Файл: Матлин Г.М. Проектирование оптимальных систем производственной связи.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 10.04.2024
Просмотров: 230
Скачиваний: 0
Ситуация б) соответствует переходу системы из состояния k в состояние k—1. Вероятность этого перехода с точностью до бесконечно малых высшего по рядка по сравнению с At равна произведению вероятностей того, что за время At будет закончено обслуживание находившегося в системе вызова, и того, что за этот отрезок времени не поступит ни одного из т—k требований. Следовательно,
|
( |
— \ / |
At \ fe~* |
|
fe_ i = С Д 1 — e |
T ) [ e |
T ) |
[ l - X A t ] m~ k. |
|
После преобразований с учетом свойств простейшего потока |
||||
k, fe-i = k |
At |
|
At |
|
1 — (A — 1) |
j [1 — X(m—k) A t) = |
|||
|
At |
|
|
|
|
= k ^ - [ l — X(m — k)At] |
|||
и окончательно |
|
|
At |
|
|
|
k, ft—l = |
|
|
|
|
k- |
(3.42) |
|
Ситуация в) соответствует |
переходу |
системы |
из состояния k в состояние |
|
А+1. Вероятность этого перехода с точностью до бесконечно малых высшего по
рядка по сравнению с At равна произведению вероятностей того, |
что за время |
|
At в систему поступит, одно из m—k возможных требований (С^,_ЙАЛ(), |
и того, |
|
что за время At не будет закончено обслуживание находившегося |
в |
системе |
( |
- ? ) |
|
|
вызова \ е |
/ . Тогда |
A t |
|
|
|
|
|
|
Pk, к + { = Cln- k^Ate |
= X ( m ~ k ) A t { \ - A p j - |
|
Отсюда |
pk. k+l= b ( m - k ) A t . |
(3.43) |
|
|
|||
Вероятность перехода системы из состояния і в состояние k, когда |
]г—й |^ :2, |
||
за время At есть бесконечно малая величина более высокого порядка, чем At. Это можно показать следующим образом.
Вероятность поступления двух требований за время At по теореме умножения
вероятностей равна |
|
|
[X Д t + о (А /)Р = |
(X А О2 + |
2 X A t + [о (A t)]2 = о (A t), |
где о(Д^) — бесконечно малая |
величина |
по сравнению с At. |
Нетрудно видеть, что вероятность поступления более двух вызовов за время At тем более является бесконечно малой величиной более высокого порядка, чем At. Вероятность того, что за время At будет обслужено два вызова (закончено обслуживание вызова, находившегося в системе в момент t, и полностью обслу жен следующий за ним один вызов), равна
A t |
A t |
т |
у - + о ( Д 0 = о(Д t). |
Тем более бесконечно мала по сравнению с величиной At вероятность того, что система за отрезок времени AJ обслужит три и более вызовов.
Таким образом, ф-лы (3.41)— (3.43) с точностью до бесконечно малых выс ших порядков характеризуют вероятности переходов в рассматриваемой системе. На основании ф-лы (3.40) имеем:
Я0 (t + А 0 = Л> (0 Poo(A t) + рі (і) рю (АО! Pk (t+At) = Pk_ { (0 Pft_ ,, ft (A 0 + pk (0 pkk (A t) +
+Pft+i (t) Pft+i, ft (A 0;
—i!4l —
Pm (t + A /) = Pm_ , ( 0 Pm_ hm (Л t) + Pm ( 0 Pmm (A t) •
Используя полученные выше выражения для Pik(&t), получим: |
|
||||
P0(t + |
At) = |
P9( t ) [ l - k m M ] + |
P1( t ) - y - ; |
|
|
Pk (t + |
A t) = |
Pk_ { (0 к (m — k + |
1) A / - f Pk (t) |
— к (m — k) A t — |
+ |
|
+ |
p k+l (t)(k + \ ) A j r |
; |
|
|
Pm (t + Ы) = |
Pm_\ (t) к A t Д- P,n (t) 1 — T |
■ |
|
||
Получаем конечную систему уравнений. После элементарных преобразований приходим к следующей системе:
■ е.О + л о - i ’.W |
|
A |
f f . ; |
|
A t |
|
|
Т |
|
Pk {t + M)~~ Pk (t) |
= |
к(т — k-\- 1) Pfi_i (t) — \k( m — k) -j- |
||
м |
||||
|
|
|
||
|
|
Pk(t) + - y |
Pk+l (t); |
|
Pm (t + A t) — Pnj (t)
Pm СО-
A t
При переходе к пределу Aif->-0 в левой части находятся производные, т. е.
, |
|
Рі (0 |
|
Р0(0 = |
-х тР „(О + - ^ - ; |
|
|
Pfe (0 = |
к (m — ft + |
1 Pft_ , (0 — (m — A) + - y Pk (0 + |
(0 ; |
p ; (o = |
X Pm—j ( o |
- y P m со • |
|
Данная система дифференциальных уравнений может быть решена одним из известных методов. Однако, принимая во внимание, что нам нужно определить стационарное решение (в установившемся режиме), можно свести эту систему дифференциальных уравнений к системе алгебраических уравнений. Для этого перейдем к пределу при /-»-оо, что характеризует установившийся режим. Тогда
lim Pk(t)=pk, где pk — вероятность наличия в системе k вызовов, которая не <-»■оо
зависит от начального состояния системы. По смыслу величин Pk(t) и понятия
производной HmPfe(7)=0. Поэтому пределы левых частей системы уравнений t-ЮО
равны нулю. Следовательно, в пределе при t-*-°°
1
0 = — к трй + у Рі
|
|
1 |
|
0 — к(т — k + |
1) pk_ l |
k(m — k ) + у Р к + Т Pk+l |
(3.44) |
0 = к Рт— і |
1 |
|
|
j , Рт |
|
|
— 142 —
Если выразить |
все уц (й=1, 2,.., т) через ро, то решением системы алгебраи |
ческих ур-ний |
(3.44) будет |
Для определения величины р0 необходимо использовать условие (3.37), из которого с учетом ф-лы (3.45) следует
т |
т |
|
|
т |
|
S » |
- р*+ Ё |
<»>*р"- |
л [ і + S ц г = ж (іі>‘ |
= 1. |
|
|
|||||
ft=0 |
k=\ |
|
L |
k=1 |
|
Отсюда |
|
|
|
|
|
|
|
Po = |
|
|
(3.46) |
|
|
m! |
|
|
|
|
|
1+ |
(iУ)к |
|
|
|
|
(m — k)\ |
|
||
|
|
k=i |
|
|
|
Математическое ожидание затрат времени на ожидание занятого телефонного аппарата на исходящем конце в соответствии с (3.39) равно
|
m! |
(3.47) |
|
l)Pk |
(m — k)\ (.У? Po. |
||
|
|||
fc=1 |
fc=l |
|
|
где po определяется по ф-ле |
(3.46). |
|
Математическое ожидание затрат времени данного вида, от
несенное к одному вызову: |
|
|
|
|
/ |
- Ті |
1 (m- |
M V |
(3.47') |
0 |
— 7— |
1)1 |
|
|
|
Am |
fe=1 А (m — £)! |
|
|
Подчеркнем, что величины Ті и ti выражаются в долях времени интервала Т. Если 7=1 ч, то эти величины измеряются в долях часа.
Вероятность того, что затрат времени на ожидание освобожде ния занятого телефонного аппарата не будет, равна сумме двух вероятностей — того, что вызовов вообще нет, и того, что в системе обслуживается один вызов, «о ожидающих не имеется, т. е.
Яі = Po + |
Pi = |
nt1 |
(1 + my) Po. |
(3.48) |
Po + ------УРо = |
||||
|
|
( m — 1)! |
|
|
Вероятность наличия затрат этого вида находится из |
(3.38). |
|||
Таким образом, |
ф-лы |
(3.38), (3.46), |
(3.47') и (3.48) позволяют |
|
полностью учесть ожидание освобождения занятого телефонного аппарата в 'модели процесса доставки информации по сети АТС.
— '143 -
В тех случаях, когда условие (3.38) |
не выполняется, отказы |
от попытки установить соединение из-за |
необходимости ожидания |
освобождения занятого средства связи будут возникать в том слу чае, если число ожидающих превышает r(r^> 1). Вероятность от
каза р і00 |
абонента от установления |
соединения но рассматривае |
|
мой причине может быть определена по формуле: |
|||
|
|
от! |
|
|
|
к—г-\-2(от — А)! |
|
|
|
Ріоо = |
|
|
|
1 + ту - f У ] |
от! |
|
|
(от— k)\ |
|
|
|
к=2 |
|
Например, |
если г = 2, то отказы |
могут иметь место только при |
|
4. |
В |
случае, когда учитываются три возможных состояния |
|
сети связи, вероятность того, что будут затраты времени на ожи |
|||
дание, равна сумме вероятностей того, что при занятом средстве |
|||
связи имеются |
1, 2, ..., г ожидающих. Отсюда |
||
|
|
>4-1 |
|
|
|
ОТ! |
|
к=2 (от — &)! Ук
Р1=
о т !
1 + т у +
(от — k)\
к= 2
Нетрудно убедиться, что в этом случае ?і + Рі0, + Рі= 1.
Ожидание в процессе собственно установления соединения
Некоторые сети связи (АТС, автоматизированная диспетчерская связь, производственная громкоговорящая связь, централизован ное автоматизированное громкоговорящее оповещение) имеют в своем составе коммутационные приборы и линии, которые исполь зуются коллективно, т. е. если число вызовов превысит количество указанных приборов и линий, то вновь поступающие вызовы будут ожидать освобождения одного, двух и т. д. (в зависимости от ко личества вновь поступающих вызовов) устройств от занятия пре дыдущей передачей информации. Аналогичное положение соз дается на радиосетях прямой диспетчерской связи, где коллективно используется радиоканал, а также в системе радиотелефонной ав томатической связи, имеющей ограниченное количество радиока налов для широкой группы абонентов.
При рассмотрении вопроса об ожидании во время установле ния соединения необходимо рассмотреть три частных случая:
— 144 —