Файл: Матлин Г.М. Проектирование оптимальных систем производственной связи.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 10.04.2024

Просмотров: 227

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Время собственно подхода к телефонному аппарату. Назовем событием А,- пребывание абонента в данный момент времени в точ­ ке, находящейся на расстоянии U от телефонного аппарата. Вероят­ ность того, что этот абонент совершит подход к телефонному аппа­ рату, равна вероятности поступления входящего или возникнове­ ния исходящего вызова при условии, что событие произошло.

Вероятность того, что будет совершено 2, 3, ..., k подходов, рав­ на вероятности поступления 2, 3, ..., k вызовов. Если входящий поток вызовов іпуассоноів'сжий, то условное распределение моментов появления вызовов равномерно в отрезке времени U я эти моменты независимы между собой. В соответствии с определением мате­ матического ожидания:

M [ l j A t] = f i kllPk(tt),

(3.27)

φτ= 0

 

где Ph(U) — вероятность поступления k вызовов

в отрезок вре­

мени ti.

 

Верхний предел суммирования К не может быть равен беско­ нечности, так как отрезок времени f* конечен. Вероятность события

А і равна р{. Следовательно,

 

 

 

м [Ц =

£ PiM [IjAii =

V Pi 2 khPk Ои).

(3.28)

 

«=1

і=1

k=0

 

Для пуассоновского входящего потока

 

 

 

{Ui)k

- щ

 

 

 

Pkfft)

 

 

 

поэтому

к

fc-1

 

 

М/а1==т І

А

 

 

 

 

 

 

k=0

ijT

T U

 

і= 1

 

i=i

 

X_

(3.29)

T

 

Формула (3.29) справедлива при малых величинах X, когда ве­ роятность поступления новых вызовов за время нахождения або­ нента в пути от телефонного аппарата очень мала.

При малых величинах X все подходы к телефонному аппарату абонент осуществляет со своих рабочих мест. Если X достаточно велика, то становится заметной вероятность появления новых вы­ зовов во время пути абонента от телефонного аппарата. Естествен­ но, что при этом сокращается и протяженность подхода. Анало­ гично вышеописанному имеем

П

М [Ц = Р ( В о ) 11+ Р (В,) м [X] X т.

( = 1

— 132 —

После преобразований получим

 

 

 

 

 

2 І;^

;=.1

 

 

 

 

 

//

 

м Щ =

Е и14

 

г= 1

 

 

 

 

 

 

 

( 3 . 2 9 ' )

 

 

7*2

 

 

7*

 

 

 

 

 

 

І=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

и время подхода к телефонному аппарату

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2І

t \ h

 

 

У tele j

- J L JJ t t

i {

=

= |Г

\ ] Vi +

 

/=!

 

 

«=1

 

 

 

(=1

 

V

2v

I

 

 

 

 

 

y-2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i=

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

( 3 . 3 0 )

Для непрерывного распределения

 

 

 

 

 

 

 

 

м 1/а] =

 

 

 

 

 

•

 

макс

Л’

 

 

 

 

[

P ^ [ 4M] = Y

 

 

f

k=0

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

0

 

 

 

При пуассоновском входящем потоке и малой величине X

м [ /

J =

-

максL

со

Г

я

 

 

 

г

f

М/ff.

 

J

т

 

J

 

J

 

 

 

 

 

J

 

 

 

 

 

0

 

φε=0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Если Я достаточно велика,

7<2

 

t

 

 

71

 

 

 

 

 

Хакс

 

 

 

 

 

^макс

 

 

 

 

І

[

щ і +

—

^максГ

п

 

idi —

—

 

 

X

 

 

 

 

-

vT -

маі

 

 

f

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

J

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X e

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

Суммарная величина непроизводительных затрат времени на подход к телефонному аппарату. Собрав все полученные резуль­

таты, на основе (3.20) имеем:

Т =

 

2S l\li

Ъ ии

XT

г

І=1

 

= 1

 

■*о

2ѵ

^ ии+ J2

 

 

І=1

 

 

 

“

2=і

 

 

+^Б'Л 1 + е

 

 

 

і=і

 

 

 

— 133 —

_ _Л_ 'ѵ t! I, vT ^

І= 1

+

Отсюда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

- — у

t,

h

 

Т1 л --

я г

Е ' л - г

£

 

V т £=1

1

(3.31)

 

 

5 ] ‘? ' ‘ е

 

 

 

 

иг=і

 

г=і

 

 

 

Если п —1, т о £

tili — L, где L — математическое ожидание рас-

стояния

 

1=1

 

 

 

до телефона. При этом

от рабочего места абонента

іг-+Т —1.

Тогда

 

 

 

- ± L

 

 

 

 

 

Т* г>= Я L

 

 

(З.ЗГ)

 

 

 

1 + е

ѵ

 

Если при этом величина kL/v мала, получим

 

 

 

 

 

г

_

2Я L

 

 

(3.31")

 

 

 

* о

 

•

 

 

На рис. 3.11 представлены зависимости 'величины Т0 от XL/v, построенные по ф-лам (3.31') и (3.31"). Из рисунка следует, что

Рис. 3.11. Зависимость математи­ ческого ожидания непроизводи­ тельных затрат времени на под­ ход к телефонному аппарату от расстояния, интенсивности потока вызовов и скорости перемещения

абонента

более простая ф-ла

(3.31")

может попользоваться

с достаточной

степенью точности

X L

<0,1 или, учитывая,

что

v=const =

при —

 

V

 

 

 

= 4000 м/ч, при ЯЕ<400.

 

 

не один,

Допустим, что телефонным аппаратом пользуется

а ггі абонентов, причем

 

 

 

 

 

То = 2 Т о ,

 

(3.32)

 

 

/=1

 

 

Произведя подстановку, получим

 

 

Я/ Г

пІ

£=]

 

(3.32')

 

 

V

 

 

£=1

i—

 

 

/= 1

 

 

 

 

— 134 —

 

 

Если каждый абонент имеет только одно .рабочее место, т. е. если Пі \ то, принимая Т за единицу, имеем следующую упрощенную формулу.:

 

 

 

T . - Y ,

Xj_ 1 + ег Щ

 

 

 

 

 

 

 

 

/=і

V

 

 

 

 

 

 

и при малых

Xj Lj

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

т•»о =

S2Яj Lj

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

/ =

1

 

 

 

 

 

Наконец,

если

все

абоненты

идентичны, то

в

соответствии

с (3.32)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

mXL

 

 

X L '

 

 

 

 

 

 

 

Т1 О =

1 + е

ѵ

 

при

 

Т — 1

 

или

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

гг*

 

Qm X L

 

 

XL

 

 

 

 

 

 

=

 

е

V

1.

 

 

 

 

 

Т0

------- при

 

 

 

Практически при

m> 1

условие

(3.32)

может

не

выполняться,

так как поведение

каждого

абонента не

является

независимым

от поведения других абонентов. Характер возникающих при этом зависимостей требует специальных исследований. Можно предпо­ лагать, что ф-ла (3.32) ів данном случае 'выражает 'верхний предел величины непроизводительных затрат.

Среднее время пребывания абонента возле телефона. До сих пор входящие и исходящие вызовы рассматривались совместно. Одна­ ко входящие и исходящие вызовы не эквивалентны, когда мы рас-' сматриваем время пребывания абонента возле телефонного аппа­ рата. Допустим, что в отрезок времени Т абонент осуществляет ис­ ходящие вызовы с интенсивностью Яисх и продолжительностью Тя каждый, а к нему поступают входящие вызовы с интенсивностью Явх и той же продолжительностью. Из теории вероятностей извест­ но, что если общий поток пуассоновский, то и составляющие его потоки также являются пуассоновскими. Поэтому математическое ожидание величины общего потока вызовов, поступающих на теле­

фонный аппарат,

 

^ = ^“исх + ^вх-

(3.33)

При исходящих вызовах абонент, кроме Тж, затрачивает время Тп на осуществление требуемого соединения. Тогда математичес­ кое ожидание времени пребывания абонента возле телефонного аппарата при пользовании им равно

Г, = (А,Ти + ^нсхТП)Т.

(3.34)

— 135 —

Смотрите также файлы