Решетки, конечных размеров. Краевые эффекты |
341 |
с коэффициентами С", а в короткозамкнутых — волны с коэффи циентами
С%±еУо'1п,
где у0 — постоянная распространения основного типа волн — имеет чисто мнимую величину. Таким образом,
С3 = 4°0с п0+ |
2 |
(C’ol4 e-Vo,lm) c n-™.0 |
для п е м , |
(2а) |
|
т£Мг |
|
|
|
II |
|
|
|
|
Со evohn= А°0Сп0+ |
2 |
4 “ e~y°hm) Сп-т. о |
для п 6 М 2. |
(26) |
|
т£Ма |
|
|
|
Так как уравнение (26) содержит конечное число неизвестных С%, то, считая Сп0 известными, уравнение можно решить, обратив
матрицу порядка М 2 относительно неизвестных С™, |
записанную |
через Сп- т, 0. |
Уравнение (2а) используется для |
определения |
остальных С” |
при п £ М г. |
|
Аналогично определяются из решения уравнения для перио дической ФАР [5, 6] коэффициенты Cm высших типов волн (зату хающих). Если обозначить через 1т коэффициенты высших типов воли в периодической ФАР, то коэффициенты связи Спт высших
типов волн определяются |
выражением |
|
|
Я |
|
Спт= ~ |
j / т (Ф) е-Ь* Йф. |
(3) |
|
— Я |
|
Так же как и для С", для С£, можно написать систему линейных уравнений (при конечном М 2). Таким образом, полное решение уравнения для периодической ФАР [при условии, что все 1т (ф) и R (ф) известны] можно использовать для нахождения полного решения граничной задачи для апериодической решетки. Ниже
показано, что этот вывод справедлив |
и для М 2 = о о . |
Напомним, что, поскольку М 1 — о о |
(или для больших ] п |) |
и волноводы нагружены на свои характеристические сопротивле ния, асимптотическое поведение С™ и Сп0 в области | /г | оо должно быть одинаковым. В предыдущих главах указывалось, что для линейной решетки [6] коэффициенты Сп0 [а теперь также и С%(п £ М г)] убывают пропорционально 1/г3/2, где г — расстоя ние от возбуждаемого элемента; для плоской решетки [7] спад происходит пропорционально 1/г2, что вытекает из физических соображений и, кроме того, может быть показано с помощью
выражений |
(2). |
1.1.2. |
Случай бесконечно большого числа короткозамкнутых |
элементов. |
Рассмотрим случай, когда число короткозамкнутых |
342 |
Глава 8 |
волповодов |
М 2 бесконечно велико. Необходимо предположить, |
что расстояние до короткозамыкателя hn в решетке (рис. 8.1), по крайней мере при больших п, представляет собой периодиче скую функцию п. Для простоты мы будем счптать, что эта перио дичность сохраняется для всех волноводов (т. е. при всех п), хотя такое условие не обязательно.
Решение задачи в случае конечного М х и бесконечного М 2 нельзя непосредственно получить нз выражений (2), так как система линейных уравнений для С’1 становится бесконечной и трудно говорить о ее решении. Воспользуемся несколько отлич ным подходом, основанным па периодических свойствах коэф фициентов отражения решетки. Если уравнения (2) умножить на е7"!’, применить обратное преобразование Фурье для выраже ния (1)
со
2 |
C n . m i 0 ejt-n - m^ = R ( Ф ) |
( 4 ) |
|
|
п = |
— СО |
7 1 = — ОО |
|
|
|
п |
учесть, |
что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 + |
2 = |
5 |
|
(5) |
|
|
|
|
|
П £ М 1 |
п £ М 2 |
П = — с о |
|
|
(т. е. сумма чисел волноводов М г + |
М 2 равна полному бесконеч |
ному числу волноводов в решетке), |
то |
можно непосредственно |
из |
выражения |
(1) |
получить |
следующее |
выражение: |
|
2 |
СсРеЛ»*+ |
2 |
{ С»г Т [eVo,"n - R НО e-vo'on] j е;тФ = |
(6) |
m£Mi |
т£Мг |
|
|
|
|
|
Подобный результат был первоначально получен Ли для решеток из тонкостенных параллельных пластин. Однако из приведенного здесь вывода следует, что данный результат применим для волно вых элементов любого типа. Этот результат имеет еще большую общность, так как положение короткозамыкателя (или импеданса нагрузки) может быть произвольной функцией т (индекса волно вода). Наконец из найденного выражения можно получить реше
ние |
для случая |
М 2 = оо. |
|
|
|
|
В качестве примера рассмотрим решетку, в которой hm = h, |
т. е. hm — коистаита, |
не зависящая от индекса волновода. Тогда |
множитель |
[е^0'1— R |
(ф) е-ч°к\ также не зависит от т и его можно |
вынести за |
знак |
суммы в |
выражении (6) |
|
2 |
CoV""l,+ [eVo'i— R (ф) e-vo/i] х |
|
m£Mi |
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
( с + e - v o f t ) е 1 т ф = Л " й ( Ф ) . |
( 7 ) |
7П£М2
|
Решетки конечных размеров. Краевые эффекты |
343 |
Разделим это |
выражение |
на [evo'i — R (я|э) |
е-тоЛ]) уЫНОжим |
на |
e -jn\[> и |
проинтегрируем в |
пределах от яр = |
—я до яр = я. |
|
Из |
условия |
ортогональности |
|
|
Я
j еЦт-И)я1>dap == 2ябт „.
—я
Следовательно, можно исключить член, содержащий бесконечную
сумму У ’ 11 получить для п 6 М х. m£l\Iо
л |
„ |
Со |
V |
?(т-п)ф |
— |
У |
\ |
— т~~------------ |
2л |
2U |
0 |
J |
еТоЛ_Д(,|,)е-ТоЛ р |
mg M i |
- л |
1 |
|
_ _ АR1(я|з) e- in'|, |
|
|
|
|
= |
Г |
йяр |
(7а) |
|
|
О2л |
) |
еУо>'_R (яр) e_Vo'! |
и для п ^ М 2
1 |
"^1 |
pin |
Г |
,7 ( т - п ) ф |
|
"2iT |
—1 |
° |
J ~е^°11—R (яр) e~V°h |
|
m£Mi |
|
—я |
' |
,|
d^+ C o4 -e-w ft= |
|
|
1 |
г |
я to).-** |
d |
(76) |
А°° 2л |
J |
eV°h—R (яр) e~ ^h |
V |
Я
Уравнение (7а) можно решать как систему линейных уравне ний порядка М х относительно С™для п £ Мх. Для п £ М 2 можно затем решить уравнение (76), поскольку суммированпе в этом
уравнении проводится после того, как найдены С” |
(для п 6 Мг) |
пз уравнения (7а). |
уравнение |
(7) на |
множитель [ew'1— |
Очевидно, |
что |
делить |
— R (яр) е-тоЛ] |
можно только тогда, |
когда |
|
|
|
|
|
[evoft— R (ip) e-vo*] ф 0 |
|
|
(8) |
при любых значениях яр |
в области |
—я ^ я р ^ я . |
Одиако |
эта |
особенность является интегрируемой по яр и можно показать, |
что |
она определяет асимптотическое поведение |
и С” при больших |
| п | [3, 6, 7] |
(см. |
также |
разд. 2.2.3 |
данной |
главы). |
|
Приравняв левую часть выражения (8) нулю, получим реше ние характеристического уравнения для ребристой поверхности из волноводных элементов, короткозамкнутых на расстоянии h отраскрыва. Это соответствует (рис. 8.1.) фактически возбуждению поверхностной волны в периодической структуре с короткозамк нутыми элементами, т. е. полному отражению (аномальному) [8, 9]. Отметим, что R (яр0) = или | r (ф0) | = 1 (полное отражение) удовлетворяет выражению (8), если его правая часть равна нулю.
344 Глава S
Следовательно, если в фазированной решетке наблюдается полное отражение, так что R (ф0) = е^, короткозамыкатели можно поме стить на расстояниях h = j (ф + 2л1)/2у0 (где I — целое число) и найти решение типа поверхностной волны в однородной задаче о ребристой поверхности [8—10].
Если hm — произвольная периодическая функция т (не постоянная), то все еще можно вынести соответствующую функ
цию R (ф) за знак бесконечной |
суммы 2тем 2 и получить общее |
решение для случая М 2 = оо. |
Процесс вынесения Д(ф) за знак |
бесконечной суммы (в результате которого получается матрица порядка М г) в принципе прост, однако это не совсем обычная операция факторизации. Алгебраическая сложность ее возра стает с увеличением числа волноводных элементов.
Рассмотрим, например, |
случай, когда |
|
hm = h = const для четных значений т , |
(9) |
hm— с = const |
для нечетных значений тп. |
Это соответствует модулированной поверхности, рассматри вавшейся в работах [11, 12], где решетка представляет собой набор параллельных пластин. Пусть М 2 = М\ + М°г для т 6 если т — четное число и т £ М\, если т — нечетное. Кроме того, определим R' (ф) = i? (ф + л). Тогда выражение (6) можно напи сать дважды (для ф и для ф + л) и получить систему независимых линейных уравнений
тибМ® |
|
|
- | _ ( e w _ i ^? e (Со- v ,o4e-)ел»Ч>) |
— 2 C'oVm'1\ |
(10а) |
771ЁМЙ |
т£М{ |
|
= A°0R ' - 2 С ( - i)me ^ . (106) m£Mi
Из этих уравнений можно определить
Решетки конечных размеров. Краевые эффекты |
345 |
а затем найтп С™. При этом мы получаем уравнение для |
опре |
делителя |
|
= (еУо11— Ле-voft) (етос_ Д'е-voc) _|_ |
|
_{_(evoe — R e -V o c ) (eVoft— П'е-тоЛ), |
(ц^ |
которое идентично характеристическому уравнению для модули
рованной |
ребристой поверхности. |
Ниже показано, что если этот определитель при некоторых |
значениях |
обращается в нуль, то вдоль ребристой поверхности |
возбуждается поверхностная волна. Уравнение (11) фактически совпадает с уравнением, полученным в работах [11, 12], хотя в этих работах оно выводилось для решетки из тонкостенных параллельных пластин. В выражении (11) мы обобщили харак теристическое уравнение 3)2 = 0 на случай любой решетки независимо от ее геометрии. Функциональную зависимость R (ф) можно определить аналитически пли экспериментально.
1.1.3. Дисперсионное уравнение для обобщенной модулиро ванной поверхности и произвольных импедансов нагрузки. Используя метод индукции, можно (см. приложение 3) получить общее дисперсионное уравнение для произвольной периодически модулированной поверхности. Если положение короткозамыкате-
ля hm представляет собой асимптотически периодическую функцию (т. е. периодическую вдали от возбуждаемого элемента или эле ментов) по Р элементам, то так же, как и в разд. 1.1.2, найдем, что определитель соответствующей системы линейных Р уравне нии имеет вид
З'р = del {(етоЛт_ д пе-тоАтп) еЫ п- П(2я/р)}_ det {3)Рпт},
где п — номер строки элемента матрицы 33Р тп ; т — номер столбца элемента матрицы 33Ртп\ Р — порядок определителя, периодичность н число линейных уравнений; Rn — R [ф
+ (п — 1) (2я!Р)\. Если определитель приравнять нулю, то полу чим дисперсионное уравнение для периодической произвольно модулированной поверхности. Если
33Р= det { [ е Т о Л т — ( ф ) е - Т о Л т ] е г т ( п - 1 ) ( 2 я / Р ) } = Q
для некоторых действительных значений ф в области —я ^ ф ^ ^ я, то это означает, что вдоль модулированной поверхности рас пространяется поверхностная волна. Если короткозамыкатели заменить нагрузками с произвольными импедансами, характери зуемыми комплексными коэффициентами отражения Гт , отне сенными к расстоянию hm, обобщенное выражение для определи
