Файл: Липцер Р.Ш. Статистика случайных процессов. Нелинейная фильтрация и смежные вопросы.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 10.04.2024

Просмотров: 348

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

686 ПРИМЕЧАНИЯ

§ 3. Структура процессов, мера которых абсолютно непрерывна и экви­ валентна винеровской, изучалась Хитсуда [158], Липцером и Ширяевым [118], Ершовым [53], Кайлатом [69].

§ 4. Представление (7.73) для процессов Ито с помощью обновляющего процесса W было получено Ширяевым [166] и Кайлатом [67]. См. также статьи Ершова [52], Липцера и Ширяева [111], Фуджисаки, Каллианпура и Кунита [156].

§ 5. Лемма 7.2 в случае гауссовских процессов с нулевым средним до­ казана в статье Кадота [64]. Приведенное доказательство возможности све­

дения

общего

случая

(ІѴфг # 0 )

к случаю процессов с нулевым средним

(М[3<

= 0 ) было указано нам А.

С. Холево. Представления типа (7.99) рас­

сматривались

Хитсуда

[158]. При

доказательстве гауссовости интеграла (Ле-

 

т

 

 

 

бега)

Jct (0 dt от гауссовского процесса а (t), 0 г£С/ ^ Т, используются пред-

о

ставления для семиинвариантов, см. Леонов и Ширяев [103], Ширяев [164]. Другое доказательство гауссовости можно получить с помощью теоремы 2.8, приведенной Дубом [46].

'§ 6. Результаты этого параграфа получены авторами.

§ 7. Теорема 7.21 обобщает известный результат, принадлежащий Каме­ рону и Мартину [80], [81].

§ 8. Теорема 7.22 обобщает известное неравенство Рао — Крамера [90]

инеравенствоВолфовитца [22].

§9. Леммы 7.3 и 7.4 содержатся в статье Каллианпура и Стрибел [74].

 

Глава 8

§

1, 2. Выводу представлёний для условных математических ожиданий

л t(h)

при разных предположениях о (0, h) были посвящены работы мно­

гих авторов. Прежде всего необходимо отметить классические работы Колмо­ горова [87] и Винера [21], которые в рамках линейной теории рассмотрели задачу построения оптимальных оценок для случая стационарно связанных процессов. Развернутое изложение их результатов вместе с достижениями последних лет содержатся у Яглома [172], Розанова [139], Прохорова и Ро­ занова [135]. По поводу результатов, касающихся нелинейной фильтрации, см., например, работы Стратоновича [146], [147], Вентцеля [19], Вонэма [25],

Кушнера [98], [99], Ширяева [165], [166], [170], Липцера и Ширяева [111], [114]—[116], Липцера [108]—[ПО], Кайлата [67], [70], Фроста и Кайлата [155],

Стрибел [148], Каллианпура и Стрибел [74], [75], Ершова [50], [51], Григелиониса [41]. Приводимый вывод следует в основном статье Фуджисаки, Кал­ лианпура и Кунита [156]. Первые общие результаты по построению оптималь­ ных нелинейных оценок для случая марковского процесса были получены

Стратоновичем [146],

[147] в рамках теории

условных марковских процессов.

§

3. Представление (8.56) для Пі (h) в

случае процессов диффузионного

типа

было

получено

Ширяевым [165], Липцером и Ширяевым [111].

§

4, 5.

Теоремы

8.4 и 8.5 приводятся впервые. Частные их случаи были

получены Стратоновичем [147], Липцером и Ширяевым [112]—[116], Липце­

ром [108]—[110].

стохастические дифференциальные уравнения

§ 6. Рассматриваемые

с частными производными

для условной плотности были выведены Липце­

ром и Ширяевым [111]. Результаты о единственности решения принадлежат Розовскому [140].

Глава 9

§ 1—3. Частные случаи теоремы 9.1 были опубликованы в работах Во­ нэма [25], Ширяева [166], Липцера и Ширяева [166], Стратоновича [147]. Приводимый мартингальный вывод дается впервые. Единственность решения

ПРИМЕЧАНИЯ

687

нелинейной системы уравнений (9.23) изучалась Розовским

и Ширяевым

[141]. Выводу прямых и обратных уравнений интерполяции посвящены ра­ боты Стратоновича [147], Липцера и Ширяева [116].

Глава

10

 

§ 1—3. Уравнения (10.10) и (10.11),

определяющие

эволюцию оптималь­

ного линейного фильтра, получены Калманом и Бьюси

[78]. См. также гл. 9

в книге Стратоновича [147].

 

 

Мартингальный вывод уравнений (10.10) и (10.11) дается, по-видимому, впервые. Доказательство леммы 10.1 принадлежит авторам. Другое дока­ зательство леммы 10.1 дано Рюмгаартом [142].

§ 4. Уравнения для почти оптимального линейного фильтра в случае вы­ рождения матриц В ° В даются впервые.

Глава 11

§ 1—3. Важность выделения класса условно-гауссовских процессов для эффективного решения задач оптимальной нелинейной фильтрации была от­ мечена Липцером [108]. Условно-гауссовские процессы рассматривались в статье Липцера и Ширяева [111]. Доказательство теоремы об условной гауссовости приводится впервые.

Глава 12

§ 1—5. Результаты этой главы принадлежат авторам. Частично они были ими опубликованы в [111], [113]—[115].

Глава 13

§ 1. Теорема о нормальной корреляции (теорема 13.1), доказанная в об­ щей постановке Марсаглиа [124] (см. также Андерсон [2]), систематически используется в разных главах этой книги. Доказательство теоремы 13.2 авто­ рам сообщил Кицул. Свойства псевдообратных матриц см. также в книге

Гантмахера [30]. Лемма

13.3 доказана Пятецким (дипломная работа).

§ 2—5. Содержание

этих параграфов основано на статьях Липцера и

Ширяева [119], Глонти [38]—[40].

Глава 14

§1, 2. В этих параграфах систематически используется тот факт, что стационарная последовательность с дробно-рациональным спектром является компонентой многомерного стационарного процесса, подчиняющегося системе рекуррентных уравнений (14.15) (см. также гл. 15, § 3). Идея вывода рекур­ рентных уравнений заимствована у Лэнинга и Бэттина [122].

§3. Задача оптимального управления линейной системой с квадратичным функционалом потерь изучалась Красовским и Лидским [92], Летовым [104],

Калманом [79]. Эта же задача управления по неполным данным приведена

уАоки [3], Медича [125], Вонэма [24].

§4. Теорема 14.3 аналогична соответствующему результату Калмана

[77](для случая непрерывного времени см. также § 2 гл. 16).

§5. Результаты этого параграфа получены Альбертом и Сит.тлером [1], Жуковским и Липцером [55].

Глава 15

§1—3. В этих параграфах используются общие уравнения оптимальной фильтрации для линейного оценивания случайных процессов.

§4. Сравнение оптимальных линейных и нелинейных оценок производи­

лось Стратоновичем [147] и Липцером [107].

688

ПРИМЕЧАНИЯ

 

Глава 16

§ 1. Доказательство теоремы 16.1 существенно основывается на резуль­ татах двенадцатой главы о виде уравнений для апостериорных средних и дисперсий в случае условно-гауссовских процессов (см. также Медич [125],

Вонэм [26]),

 

 

§ 2.

Теорема 16.2 получена Калманом [77].

Кадоты,

Закаи и

§ 3.

Излагаемые результаты содержатся в статье

Зива [65].

каналу с

обратной

§ 4.

Передача гауссовской случайной величины по

связью рассматривалась Шалквийком и Кайлатом [161], Зигангировым [56],

Дьячковым и

Пинскером [48],

Хасьминским

(см. задачу 72 в добавлении

к книге [157]),

Невельсоном и

Хасьминским

[128]. Доказательство теоре­

мы 16.4, основанное на использовании уравнений оптимальной нелинейной фильтрации, принадлежит Катышеву (дипломная работа).

Доказательство леммы 16.7 и теоремы 16.5 принадлежит Ихара

(Sh. Шага).

Теорема 16.6 доказана авторами.

Глава 17

§1. Здесь систематически используются результаты седьмой и десятой

глав.

§2. Оценки параметров коэффициента сноса для процессов диффузион­ ного типа изучались Новиковым [131], Арато [4].

§ 3. Результаты этого параграфа принадлежат Новикову [131].

§4. Оценка параметров двумерного гауссовского марковского процесса рассматривалась в работах Арато, Колмогорова, Синая [5], Арато [4], Лип­ цера и Ширяева [111], Новикова [131].

§5. Последовательные оценки максимального правдоподобия бн (І)были введены авторами. Свойства этих оценок изучались Новиковым [131] и авто­ рами. Теорема 17.7 доказана Вогником.

§

6.

Теорема

17.8 обобщает один из результатов Лэдена [121].

§

7.

Теорема

17.9 доказана в статье [143].

ЛИТЕРАТУРА

]. Ал ь бе р т , Си тт лер

(Albert

А.,

Sittler

R.

W,),

A

method

tor

com­

 

puting least squares estimators that keep up with

the

data,

SIAM

 

J. Cont­

2

rol 3

(1965), 384—417.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

анализ

(перев.

А н д е р с о н

T„ Введение в многомерный статистический

3

с англ.), Физматгиз, М., 1963.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(перев.

с англ.),

«На­

Аоки М., Оптимизация стохастических систем

4.

ука», М., 1971.

 

 

 

 

 

доверительных

 

границ для

параметра

 

«затуха­

А р а т о

М.,

Вычисление

 

 

 

ние» комплексного стационарного гауссовского марковского процесса,

5.

Теория вероятн. и ее примен. XIII,

 

1 (1968), 326—333.

 

 

 

 

 

 

 

А р а т о

М.,

К о л м о г о р о в

А.

Н., С и н а й

Я.

Г., Об оценке парамет­

 

ров

комплексного

 

стационарного

гауссовского

марковского

 

процесса,

6.

ДАН СССР 146, 4 (1962), 747—750.

 

control

of

Markov

processes

with

А с т р ё м

(Astrom

К.

I.),

 

Optimal

7.

incomplete state information, J. Math. Anal. Appl.

10

(1965), 174—205.

Б а л а к р и ш н а н

 

(Balakrishnan

A.

V.),

Stochastic

differential

 

systems,

8.

1, Lecture notes, Dept, of System Science, VCLA, 1971.

 

approach

to linear

Б а л а к р и ш н а н

(Balakrishnan

A. V.),

 

A martingale

9.

recursive

state

estimation,

SIAM

J. Control

10

(1972),

754—766.

 

 

 

Б е л л м а п

P.,

Кук

К.

Л.,

Дифференциально-разностные

уравнения

10.

(перев. с англ.), «Мир», М., 1967.

Filtrage

optimal

des

systemes

lineaires,

Б е н с у с с а н

 

(Bensoussan

A.),

11.

Dunod, Paris,

1971.

 

 

(Blackwell D.,

Dubins L.),

Merging of

 

opinoins

Б л э к у э л л ,

Д у б и н е

 

12.

with increasing information, AMS 33 (1962), 882—886.

R. K-), Markov

pro­

Б л ю м е н т а л ь ,

 

Г е т у р

 

(Blumental

R. M.,

Getoor

13.

cesses and potential theory, Academic

Press,

N. Y. and L.,

1968.

 

 

 

 

Б о л ь ш а к о в

И.

А.,

Р е п и н

В.

Г., Вопросы нелинейной фильтрации,

14.

Автоматика и телемеханика XXII, 4 (1961), 466—478.

 

 

 

Company,

Б р е й м а н

(Breiman

L.),

Probability,

Addison-Wesley Publ.

15.

1968.

 

(Bucy

R. S.),

Nonlinear

filtering

theory,

IEEE

Trans. Automatic

Б ь юс и

16.

Control AC-10 (1965), 198.

 

 

 

S.,

Joseph

P.

D.),

Filtering for

stochastic

Бью си,

Д ж о з е ф

(Вису R.

17.

processes

with

application

 

to

guidance,

Interscience,

N. Y.,

1968.

 

«Мир»,

Б э к к е н б а х

Э.,

Б е л л м а п

P.,

Неравенства (перев.

с

англ.),

18.

М„ 1965.

 

А. Д., Аддитивные функционалы от

многомерного

вииеров-

В е н т ц е л ь

19.

ского процесса, ДАН СССР 130, 1 (1961), 13—16.

 

марковских

процес­

В е н т ц е л ь

А. Д., Об уравнениях теории условных

20.

сов, Теория вероятн. и ее примен. X, 2 (1965), 390—393.

Phys.

58

(1923),

Ви н е р

(Wiener

 

N.),

Differential

space,

J.

Math, and

21

131— 174.

(Wiener

N.),

Extrapolation,

interpolation

and

smoothing

of

sta­

Вин е р

 

tionary time series, J. Wiley & Sons,

N. Y.,

 

1949.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Смотрите также файлы