Файл: Матлин Г.М. Проектирование оптимальных систем производственной связи.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 10.04.2024
Просмотров: 231
Скачиваний: 0
Величина Т здесь и ранее должна выбираться, исходя из усло вия обеспечения стационарности потока вызовов, без чего нельзя
говорить |
о пуассоновском входящем |
потоке требований. Обычно |
|
в качестве отрезка Т принимается час наибольшей нагрузки. |
|
||
Если число абонентов, пользующихся телефонным аппаратом, |
|||
равно m |
(т > 1 ) и все они создают |
одинаковый поток вызовов,, |
|
то |
|
|
|
|
T, = ( l T w+ Kc,T'n)mT. |
(3.34') |
|
В ф-лах (3.34) и (3.34') величины |
интенсивностей потоков от |
||
несены к одному абоненту. |
|
|
|
Время пребывания на рабочем месте. На основании ф-лы |
(3.19) |
||
имеем |
|
|
|
р(. = Т - [ Г т + Т0].
І= 1
Влевой части этого равенства стоит суммарное время пребыва
ния абонента на своих рабочих местах в течение отрезка време ни Т. С возрастанием Тт и Т0 это время уменьшается.
Если за время пребывания абонента на г-м рабочем месте вы зовов не поступает, он будет находиться на этом месте в течение
отрезка времени tі. Вероятность такого события равна е £. Обозначим математическое ожидание времени собственно под
хода к телефонному аппарату, разговора и возвращения на і-е ра бочее место, отнесенное к одному вызову, через tі_г, т. е. на осно ве (3.31):
і= 1
Допустим, что ti — отрезок времени интервала Г, в течение которого абонент находился бы на своем рабочем месте, если бы не было телефонного аппарата. Тогда при установке аппарата и поступлении за время ti ровно одного вызова время пребывания абонента на рабочем месте сократится до величины ti—tі_г. Ве
роятность такого события равна X(ti—/і_г)е~ ■При пос туплении двух вызовов время пребывания абонента на і-м рабочем
месте составит ti—2ti-r, |
а вероятность такого события равна |
||||
|
|
образом, получим |
|
||
Рассуждая дальше таким же2! |
е |
|
|
||
М Щ = |
“ * + |
, |
-г) |
— X ( 'H l- ,) |
+ |
(*,— М-г) |
11 |
е |
|||
|
|
— 136 — |
|
|
|
+ (* i- 2 f1_r) |
21 |
- Ң <-2Н-г) |
+ |
+ |
е |
||||
+ |
|
е < |
|
(3.35) |
В приведенной формуле количество членов ряда определяется величиной k, которая ограничивается целой частью отношения
k <
- t ]
Отсюда следует, что k-й член ряда (3.35) равен нулю. Поэтому ft-i .
Тг = М [*(] = |
е~:«і ^ |
(tt - |
yY1_r)/+1e,W‘- ' . |
(3.35') |
Ряд (3.35') быстро |
I=o 7 |
как первый его член |
равен |
|
сходится, |
так |
|||
іі, а последний стремится к нулю. При одном из малых у эта функ ция имеет максимум. Из ф-лы (3.35) следует, что при Л=0 M[ti]='ti, а при А,-»-«) М[У,}—<-0.
Если абонент может находиться только на одном рабочем мес те, то ti = \. и ф-ла (3.35') приобретает вид
Тг = e“ w<J ] У - (іі - /*,_г)ж ^ ‘l- r • |
(3-35") |
/=і
Вероятность отсутствия непроизводительных затрат времени на подход к телефонному аппарату. Для более полной характеристики непроизводительных затрат времени, связанных с подходом к те лефонному аппарату, необходимо определить вероятность наступ ления события Q — отсутствия этих затрат.
При возникновении исходящего вызова абонент не затрачивает времени на подход к телефонному аппарату в течение всего вре мени пребывания возле аппарата, а также в том случае, если он уже находится на пути к аппарату для осуществления предыдущего (безразлично, входящего или исходящего) разговора. Поэтому ве роятность отсутствия затрат времени на подход к телефонному аппарату при исходящем вызове
<7о = ^исх |
-+■ К7ТИ+ ÄHCXТТП] + К t0aPwcx(1, t0a), |
(3.36) |
|
_ т |
|
где .Рисх(ІДоа) — вероятность поступления одного исходящего вы зова за отрезок времени /оа, когда абонент направляется к теле
фонному аппарату, Рисх(1, t0a) = Ксхt0aе- ^ « V ,/і=0_ , время пре бывания абонента на рабочем месте, совпадающем с местоположе нием телефона.
После подстановки получим |
|
|
|
|
|||
Яо — *„сх [" |
і=О |
к т т и |
^исх ТТП 4- |
[М[1\¥ |
е |
V |
■мт |
Т |
|
. (3.36') |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
137 —
Ожидание освобождения телефонного аппарата - * • вызывающего абонента
Время ожидания освобождения на исходящем конце телефон ного аппарата* от ведения предыдущего разговора зависит от ве личины нагрузки, создаваемой одним абонентом у, и числа або нентов т, пользующихся этим аппаратом. С точки зрения вели чины создаваемой нагрузки в чнн все абоненты принимаются экви валентными.
Телефонный аппарат одновременно может обслуживать только один вызов. Если в момент поступления очередного вызова теле фонный аппарат свободен, то вызов начинает обслуживаться не медленно. Если же в указанный момент телефонный аппарат за нят, то обслуживание поступившего вызова задерживается до мо мента освобождения аппарата. В этом случае образуется очередь, состоящая из одного требования. Если в рассматриваемой сети одновременно находятся- 3, 4, ..., т вызовов, длина очереди, соот ветственно составляет 2, 3, ..., ( т —1) вызовов.
Телефонный аппарат и т потребителей входящих и исходящих сообщений, передаваемых с его помощью, образуют систему без потерь, так как ни один поступивший вызов не окажется необслуженным. Некоторые вызовы будут обслужены незамедлительно (если телефонный аппарат в момент их поступления свободен), а другие задерживаются до момента освобождения телефонного аппарата. Поэтому рассматриваемая система является системой с ожиданием, причем число источников нагрузки конечно (т. е. т < оо).
Продолжительность нахождения вызова, сообщения и т. д. в рас сматриваемой системе есть случайная величина. Примем, что она подчиняется показательному закону распределения, т. е.
|
_ t_ |
P ( l < t ) = 1 - е |
, |
где t — текущая координата времени; |
ti — математическое ожида |
ние времени обслуживания вызова ((нахождения требования в си стеме) .
В любой момент времени в системе может одновременно нахо диться k требований ( k ^ m ) . В данном случае конкретная реали зация процесса поступления вызовов может быть охарактеризова на одним числом — количеством поступивших вызовов (требова ний, заявок, сообщений и т. п.), которое и определяет состояние рассматриваемой системы. Поскольку число источников т, соз дающих вызовы (как входящие, так и исходящие), конечно, воз можно т + 1 состояние данной системы (табл. 3.7).
Каждому состоянию системы соответствует определенная ве
роятность. |
Обозначим через рь. вероятность |
того, что |
в |
системе |
в данный |
момент времени находится ровно k |
вызовов |
(при этом |
|
k—1 вызовов образуют очередь). Нетрудно |
видеть, что |
вероят- |
||
|
— 138 — |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Т а б л и ц а 3.7 |
|
СОСТОЯНИЕ СЕТИ СВЯЗИ С ОДНИМ ОБСЛУЖИВАТЕЛЕМ |
|
||||||
№№ состояний |
|
0 |
1 |
2 |
3 |
k |
т |
Число поступивших |
вы |
0 |
1 |
2 |
3 |
k |
т |
зовов |
|
||||||
Число вызовов, ожида |
|
|
|
|
|
|
|
ющих обслуживания |
(оче |
0 |
0 |
1 |
2 |
k—\ |
т—1 |
редь) |
|
|
|
|
|
|
|
ности pk и являются вероятностями состояний, в которых может находиться система. Поскольку система обязательно находится в одном из своих состояний, имеет место равенство
т |
|
I Р*= 1 |
(3.37) |
О |
|
Ожидание освобождения занятого телефонного аппарата на ис ходящем конце будет охарактеризовано, если будут известны ма тематическое ожидание времени ожидания данного вида ti, вероят ность отсутствия ожидания данного вида qi и вероятность наличия
непроизводительных затрат времени из-за |
ожидания |
этого вида |
рі. Последние две вероятности вследствие |
сделанного |
допущения |
о том, что абонент не откажется от соединения вне зависимости от продолжительности ожидания или каких-либо других факторов, связаны соотношением
<7і = 1 — Ръ |
(3.38) |
В рассматриваемой системе время ожидания освобождения за нятого телефонного аппарата равно времени ожидания начала обслуживания, так как по условию поступивший вызов немедлен но обслуживается после освобождения телефонного аппарата от ведения предшествующей передачи информации. В свою очередь, математическое ожидание времени ожидания начала обслужива ния равно математическому ожиданию числа вызовов, ожидающих начала обслуживания. Это равенство вытекает из того факта, что в любой момент времени в системе находится k— \ ожидающих вызовов. Поэтому математическое ожидание числа вызовов, ожи дающих начала обслуживания (или, что тоже самое, математиче ское ожидание длины очереди), выраженное в долях от рассмат риваемого интервала времени (например, чнн), является средним временем начала обслуживания вызовов, поступивших в систему
— 139 —
в течение этого интервала. Тогда по определению математического
ожидания
т
M[k, Т\ = Тх = ^ к - {)Р^ |
(3-39) |
k = \ |
|
где M[k, Г] — математическое ожидание числа вызовов, поступив ших в систему в течение интервала времени Т и ожидающих на чала обслуживания; Т\ — математическое ожидание общих затрат времени на ожидание освобождения телефонного аппарата от ве дения предыдущей передачи информации, выраженное в долях от Т.
Найдем выражения для вероятностей P h . Обозначим через P h ( t ) |
вероятность |
|||||||||||
того, |
что в системе в момент времени |
находится |
ровно |
k |
вызовов, |
а |
через |
|||||
P i k ( A |
t ) |
— условную вероятность того, что через время At |
в рассматриваемой си |
|||||||||
стеме будет k вызовов, если в момент времени t |
их было і . |
Вероятность того, что |
||||||||||
к моменту времени t + A t в системе будет к вызовов, если в |
момент |
времени t |
||||||||||
их было і , по формуле полной вероятности равна |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
P k ( t + A t ) |
= |
Ymi P i ( t ' > P " ‘ ( b t ) - |
|
|
|
|
(3 - 4 0 ) |
|||
|
|
|
|
|
і=о |
|
|
|
|
|
|
|
Вычислим вероятности Pih(At) |
перехода системы из состояния і |
в состояние |
||||||||||
k за время A t . Вначале допустим, что |
|(—/г |^ 1 . Тогда к моменту времени |
t+At |
||||||||||
в системе могут находиться k вызовов только в следующих случаях: |
|
|
нового |
|||||||||
а) |
|
в момент времени t |
было і = к |
вызовов и за |
время A t |
не поступило |
||||||
вызова и не завершился ни один из имеющихся; |
1 вызовов и за время A t |
один из |
||||||||||
б) |
в момент времени t |
в системе было i=k + |
||||||||||
них закончился; |
в системе было і — к — |
1 |
вызовов и за время A t |
посту |
||||||||
в) |
в момент времени t |
|||||||||||
пил еще один новый вызов. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Вероятность осуществления случая а) равна по теореме произведений вероят ностей произведению вероятности того, что из m—k возможных вызовов за время
A t в систему в действительности не поступит |
ни одного, |
и вероятности того, что |
|||
за время A t |
не будет окончено обслуживание вызова: |
|
|
||
|
P k k ( А 0 = [1 - |
W i ( А t ) ] m ~ k Ц 7 0 ( Д t ) , |
( 3 . 4 1 ) |
||
где W i ( A t ) |
— вероятность поступления одного требования в течение времени A t - , |
||||
W o ( A t ) — вероятность того, что за |
время A t |
не будет |
окончено обслуживание |
||
вызова. |
|
|
|
|
_ д < |
|
|
|
|
|
|
. Исходя из свойств простейшего |
потока |
|
t ; H70(A /)= e |
т |
|
W t ( A t ) = X A |
= 1 — |
||||
_A |
|
вследствие ординарности потока |
вероятность |
||
При этом принимается, что |
|||||
T ' |
|
|
|
|
|
того, что появится больше одного требования за малый промежуток времени At, есть бесконечно малая величина более высокого порядка, чем At. Поэтому ве
роятности Wii(At) в степени выше первой представляют |
собой |
бесконечно малые |
|
величины. С учетом этих обстоятельств |
|
|
|
Pkk(At) = \ - K ( m - k ) A t ~ ~ . |
(3.41') |
||
Из (3.41') получим |
(с точностью до бесконечно малых): |
|
|
Р00 (А 0 = |
[1 - W'I (A t)]m W0 (A t)° = 1- |
X tn A t; |
(3.41") |
Pmm(At) = ( l - W 1( A t ) r W 0(At)m = l - m |
(3.41'") |
||
140 —