Файл: Курсоваяработ а по дисциплине Математический анализ Поверхностные интегралы и их приложения Выполнил(а) студент (ка).docx
Добавлен: 10.04.2024
Просмотров: 108
Скачиваний: 2
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
СОДЕРЖАНИЕ
1.1Определение поверхностного интеграла первого типа
1.2 Физические приложения поверхностных интегралов первого типа
1.3 Поверхностный интеграл II-го рода
1.3.1 Выражение поверхностного интеграла II-го рода через двойной интеграл.
1.6 Некоторые приложения формулы Остроградского
равна площади поверхности Ω. Таким образом, площадь поверхности можно найти с помощью поверхностного интеграла I-го рода:
(Основано на Калинин В.В., Петрова И.В. К 18 Математика в нефтегазовом образовании. Теория и задачи: Учеб. пособие. − М.: РГУ нефти и газа им. И.М. Губкина, 2005. Вып. 3. Часть 2: Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы – 121- 126с)
1. С помощью поверхностных интегралов можно определять массы, моменты, координаты центров тяжести и т.п. величины для материальных поверхностей, вдоль которых распределены массы с определенной в каждой точке поверхностной плотностью.
Пусть S представляет собой тонкую гладкую оболочку. Распределение массы оболочки описывается функцией плотности . Тогда полная масса оболочки выражается через поверхностный интеграл первого рода по формуле:
Пусть распределение массы m в тонкой оболочке описывается непрерывной функцией плотности . Координаты центра масс оболочки определяются формулами
, , , где
так называемые моменты первого порядка относительно координатных плоскостей x=0, y=0 и z=0, соответственно.
Моменты инерции оболочки относительно осей выражаются, соответственно, формулами:
.
Моменты инерции оболочки относительно плоскостей определяются формулами
Рисунок3
Рисунок 4
П
усть задана поверхность S, а в точке
, не принадлежащей поверхности, находится тело массой m (рисунок 3,4)
Сила притяжения между поверхностью S и точечным телом m определяется выражением
,
где , G −гравитационная постоянная, − функция плотности.
Предположим, что поверхность S задана вектором r и находится под воздействием некоторой силы давления (это может быть плотина, крыло самолета, стенка баллона со сжатым газом и т.д.). Полная сила F, созданная давлением , находится с помощью поверхностного интеграла по формуле:
Давление, по определению, действует в направлении вектора нормали к поверхности S в каждой точке. Поэтому, мы можем записать
, где n − единичный нормальный вектор к поверхности S.
Если в качестве векторного поля рассматривается скорость жидкости , то поток через поверхность S называется потоком жидкости. Он равен объему жидкости, проходящей через поверхность S в единицу времени и выражается формулой
Аналогично, поток векторного поля , где ρ − плотность, называется потоком вещества и определяется выражением
Он численно равен массе вещества, проходящего через поверхность S в единицу времени.
(Основано на Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т.2. Санкт – Петербург: Лань, 1997 – 337 – 339с)
2. Притяжение простого слоя. Поверхностные интегралы первого типа естественно входят в рассмотрение при изучении притяжения масс, распределенных на поверхности.
Пусть по поверхности (S) непрерывным образом распределены массы с заданной в каждой точке M (x, y, z) поверхности плотностью
Пусть, далее, в точке находится единица массы. Требуется определить, с какой по величине и по направлению силой притягивается точка А поверхностью (S), если в основу положен ньютонов закон притяжения (закон всемирного тяготения).
Если бы точка А притягивалась одной лишь материальной точкой М (x, y, z) с сосредоточенной в ней массой m, то величина силы притяжения была бы равна
где r есть расстояние , т.е.
Так как эта сила направлена от А к М, то ее направляющие косинусы будут
В случае системы притягивающих материальных точек эти выражения заменились бы суммами подобных выражений; наконец, при непрерывном распределении масс по поверхности появится вместо суммы интегралы.
Применяя обычный прием изложения, можно было бы рассмотреть элемент dS поверхности с массой , как бы сосредоточенной в одной из его точек М (x, y, z). Оказываемое им на точку А притяжение будет иметь проекции на оси:
где r означает расстояние , выражаемое формулой (*). Теперь остается лишь просуммировать эти выражения, что приведет к следующим формулам для проекции силы притяжения простого слоя на оси :
Этим сила определена полностью как по величине, так и по направлению.
Если бы притягиваемая точка А и сама лежала на поверхности (S), то проекции притяжения на оси по-прежнему выражались бы этими интегралами, но на этот раз интегралы эти были бы несобственными, поскольку вблизи точки А подынтегральные функции все перестают быть ограниченными.
3.Потенциал простого поля
(Основано на Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т.2. Санкт – Петербург: Лань, 1997 – 316 – 319с)
(Основано на Калинин В.В., Петрова И.В. К 18 Математика в нефтегазовом образовании. Теория и задачи: Учеб. пособие. − М.: РГУ нефти и газа им. И.М. Губкина, 2005. Вып. 3. Часть 2: Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы – 121- 126с)
1.2 Физические приложения поверхностных интегралов первого типа
1. С помощью поверхностных интегралов можно определять массы, моменты, координаты центров тяжести и т.п. величины для материальных поверхностей, вдоль которых распределены массы с определенной в каждой точке поверхностной плотностью.
-
Масса оболочки
Пусть S представляет собой тонкую гладкую оболочку. Распределение массы оболочки описывается функцией плотности . Тогда полная масса оболочки выражается через поверхностный интеграл первого рода по формуле:
-
Центр масс и моменты инерции оболочки
Пусть распределение массы m в тонкой оболочке описывается непрерывной функцией плотности . Координаты центра масс оболочки определяются формулами
, , , где
так называемые моменты первого порядка относительно координатных плоскостей x=0, y=0 и z=0, соответственно.
Моменты инерции оболочки относительно осей выражаются, соответственно, формулами:
.
Моменты инерции оболочки относительно плоскостей определяются формулами
-
Сила притяжения поверхности
Рисунок3
Рисунок 4
П
усть задана поверхность S, а в точке
, не принадлежащей поверхности, находится тело массой m (рисунок 3,4)
Сила притяжения между поверхностью S и точечным телом m определяется выражением
,
где , G −гравитационная постоянная, − функция плотности.
-
Сила давления
Предположим, что поверхность S задана вектором r и находится под воздействием некоторой силы давления (это может быть плотина, крыло самолета, стенка баллона со сжатым газом и т.д.). Полная сила F, созданная давлением , находится с помощью поверхностного интеграла по формуле:
Давление, по определению, действует в направлении вектора нормали к поверхности S в каждой точке. Поэтому, мы можем записать
, где n − единичный нормальный вектор к поверхности S.
-
Поток жидкости и поток вещества
Если в качестве векторного поля рассматривается скорость жидкости , то поток через поверхность S называется потоком жидкости. Он равен объему жидкости, проходящей через поверхность S в единицу времени и выражается формулой
Аналогично, поток векторного поля , где ρ − плотность, называется потоком вещества и определяется выражением
Он численно равен массе вещества, проходящего через поверхность S в единицу времени.
(Основано на Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т.2. Санкт – Петербург: Лань, 1997 – 337 – 339с)
2. Притяжение простого слоя. Поверхностные интегралы первого типа естественно входят в рассмотрение при изучении притяжения масс, распределенных на поверхности.
Пусть по поверхности (S) непрерывным образом распределены массы с заданной в каждой точке M (x, y, z) поверхности плотностью
Пусть, далее, в точке находится единица массы. Требуется определить, с какой по величине и по направлению силой притягивается точка А поверхностью (S), если в основу положен ньютонов закон притяжения (закон всемирного тяготения).
Если бы точка А притягивалась одной лишь материальной точкой М (x, y, z) с сосредоточенной в ней массой m, то величина силы притяжения была бы равна
где r есть расстояние , т.е.
Так как эта сила направлена от А к М, то ее направляющие косинусы будут
В случае системы притягивающих материальных точек эти выражения заменились бы суммами подобных выражений; наконец, при непрерывном распределении масс по поверхности появится вместо суммы интегралы.
Применяя обычный прием изложения, можно было бы рассмотреть элемент dS поверхности с массой , как бы сосредоточенной в одной из его точек М (x, y, z). Оказываемое им на точку А притяжение будет иметь проекции на оси:
где r означает расстояние , выражаемое формулой (*). Теперь остается лишь просуммировать эти выражения, что приведет к следующим формулам для проекции силы притяжения простого слоя на оси :
Этим сила определена полностью как по величине, так и по направлению.
Если бы притягиваемая точка А и сама лежала на поверхности (S), то проекции притяжения на оси по-прежнему выражались бы этими интегралами, но на этот раз интегралы эти были бы несобственными, поскольку вблизи точки А подынтегральные функции все перестают быть ограниченными.
3.Потенциал простого поля
(Основано на Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т.2. Санкт – Петербург: Лань, 1997 – 316 – 319с)