Файл: Курсоваяработ а по дисциплине Математический анализ Поверхностные интегралы и их приложения Выполнил(а) студент (ка).docx

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ

«МУРМАНСКИЙ АРКТИЧЕСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

(ФГБОУ ВО «МаГУ»)

Факультет математичеких и естественных наук

Кафедра Математики, физики и информационных технологий
К У Р С О В А Я Р А Б О Т А

по дисциплине «Математический анализ»

Поверхностные интегралы и их приложения
Выполнил(а) студент (ка):

Осокин А.Д.

3БПО-МФ, ФМиЕН

Научный руководитель:

_____________________

к.п.н., доцент

Оглавление

Введение

Понятие интеграла возникло ещё несколько веков назад в связи с возрастающими потребностями человечества. Прикладная направленность интегрального исчисления выражается в различного рода, задачах, среди которых задача нахождения длины пути, задача нахождения площадей, объемов и т.д. Особый интерес для исследования представляет поверхностный интеграл. Понятие поверхностного интеграла используют такие задачи как задача нахождения массы поверхности, имеющей поверхностную плотность. Поверхностные интегралы существуют двух видов, это поверхностные интегралы первого и второго рода. С поверхностным интегралом второго рода связаны две формулы, находящие разнообразные применения, в том числе в физических приложениях. Это формулы Стокса и Остроградского-Гаусса. Формула Стокса применяется при нахождении циркуляции векторного поля. Формула Остроградского-Гаусса имеет множество применений, среди которых нахождение объема тела, нахождение потока векторного поля по замкнутой поверхности и т.д.

---

Целью данной работы является исследование поверхностного интеграла первого и второго рода, а также их практического применения.

Объектом данной работы является интегральное исчисление функции нескольких переменных.

Предметом данной работы является вычисление поверхностных интегралов первого и второго рода.

Задачи работы:

1.Систематизировать теоретический материал по данной теме.

2.Рассмотреть определение и свойства поверхностных интегралов первого и второго рода.

3.Выявить практическое применение данного материала в физике.

4.Рассмотреть некоторые примеры задач по применению поверхностных интегралов

5.На основе теоретического и практического материала сделать выводы

1.1Определение поверхностного интеграла первого типа

Теория поверхностных интегралов во многом аналогична теории криволинейных интегралов. Рассматриваются интегралы двух типов: поверхностные интегралы I-го и II-го рода, их определения аналогичны соответствующим определениям для криволинейных интегралов, для определения поверхностного интеграла II-го рода на поверхности необходимо задать ориентацию. Как и для криволинейных интегралов, существуют формулы, связывающие поверхностные интегралы I-го и II-го рода. Однако в отличие от кривой, которая определяется заданием одного параметра, для описания поверхности необходимо уже два параметра, поэтому вычисление поверхностных интегралов сводится к вычислению двойного интеграла по области на плоскости (а не определенного интеграла Римана, как для криволинейных интегралов).

Поверхностный интеграл I-го рода.

В трехмерном пространстве с декартовой системой координат ОXYZ рассмотрим кусочно-гладкую поверхность Ω, ограниченную кусочно-гладкой кривой . В частном случае замкнутой поверхности (например, сферы) ее граница представляет собой пустое множество, а значит также является кусочно-гладкой.

Пусть на поверхности Ω задана функция f(M), где – точка на поверхности, а (х, у, z) – ее декартовы координаты. Пусть функция f(M) непрерывна на поверхности Ω, т.е. в ранее введенных обозначениях

---

Зададим разбиение T поверхности Ω с помощью произвольно проведенных кусочно-гладких кривых на части (рис. 1). В каждой из этих частей Ω_k выберем по произвольной точке с координатами , и составим интегральную сумму:




Рисунок 1. К определению поверхностного интеграла I рода
Где – площадь поверхности Ω_k.

Определение 1. Пусть P и N– произвольные точки части Ωk поверхности Ω. Соединим эти точки дугой γ гладкой кривой, целиком лежащей в Ωk. Обозначим через γ(P, N) длину этой дуги, а через ℓ(P, N) – длину самой короткой дуги, соединяющей точки P и N и целиком лежащей на поверхности Ωk:

Диаметром части поверхности назовем величину γ

Диаметром dT разбиения T будем называть наибольший из диаметров частей:





Определение 2. Поверхностным интегралом I-го рода от функции по поверхности называется предел интегральной суммы (1) при бесконечном увеличении числа n частей разбиения и бесконечном уменьшении диаметра разбиения, если этот предел существует и не зависит ни от способа разбиения T, ни от выбора точек

---

:



Для поверхностного интеграла используются и другие обозначения:



Сформулируем без доказательства теорему о существовании поверхностного интеграла I-го рода:

Теорема 1. Если Ω – непрерывная кусочно-гладкая поверхность, ограниченная кусочно-гладкой кривой Г(Ω), и функция f(M) непрерывна на ней, то поверхностный интеграл I-го рода (2) от функции f(M) существует и определен однозначно.

Обратимся теперь к вычислению поверхностного интеграла I-го рода.

Теорема 2. Пусть Ω – гладкая поверхность, заданная на ограниченной области D плоскости OXY уравнением: , где , и пусть функция f(M) непрерывна на этой поверхности. В этом случае поверхностный интеграл I-го рода от функции f(M) находится по формуле:





Рисунок 2. К доказательству теоремы 2
Доказательство теоремы 2. Спроектируем на плоскость множество кривых, разбивающих поверхность Ω на части Ωk (рис.2). Получим в результате разбиение области D на части .


По формуле имеем выражение для площади поверхности Ωk:



Это равенство можно преобразовать, применив теорему о среднем для двойного интеграла:



где – некоторая точка части , а – площадь этой части.

Подставляя формулу (4) в выражение (1) для интегральной суммы, получим:



Отметим, что выражение (5) отличается от интегральной суммы

---

двойного интеграла

только значениями аргументов частных производных и под знаком квадратного корня. В силу предположения о гладкости поверхности эти частные производные непрерывны на замыкании области D. Тогда и функция также непрерывна на

Функция, непрерывная на замкнутой (т.е. содержащей свою границу) ограниченной области является равномерно непрерывной на ней, т.е. для любого значения существует такое , что при диаметре разбиения меньшим δ, разность будет меньше ε .

Из непрерывности на поверхности Ω функции f(M) следует, что функция

непрерывна, а следовательно, и ограничена на области :



Тогда получаем, что при выполнено неравенство



поэтому при разность → 0, т.е. пределы интегральных сумм и совпадают:



Отсюда и следует утверждение теоремы 2.

Замечание. Интегральная сумма (1) для функции

---