Файл: Амитей Н. Теория и анализ фазированных антенных решеток.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 10.04.2024

Просмотров: 282

Скачиваний: 2

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Плоские фазированные решетки из круглых волноводов

331

Скалярное произведение двух ТЕ-волн имеет вид

{'Elmni

= Smn, pq—

^imn • ^'ipq dlj —

 

 

 

CDEF

=

f f

'Eim-n •

sin adr)! dr)2 = F (m, n) • F* (pq) sin a x

 

CDEF

 

 

X

[ j

exp { j [ 2n {mb~ pl Tj!+ 2n {nd~ q) Ла] } ^1i Ch12. (П.18)

 

CDEF

 

 

Интеграл по параллелограмму CDEF в этом выражении можно разделить иа три (или большее число) интегралов по треуголь­

никам CGK и LEI и многоугольнику GDLIFK (см. рис. 7.2):

П - П + П + П -

(ПЛ9)

CDEF CGK L E I G D LIF K

 

Вследствие периодичности решетки треугольники DHL и LEI смещаются на величину Ъ вдоль оси % относительно треугольни­ ков GGK и KFJ соответственно. Следовательно, если, например, координата точек в треугольнике DHL по оси г|1 определяется как г|(, т. е.

 

 

 

r)j = %-|-b

при

dr)' = dT)i,

 

(П.20)

то

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

J j

exp

[

2п[т- &

п ;+

2Я(”~ -Ц 2] } * ]i* la =

 

 

D HL

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= exp[;2n(m — p)] j j

exp j ; [

2я

r]i+ 2П(^ ~ 9)-т1г] }^Л1 dv\z=

 

 

 

CGK

 

 

 

 

 

 

 

 

=

j

j exp {/ [

2n('”~ p) р! +

2л (re~ ^ p2] }

^ 1i ^ 2-

(П.21)

 

 

CGK

 

 

 

 

 

 

 

Аналогично

 

 

 

 

 

 

 

 

L E I

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

J j

exp {) [

 

 

 

+

 

ЛЛ1<й]а.

(П.22)

 

 

K F J

 

 

 

 

 

 

 

Таким образом,

 

 

 

 

 

 

 

j j

exp j

j [■ 2lt {mb~ pl

 

rp +

2 я {П~ ~ - i f e ] } d t]i dr\2=

 

 

CDEF

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

j

j exp { ;

[

2^

т .П ,11 +

2 ! Ц р ) р 2] }

d% ^ 2,

(П.23)

GHIJ

332

Глава 7

и ортонормированность и полнота системы {*Fpn!„} сохраняется для новой периодической ячейки GHIJ. Полученное выражение представляет собой двумерный аналог одномерного ряда Фурье, поэтому функции и коэффициенты не зависят от начальной вели­ чины периода. Действительно, двумерной периодической ячейке можно придать любую форму, содержащую один волновод, при условии, что площадь ячейки сохраняет свою величину, а части ячейки, определяющие ее деформацию, переносятся на целые кратные значения Ъ или d вдоль соответствующих осей % и i]2.

П Р И Л О Ж Е Н И Е 3

СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВОЛНОВЫХ ФУНКЦИЙ

Ниже выведены выражения для скалярного произведения вол­ новых функций в декартовой системе координат и волновых функций с обобщенной круговой симметрией [16].

Рассмотрим решетку из коаксиальных волноводов, распо­ ложенных в узлах косоугольной сетки (рис. П.2). В увеличенном

Рис. П.2. Решетка из коаксиальных волноводов, расположен­ ных в узлах косоугольной сетки,

а —общий вид решетки; б — отдельный элемент решетки в увеличенном виде.

виде элемент решетки показан на рис. П.2, б. В плоскости рас­ крыта имеются тонкие круглые диафрагмы.

Ортонормироваиные волновые функции в свободном простраи-

 

 

 

Плоские фазированные решетки ив круглых волноводов

333

стве

имеют вид

[2]

 

 

 

 

 

 

(П.24)

 

 

 

'Fшп = Y = r (X

-

у ^

) exp [-

/ (ах* +

щ у)]

и

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(П.25)

 

 

'¥ т п = -у = г ( 54

+ У -J-) exp [ -

j (ах* + ук„)],

где

S a =

bd sin а — площадь

периодической ячейки.

 

 

 

 

 

X,х ~

ф*

 

2 п т

 

 

 

 

 

 

 

Ъ

 

 

 

 

 

Х„

:

фу

' 2зтп

2пт

.

\

при

-

-

I

id sin а

^—ctgal

—оо<лп, 7i^-j-oo,

 

 

dsin а

 

 

 

 

 

 

 

а

 

и ^ /( d sin a) — управляющие фазы на единицу длины по

осям х жу. Полная ортонормированная система воли коаксиаль­ ного волновода [2] содержит волны двух типов: ТЕ и ТМ. Волно­

вые функции типа ТЕ

записываются в

виде

 

 

 

„

Г

sin дф

 

Г cos дф,

(П.26)

нФпгз = г y Zq ( М

|

_ сод ?ср + фPsZ' (Р«г) |

gin ^

а волновые

функции типа

ТМ в

виде

 

 

 

„

_

Г этдф

„ _

f — соэдф,

(п -27)

нФ2да= - r a sZ '(asr ) |

С 08#+ Ф 7 ^

м [

зтдф ,

где д, s = 0,

1, 2, . . .,

оо.

В этих выражениях Zq (|3sr) и zq (asr)

являются частными линейными комбинациями функций Бесселя и Неймана, которые удовлетворяют граничным условиям в коак­ сиальном волноводе [2]. Штрихи бзначают производные по аргу­ менту. Стоящие слева в индексе и показателе символы Н и V обозначают вырожденную «горизонтальную» или «вертикальную» волну с угловой вариацией радиальной составляющей поля cos дф или sin дф соответственно. После перехода к цилиндриче­

ским

координатам выражения (П.24)

и (П.25) принимают вид

'F1т п

1

[г sin (ф!— ф) — ф cos (ф1 —ф)] exp [ —;xr cos (ф— фт)]

 

V s Z

 

(П.28)

и

 

 

1

 

 

ЧГ*пп

[г cos (ф!— ф) + ф sin (ф! — ф)] exp [ — yxr cos (ф— Ф1)],

где

 

 

(П.29)

 

 

 

 

 

ф! = arctg

.

Типичное скалярное произведение (или коэффициент связи) волны в волноводе и гармоник в свободном пространстве для эле­ мента, показанного на фис. П.2, б, записывается следующим

334 Глава 7

образом:

Ь 2я

нС[%п = (нФ1Я» 'FJmn> = j j ^Ф^-Ч'-^.пгЛ-Лр.

(П.30)

а О

После подстановки выражений (П.26) и (П.28) в (П.30) и инте­ грирования по ф получаем интеграл вида

ь

/ = j [ $sTirZ'Q(Р,г) / ' (xrr) + - J Z q (Р,г) J q (xrr)] r dr, (П.31)

a

где J q (x) — функция Бесселя порядка q и аргумента х. Выраже­ ние (П.31) можно проинтегрировать в замкнутой форме [17]:

J _ j г

(Xrr) Zq (Psr) f)^KrJg (хгг) Zq (Psr)] ^ ^

Теперь можно написать скалярные произведения волновых функ­ ций обеих рассматриваемых областей в окончательном виде:

(яФы*, ЧГ1тп>=

(x r

P s / К*-* а

{Ь WsZq (Р.Ь) J ’ (ЯгЬ) -

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

KrZg (Ps^) Jq (ХГЬ)1 — (l [ps^g (Ps&) Jg (Xj-fl-) —

 

 

 

 

— XrZg (psa) Jq (хга)]}

cos gcpi

( V )

 

(П.ЗЗ)

 

 

sin дф!

( H )

’

 

2m (—;)9-1

 

 

 

(яФИ„ T 2mn> =

 

 

 

 

 

 

—

J ^ - [ Zq ( $ sb)Jq(Krb)-

 

 

 

 

 

Хг V ^ a

 

 

sin qipi

(F)

 

 

 

 

Zq (psa) Jq (xrtt)] |

 

(П.34)

 

 

- cos q(pi

( I I )

’

 

 

 

 

 

 

Vlm»> =

Xr

lZq (ajb) jq (xrb) -

 

 

 

 

 

к Ufl

 

 

cos^p,

(F)

 

 

 

 

Zq

Jq (кг&)]

 

(П.35)

 

 

- s i n ^ i

( I I ) ’

 

 

 

 

 

 

(H®2gsi Ч^2тп) ■ 2яа3 (—

{ &

[ a 3Zq (asb) J q (xTb) —

 

 

 

 

(*?-«;) V^a

 

 

 

 

 

 

%rZg (cigb'j Jq (Xj-fr)]

Q, [CC3Zq

Jq (x^fl) —

 

 

 

 

_

 

Г singcpi

(V)

 

(П.36)

 

 

- n r Z'g ( a sa ) J q (кгв)]}{

cosq(f>i

{ну

 

Для невырожденной волны типа ТЕМ (Ф2оо) интегралы вычис­ ляются отдельно:

(Фгоо) 'Егтп) —~\Z

2я

^ p - [ J o ( X r a ) — J o ( x r b ) ] ,

(П.37)

 

Sa 1П(r2/rj)

X;

 

 

(Ф2ОО1

Vimn) = 0

(П.38)

Плоские фазированные решетки из круглых волноводов

335

Радиальная зависимость волновых функций в волноводе [в выра­ жении (П.26)] имеет вид

/ Лбд

2 ^

___________ J q ( М N 'g (?>Sri) — N q (Par) / g(Ps'4)________

X {[J'i (Per*)/^ (pera)]a [1 — (ff/pera) I»] _ [1 — (e/p, r,)2]}i/a ’

где N g (x) — функция Неймана

порядка q и

f

1

<7= 0,

E(1- {

2

д ф 0.

Величины {Ps} представляют собой корни характеристического уравнения

Jq (Р.Г2) N'q (P,ri) - N ' q (Р,Г2) Jq (p.r,) =

0.

(П.40)

Аналогично

 

 

Jq ( a s r) N q ( a s ri) — N q ( a s r) J q (a sr4)

(П.41)

{Hg (a sri)/Jq (a sr2)]2 1}J/^

 

где {as} — корни уравнения

 

 

Zq (asr2) N q (as/i) — N q (asr2) J q ( a / J

= 0.

(П.42)

В случае круглых волноводов /у = 0 и приведенные выше функ­ ции упрощаются:

Zq($sr)=V ед/я

1 V(Ps<-2)2—g2

Jq ( М

(П.43)

Jq (PSr2) *

где

{Ps} — корни

уравнения

J'q (Psr2) =

0,

и

 

 

5 8

 

a / j ' Z l r t )

’

(П ‘4 4 )

где

{as} — корни

уравнения

J q (asr2) =

0.

 

 

Следует отметить, что если диафрагмы в апертурах отсутствуют (т. е. г± = а и г2 = Ъ), связь между ТМ-волнами в волноводе и ТЕ-волнами в свободном пространстве отсутствует. Из выраже­

ний (П.41) и (П.42) следует, что Zq (asa) = Zq (asb) = 0 и, сле­

довательно, (нФгдв! ’f'lnm) = 0 в выражении (П.35). Интегриро­ вание коэффициентов связи волн в замкнутой форме встречается также в задачах, касающихся антенн и неоднородностей в волно­ водах.

 

 

ЛИТЕРАТУРА

1.

B r i l l o u i n

L . Wave Propagation in Periodic Structures, Dover Publications,

2.

New York, 1953, p. 94—121.

M a r c u v i t z

N . (e d .). Waveguide Handbook, MIT Radiation Laboratory

Смотрите также файлы