Файл: Липцер Р.Ш. Статистика случайных процессов. Нелинейная фильтрация и смежные вопросы.pdf

ВВЕДЕНИЕ

11

стемой

(10))

dQt =

a(t)Qt d

t b{t)dwi{t),

d \t = A{t)Qt dt + B{t)dw2{t),

(12)

где wx{t) и ^ ( O - -независимые

между собой и от (Ѳ0,

| 0) стан­

дартные винеровские процессы,

а B { t ) ^ C > 0. Будем

считать

компоненту Ѳ=

(Ѳ/), t ^ O ,

ненаблюдаемой. Рассматриваемая за­

дача фильтрации состоит

в том, чтобы в каждый момент вре­

мени

0 оптимально (в

среднеквадратическом смысле)

оце­

нивать

по Ѵ0.

Процесс (Ѳ, I) по предположению является гауссовским, по­

этому оптимальная оценка

m t — М(Ѳ; |^ |)

линейным

образом

зависит от наблюдений £g={£s>

Более точно, существует

t

(лемма 10.1) такая функция G{t, s) с J G2(t, s)ds < оо, t > 0,

что

(почти

наверное)

о

mt =

m0-{- J G {t,s)dls.

(13)

о

Если формально продифференцировать это выражение,

то

получим

dmt = G (t,

+

dGg ; s)

ds^jdt.

(14)

dG (t, s)

A4t) 1

Ft

B2(t) JG(t, s),

t > s,

(15)

G (s ,S) = l

^

,

Ys — M [0S— tns]2.

(16)

t >

Учитывая (15) и (14),

получаем,что оптимальная оценка ть

0,

удовлетворяет

линейному

стохастическому

дифферен­

циальному уравнению

у. А (t )

dmt = а (t) mt dt +

(17)

ßi ^

[ d tt~ A{t)m t dt}.

В

это

уравнение входит

величина ошибки «отслеживания»

Yt — М [0* — tnt\2, которая

в

свою

очередь является

решением

12

ВВЕДЕНИЕ

уравнения Риккати

yt = 2a(t)yt - - ~ f + b2(t).

(18)

V, А (t)

t.

(20)

dmt — a{t ) mt d t d w

Введенный процесс (wt),

0, весьма примечателен и играет

в задачах фильтрации фундаментальную

роль. Дело

в том,

что этот процесс, во-первых,

оказывается

винеровским

(отно­

это означает, что для всех t ^ O

о-алгебры Т™ =

0 {ак ws, s ^ .t}

и

= * {ш: ls,

s <Д} совпадают:

9 7 = &\,

і > 0

(21)

(см. теорему 7.16).

процесса w

Именно эти

свойства

послужили

основанием

называть его обновляющим

процессом

(innovation

process).

Совпадение

ст-алгебр 9~\

и @~Т наталкивает

на

мысль, что

для

mt справедливо не

только

равенство (13),

но

и предста­

вление

t

mt ==tn0+ J

F{t, s)dws,

(22)

о

ВВЕДЕНИЕ

13

ствием предположения гауссовости

процесса

(Ѳ, £). Приведем

теперь пример, в

котором оптимальная фильтрация является

нелинейной.

— марковский процесс,

выходящий из нуля,

Пусть (Qi), t ^ O

с двумя

состояниями 0 и 1 и единственным

переходом 0 — 1

в случайный момент ст, который распределен

(в силу предпо­

лагаемой

марковости) экспоненциальным

образом: Р (<?>/)==

= е~и , X > 0. Предположим, что наблюдаемый процесс £ = (£;),

0, имеет дифференциал

äh — Qt dt-\- dwt,

g0 =

0,

(23)

где w = (wt), t ^ 0—винеровский процесс,

не зависящий от про­

цесса Ѳ=

(Ѳг), t ^

0.

Ѳ из «нулевого» со­

Будём

трактовать переход процесса

по наблюдениям

определить,

произошла ли

до этого

мо­

мента «разладка» или нет.

t\ &~f).

Ясно,

что

Обозначим

nt =

Р (Ѳ, = 11&~Ѵ) — Р (о ^

nt — m t = М

I &~f).

Поэтому апостериорная

вероятность

п(,

і ^ О , является

оптимальной (в

среднеквадратическом

смысле)

оценкой состояния ненаблюдаемого процесса Ѳ= (ѲД

0.

Для апостериорной

вероятности щ,

0,

можно

вывести

(используя, например,

формулу

Байеса и результаты

относи­

тельно производной меры,

отвечающей процессу g, по вине-

ровской мере) следующее

стохастическое дифференциальное

уравнение:

dnt = X ( \ — nt)d t-\-n t ( l — я t)[d%t — nt dt\, я0 = 0.

(24)

14

ВВЕДЕНИЕ

оказывается винеровским и

—

0.

Следовательно,

уравнение (24) может быть записано также в следующем

экви­

валентном виде:

сІщ = К(1— щ) dt +

Л(( 1 — щ) dwt,

я0 = 0.

(25)

3.

Оказывается, что все эти примеры укладываются в рамк

следующей общей схемы, принятой в данной книге.

Пусть

(Q, ЗГ, Р) — некоторое вероятностное

пространство

0 (£Tss ^ s ^

,

s<^)- На этом вероятностном пространстве

предполагаются

заданными

частично

наблюдаемый

процесс

(Ѳ^,

It),

0, и

оцениваемый

процесс (ht),

0, зависящий,

вообще

говоря,

как от ненаблюдаемого

процесса

Ѳ^, t ^

0,

так и наблюдаемой компоненты (£*),

0.

£ = (£*, ЗГt)

бу­

дет

Относительно

наблюдаемого

процесса*)

предполагаться, что он допускает стохастический дифферен­

циал

d lt= At(а) dt + dwt, ^

=

0,

(26)

где

w — (wt,3T^),

t ^ 0 , — стандартный

винеровский

процесс

(т. е. квадратично

интегрируемый

мартингал

с непрерывными

траекториями с

М [(wt — w^f- \ !FS]= t — s

при

t ^ s

и да0 =

0),

а Л = (ЛД(о), ЗГt),

0, — некоторый интегрируемый случайный

процесс **).

Ѳ== (Ѳ^, $Гt),

0,

не­

Структура ненаблюдаемого процесса

оцениваемый процесс h =

(ht, Srt),

0, допускает следующее

представление:

t

ht — h0-f f as {(ü) ds + xt,

/ > 0 ,

(27)

о

где

а =

(щ(а>),

ЗГt),

0, — некоторый

интегрируемый

процесс,

x =

(xt, &~t),

0, — квадратично интегрируемый мартингал.

Для

всякого интегрируемого процесса

g = (gt, 3Tt), t ^ 0 ,

обозначим nt (g )= М [

g

, Тогда,

если

М ^ < о о ,

т оя Д^ )

по U = { l s,

.

*) Запись | = (It,

t) подразумевает, что величины g1 являются йД-из-

ВВЕДЕНИЕ

15

Один из

основных

результатов

книги

(теорема 8.1)

утвер­

ждает,

что

для

nt (h)

справедливо

следующее представление:

t

t

яД/г) =

я0 (/z) + J

яS(a)ds +

J

яS(D) dws +

-f

J

[ns{hA) — я5(/і)я^(Л)] dws.

(28)

Здесь

w =

(wt,

i ^ O , — винеровский

процесс (cp.

с обно­

D = (Dt, 9~t),

0,

характеризует

«корреляцию» между ви.не-

ровским процессом

w = {wt,

9~t),

0,

и мартингалом

х —

= {xt, 9~t),

0.

Точнее,

процесс

Dr

d (х, w)t

(29)

dt

где (х, w)t — случайный

процесс,

участвующий

в разложении

Дуба — Мейера произведения

мартингалов х и

w:

М \xtwt — xsws I 9~s\ =

M [(x, w)t — (x, w)s I 9~s).

(30)

Представление

(28)

мы

называем

основным уравнением

результатов

(в рамках

предположений (26),

(27)) может быть

выведено из этого уравнения.

Покажем, например, как из (28) выводятся уравнения филь­

трации

(17),

(18) в схеме

Калмана — Бьюси,

считая для про­

стоты

b(t) =

В (/)=

1.

(26)

и (27),

видим, что ЛДсо) == A (t) Ѳ„

Сравнивая (12)

с

wt — w2(t). Положим

ht — Qt. Тогда

в силу (12)

t

ht = h0 +

J a{s)Qs ds +

да, (0-

(31)

о

Процессы Wi — (w{(t))

и w2 = (w2(t)),

0,

являются незави­

для них Dt s=0 (Р-п. н.). Тогда

в силу (28)

яДѲ) имеет диффе­

ренциал

dnt (Q) = a(t)nt (B)dt +

А {t)\nt {&) -

n2t {ü)\dwt,

(32)

т. е.

(33)

dmt = a(t) mt dt -j~ A (t)yt dwt,

где мы воспользовались тем, что в силу гауссовости

процесса

9, I), Р-п. н.

я, (Ѳ2) - п] (Ѳ) = М [(0, - m ty j 9~Ц = М [0t - mtf «

yf.