Файл: Липцер Р.Ш. Статистика случайных процессов. Нелинейная фильтрация и смежные вопросы.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 10.04.2024
Просмотров: 190
Скачиваний: 0
ВВЕДЕНИЕ
1. |
Значительный круг задач статистики случайных процес |
|
сов формулируется в рамках следующей схемы. |
задан |
|
На |
некотором вероятностном пространстве (Q, 9~, Р) |
|
частично наблюдаемый случайный процесс (Ѳ, £) — (Ѳ,, %t), |
t ^ O , |
|
у которого наблюдаться может лишь вторая компонента |
£=(£*), |
|
0.В каждый момент времени t требуется, основываясь на
наблюдениях £g={gs, давать оценку (ненаблюдае мых) значений Ѳ^. Эта задача оценивания (иначе — задача филь
трации) |
по Ц и будет изучаться в настоящей |
книге. |
|
Хорошо |
известно, что если МѲ^<оо, |
то |
оптимальной |
в среднеквадратическом смысле оценкой Ѳ, по |
|
является апо |
|
стериорное |
среднее mt = М (Ѳ ,|^ ), где £Г\ — о {со: ls, s < |
||
есть ст-алгебра, порожденная величинами |
Таким образом, |
||
решение задачи оптимальной (в среднеквадратическом смысле) фильтрации сводится к отысканию условных математических ожиданий mt — М (Ѳ, |
В принципе, условные математические ожидания М (Ѳ ,|^ )
могут быть вычислены по формуле Байеса. Однако даже во многих сравнительно простых случаях выражения, полученные с помощью формулы Байеса, являются слишком громоздкими, что сильно затрудняет как практическое использование, так и исследование структуры и свойств найденных таким образом оценок.
С вычислительной же точки |
зрения желательно, чтобы фор |
||||
мулы, определяющие «фильтр» |
mt, t '^ |
0, |
носили рекуррентный |
||
характер. |
Грубо говоря, это означает, что значение пц+д, А > 0, |
||||
должно восстанавливаться |
по |
значению |
mt и наблюдениям |
||
^ +i = {£s, |
f ^ s ^ f + A}. |
В |
случае |
дискретного времени |
|
t — 0, 1, 2, . . . простейшей формой таких рекуррентных соот ношений может служить, например, уравнение
Аmt = a{t, mt) + b(t, mt){lt+x — \ t), |
(1) |
|
где Amt — mt+[ — mt. В |
случае непрерывного времени |
0 |
такой формой обладают |
стохастические дифференциальные |
|
8 |
ВВЕДЕНИЕ |
|
уравнения |
mt) dt + b(t, mt) dlt. |
(2) |
dmt — a{t, |
Ясно, что без специальных предположений о структуре про цессов (0, I) трудно рассчитывать на то, что оптимальные оценки mt будут удовлетворять рекуррентным соотношениям типа (1) и (2). Поэтому, прежде чем описывать структуру рас сматриваемых нами процессов (Ѳ, g), для которых в данной книге изучаются задачи фильтрации, начнем с некоторых при меров.
Пусть Ѳ—гауссовская случайная величина с МѲ = т , D0=y> что для краткости будем записывать в виде 0 ~ N (т, у). Пред положим, что наблюдению подлежит последовательность
6/ = Ѳ + в„ |
/ - = 1 , 2 , . . . , |
(3) |
где 8j, е2, ... — независимые |
между собой |
(и от 0) гауссовские |
случайные величины с нулевыми средними и единичной дис персией. Пользуясь теоремой о нормальной корреляции (тео
рема 13.1)*), легко найти, что |
оценка /п ^= М (Ѳ [|1, . . . , gt) |
||
и ошибка «отслеживания» |
у<= М ( 0 — mt)2 определяются |
фор |
|
мулами |
|
|
|
t |
|
|
|
т+ 2 |
h |
|
|
= |
’ |
У ^ Т + ^ Г |
(4) |
Отсюда для mt и yt получаем следующие рекуррентные урав нения:
|
|
Лш<= |
ТТ ^7 [If-и — “ 'I' |
|
!"j| |
|
|
|
4v,= — |
|
(6) |
||
где Amt — mt+x — mt, Ayt — Yt+i ~ Ye |
е2, ... |
та |
||||
Усложним |
рассмотренный пример. Пусть 0 и eIt |
|||||
ковы же, что и в предыдущем примере, а наблюдаемый |
про |
|||||
цесс gf, t — 1, |
2, . . . , |
определяется соотношениями |
|
|
||
|
lt+ t = |
^о(^> I) + Ai (U І) 0 + В(+н |
|
(7) |
||
где функции A0(t, g) и A {(t, g) п р е д п о л а г а ю т с я { с о : |
g0, ■■■,%}• |
|||||
измеримыми |
(т. е. |
A0(t, |
g) и A {{t, g) при каждом |
t зависят |
||
лишь от значений |
g0, |
. . . , |
%t). |
|
|
|
*) В книге принята двойная нумерация теорем, лемм и формул. Первая цифра указывает номер главы, вторая — порядковый номер в данной главе.
|
|
ВВЕДЕНИЕ |
9 |
|
Отметим, что необходимость рассмотрения коэффициентов |
||||
A0(t, |) |
и |
Л, (/, |), зависящих от |
всех |
«прошлых» значений |
( |0, |
ІО, |
возникает, например, |
в задачах управления (§ 3, |
|
гл. 14), где эти коэффициенты играют роль «управляющих»
воздействий, в задачах теории информации (§ |
4, гл. 16), где |
|||
пара функций |
(Л0(^, |), Л, (t, |)) трактуется как «кодирование», |
|||
использующее бесшумную обратную связь. |
оценка |
mt — |
||
Оказалось, |
что для схемы (7) |
оптимальная |
||
= М (Ѳ,|^"|) и условная дисперсия |
yt — М [(Ѳ — mtf \&~\] |
также |
||
подчиняются рекуррентным уравнениям (см. § 5, гл. 13):
= |
у.А. (t, £) |
|
l)mt), mQ= m, (8) |
, , :2- ,, .. ' (1<+1 — A0(t, D — Ai(t, |
|||
|
1-h Л, (t, l ) y t |
|
|
|
A](t, l ) y 2t |
|
(9) |
Ayt = |
— 1+ A\ (/, І)V/ ’ Yo = Y- |
|
|
|
|
||
В схемах (3) и (7), по существу, |
речь |
шла о традиционной |
|
задаче |
математической статистики — о байесовской оценке слу |
||
чайного параметра по наблюдениям |
Следующий шаг в услож |
||
нении схемы (7) состоит в том, чтобы вместо случайной вели
чины Ѳ рассматривать случайный процесс |
Ѳг. |
|
|
|
|
|||||||
< = |
Будем |
предполагать, что случайный |
процесс (Ѳ, %) — (Ѳ*, | (), |
|||||||||
0, 1, . . . , описывается |
рекуррентными уравнениями |
|
|
|
||||||||
|
|
Ѳ<+і = |
a0(t, |
I) + |
ах (t, |
|) Ѳ; + b (t, |
I) в, (t + 1), |
|
|
|
||
|
|
!*-н = |
Лэ(/, |
£) + |
A ^t, |
+ |
|
|) е 2(Ң - 1), |
|
( |
} |
|
где |
e, (t), |
s2(t), |
t = 1, |
2, . . . , — последовательность независимых |
||||||||
величин, имеющих нормальное распределение N (0, 1) и не за |
||||||||||||
висящих также |
от (Ѳ0, | 0). Коэффициенты |
a0(t, |), . . . , |
B(t, |
|) |
||||||||
предполагаются ^-измеримыми при каждом |
^ = 0, 1, . . . |
|
|
|||||||||
|
Чтобы |
получить для оценки т t — М {Q |
|
и условной |
дис |
|||||||
персии |
— М {[0,— mtf\@~)) |
рекуррентные |
уравнения, |
пред |
||||||||
положим, |
что |
условное |
распределение |
Р(Ѳ0^ х | | 0) является |
||||||||
(для почти всех | 0) |
нормальным, N (т, |
у). |
Суть этого |
предпо- |
||||||||
ложения состоит в том, что оно позволяет доказать (см. |
гл. 13), |
|||||||||||
что тогда последовательность (Ѳ, |), управляемая уравнениями (10), является условно-гауссовской. Это означает, в частности, что условное распределение Р(Ѳ<^ х |5 г|) является (почти на
верное) гауссовским. Но такое распределение характеризуется лишь своими двумя условными моментами mt, yt, что дает возможность получить для них следующую замкнутую систему
10 |
|
|
|
|
ВВЕДЕНИЕ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
уравнений: |
|
|
|
|
|
|
|
|
tn(+{ = |
а0 + almt + |
в |
2 |
- 1 |
[h+i |
A m/]> |
то |
m> |
|
|
т |
-^iYf |
|
|
|
|
|
Vt+i = |
lab t + b2\ - |
|
|
|
Yo = |
Y |
|
|
(у коэффициентов |
aQ, |
. . . . |
В для |
простоты |
записи |
опущены |
||
аргументы / и |).
Уравнения (11) выводятся (в несколько более общей ситуа ции) в тринадцатой главе. Для их вывода ничего, по существу, кроме теоремы о нормальной корреляции, не требуется. В этой же главе выводятся уравнения и для оптимальных оценок в зада
чах экстраполяции (оценивания |
Ѳг по |£, когда %> f) и интер |
поляции (оценивания Ѳт по |
при т < ty Применениям этих |
уравнений к разнообразным задачам статистики случайных последовательностей, к задачам управления и к построению псевдорешений линейных алгебраических систем посвящена четырнадцатая глава.
Эти две главы могут читаться независимо от остального материала книги, и именно с них следует начинать читателю, который интересуется проблематикой нелинейной фильтрации, но еще недостаточно знаком с общей теорией случайных про цессов.
2. Основной материал книги представляет собой задачи оптимальной фильтрации (а также смежные задачи интерпо ляции, экстраполяции, последовательного оценивания, разли чения гипотез и т. п.) для случая непрерывного времени. Привлекательность этих задач в случае непрерывного времени объясняется (помимо их собственного интереса) тем, что для них удается получать прозрачные формулировки и компактные формулы. Следует также добавить, что зачастую легче сначала изучить непрерывный аналог задач, сформулированных для дискретного времени, а затем уже использовать полученные
результаты в исследовании |
первоначальных задач. |
|
Отмеченная (для случая |
непрерывного |
времени) простота |
формулировок, естественно, |
даром не |
дается — приходится |
привлекать, и причем довольно сложный, аппарат теории слу чайных процессов. Конкретнее о методах и аппарате, исполь зуемом в этой книге, мы скажем несколько позднее, а сейчас в целях иллюстрации остановимся на некоторых случаях филь трации, которые будут нами рассмотрены.
Предположим, что частично наблюдаемый случайный про цесс (Ѳ, !) = (Ѳ^, %t)> 0. является гауссовским, управляемым
