­ новится определенной, если функцию поведения абонента свести к функции распределения случайной величины расстояния абонен­ та до некоторой точки отсчета 1 = 0, :в которую помещен телефон­ ный аппарат. Следовательно, поведение абонента сводится к его пространственному перемещению, характеристику которого можно рассматривать как чисто случайную величину. Таким образом, в соответствии с практикой пользования телефонной связью, мы никоим образом не связаны, ни с конфигурацией территории, об­ служиваемой телефонным аппаратом, ни с какими-либо иными пространственными характеристиками, кроме абсолютной величины расстояния от абонента до телефонного аппарата.

— 127 —

Распределение случайной '.величины расстояния абонента до телефонного аппарата может носить как дискретный, так и непре­ рывный характер. Дискретное распределение используется для описания ситуации, когда абонент может находиться в одной из конечного числа точек, которые будем называть «рабочим местом». Вероятность нахождения абонента не на рабочем месте мала, но не равна нулю, так как абоненты перемещаются с одного рабочего места на другое не мгновенно. В этом смысле строго дискретным распределение быть не может. Однако если переходы между рабо­ чими местами заменить их математическим ожиданием, то эти переходы можно рассматривать как дополнительное (фиктивное) рабочее место. В соответствии с (3.17) при дискретном распре­ делении

где рі — вероятность нахождения абонента на і-м рабочем месте; «•-—число рабочих мест (включая фиктивные); рі — вероятность нахождения абонента в точке, где расположен телефонный аппа­ рат; ра — вероятность того, что абонент находится в пути между телефонным аппаратом нерабочими 'местами.

Аналогично этому

наиболее удаленной от него точки, в которой может находиться абонент в течение отрезка времени продолжительностью Т. Таким образом, при непрерывном распределении вероятностей рабочим местом является любая точка интервала О г^/^А максЛегко убе-

^маис

j'

о

вероятности.

Возвращение на рабочее место. Непроизводительные затраты времени на подход к телефонному аппарату Т0 складываются из затрат на переход абонента из точки, в которой он находился в момент поступления входящего или возникновения исходящего вызова, к телефонному аппарату /а и затрат на переход абонента от телефонного аппарата после окончания разговора к одному из своих рабочих мест /б. При осуществлении каждого вызова вели­ чины іа и іб принимают случайные значения, а следовательно, слу­ чайным образом изменяется и величина Т0. На основании известной

— 128 —

Так как функция F(x/i, 1) характеризует вероятность совмест­ ного наступления двух независимых событий, то она является про­ изведением двух вероятностей: вероятности того, что абонент на­ правляется к рабочему месту с индексом і, и вероятности того, что абонент лрошел до 'поступления нового вызова отрезок пути про­

Математические ожидания длины перехода от телефонного ап­ парата до рабочего места М[1] и М[х] относятся к одному вызову при условии, что этот вызов уже состоялся. Математическое ожи­ дание числа вызовов, поступивших за рассматриваемый отрезок времени продолжительностью Т, при пуассоновском входящем по­ токе равно %Т, где Я — интенсивность потока. Учитывая, что мате­ матическое ожидание произведений случайных величин равно про­ изведению их математических ожиданий, получим

где М [ / б , і ] — математическое ожидание случайной длины перехода, отнесенной к одному вызову.

Для определения величины М[/б, і] рассмотрим полную группу следующих несовместимых событий:

событие Во — за отрезок времени ti = M[l]/v, необходимый для осуществления перехода от телефонного аппарата до рабочего места, новые вызовы не поступили (ѵ — средняя скорость пере­ движения абонента к телефону);

событие В 1 — за отрезок времени U, необходимый для осущест­ вления перехода от телефонного аппарата до рабочего места, по­ ступил хотя бы один вызов.