Решетки конечных размеров. Краевые эффекты |
367 |
значительно меньшую крутизну, чем 1/г3/2, которая характеризует спад коэффициентов взаимной связи и полей в линейных решетках, дополненных пассивными элементами (рис. 8.7, б). Поэтому в об щем случае требуются конечные плоские экраны больших раз меров.
Интегральное уравнение Фредгольма первого рода для конеч ной решетки на бесконечном плоском экране (рис. 8.14) составляет ся следующим образом: тангенциальные поля в апертуре решетки (при z = 0) сначала записываются с помощью дискретных типов
Рис. 8.14. Решетка конечпых размеров из параллельных пла стин.
волн в волноводах, а затем в терминах непрерывных пространствен ных гармоник в свободном пространстве. Приравнивая эти два выражения на полной апертуре решетки
А = (J А-р = At (JАч, (J Аз (J ... U -4.lv> |
(21) |
p = i |
|
получаем интегральное уравнение, которое содержит также и гра
ничные условия (см. гл. 2).
Поскольку поперечное магнитное поле направлено по оси х и в этом направлении нет вариаций ни одной из компонент поля, можно описать всю структуру полей при помощи ТМ-волн (см. гл. 4). Если предположить, что волновод с индексом р возбуж дается основным типом волны этого волновода Фор (у), и если зада ны комплексный коэффициент ар и коэффициент отражения L)1
1) Термин «коэффициент отражения» в данном случае становится недо статочно определенным (возбуждается более чем один волновод). Наиболее часто этот термин определяется как отражение при возбуждении только одного элемента волной единичной амплитуды, когда другие элементы являются пас сивными (т. е. а р = 8 p q для определения R q ). Более подробно этот вопрос изложен в работе [34] и гл. 7.
Rp, тогда тангенциальное электрическое поле можно описать выра жением
N |
N |
со |
|
Еу(у) = У сср (1 + |
Я р) Фор (j/)+ S |
2 УпрФпр (у). |
(22) |
Р = 1 |
р = 1 |
7 1 = 1 |
|
Заметим, что в обозначениях модальных функций Фпр и модальных напряжений Vnp используются двойные индексы. Первый из них указывает тип волны, а второй — индекс волновода. Если решет ка состоит из одинаковых равноотстоящих волноводов, модальные функции имеют вид
У 2 — 60n/ a c o s (у — pb) |
для pb^y^pb - { -a, |
Фпр (у) — |
(23) |
Одля остальных значений.
Выражение (22) справедливо для полной апертуры А; в действи
тельности же оно |
справедливо |
во всей области — оо ^ |
У ^ |
оо, |
что вытекает из граничных условий. |
|
|
|
|
Тангенциальное |
магнитное |
поле описывается выражением |
(см. гл. 2 и 4) |
|
|
|
|
|
|
|
|
N |
|
|
N |
оо |
|
|
|
н х ( у ) - |
-2 |
О р ( 1 ' ■Др)Ф,о? ( у )-Ь 2 |
2 |
У прУпрФпр (у), |
(24) |
где |
Р = 1 |
|
|
р = 1 |
п = 0 |
|
|
|
|
|
Vе y n+ ;y EtgTftds |
|
|
|
|
|
Y |
|
|
(25) |
|
|
■*пр — 1 п Y*+]Yn tgy*dt |
’ |
|
a Y n и |
У® — соответственно |
модальные |
проводимости |
пустого |
волновода и волновода, заполненного диэлектриком с относитель ной диэлектрической проницаемостью е. Величина
где у* = Уе!А-(пп/а)\ |
(26) |
Коэффициенты Vnp можно выразить через напряженность поля в апертуре:
Упр — ^ Фпр (у) Еу (у) dy, п > 0 |
(27а) |
А |
|
И |
|
Уор = ар (1“ЬЯР) = J Фор ^у) Еу (у) dy. |
(276) |
А |
|
Поскольку по определению Фпр = 0 вне области Ар, интегриро вание в выражении (27) можно выполнить либо по Ар, либо по А =
N
Решетки конечных размеров. Краевые эффекты |
3 6 9 |
Для представления поля конечной решетки во внешней обла |
сти (г ^ 0) требуется непрерывный спектр собственных |
функ |
ций, так как решетка непериодическая. Практически же, даже если бы решетка была периодической, потребовалось бы использо вать представление в виде непрерывного спектра, так как функция возбуждения непериодическая. Такой подход к анализу аперио дической решетки рассмотрен в работе [5].
Для описания поля во внешней области можно использовать два метода. По одному из них спектр собственных функций пред ставляют в виде интеграла Фурье. Это может привести к соответ ствующей функции Грина для поля в апертуре на плоском экране [5], если поле во внешней области определяется с помощью поля в апертуре. Другой способ [24, 29] основан на использовании тео ремы Грина для описания поля непосредственно функцией Грина. В данном разделе использовано представление с помощью инте грала Фурье, так как оно по форме аналогично представлению в виде дискретной суммы, которое использовалось до сих пор для периодических структур и функций возбуждения. Показано, что если диэлектрики во внешней области отсутствуют, интеграл (непрерывное суммирование) можно выразить в замкнутой форме (обычная цилиндрическая функция Грина).
Выражение для тангенциального электрического поля в обласстп А , найденное с помощью интеграла Фурье, имеет вид
оооо
Е„{у) = 4 г i dk« J dy'e-ihv ^ E v {y% |
(28) |
где попользовано прямое и обратное преобразование Фурье для получения единичного оператора относительно Еу (у'), Такое пред ставление можно интерпретировать как сумму вкладов непрерыв ного множества гармоник, существующих во внешней области. Модальные функции определяются выражением
(29)
где ку — индекс непрерывного суммирования.
Электрическое поле во всей внешней области определяется выражением [13]
ОО |
оо |
|
Шу(у, 2) =--7^- j |
dky j dy' exp [ jky (у у')] X |
|
|
X exp (— ;']/ к2 — k2v z) Ey {y'). |
(30) |
Из уравнений Максвелла находим выражение для магнитного поля
МЛУ, * ) = — dkvS jrdy ' x J
|
exp [— jky (у — г/')] |
|
------— |
|
X ----- -- |
— |
г-.----- ехр( — J V k- — kyz) Еу (у ). |
|
У к*-к* |
|
|
|
В частности, при z = |
0 |
|
|
-Ik (у-у') |
|
Я , (у) = |
сое0 |
j dktJ j dif |
е |
|
Еу (у'). |
|
|
2я |
|
У |
|
|
|
У & = Ц |
|
|
|
|
Это выражение можно было бы записать в форме, аналогичной форме выражений, использовавшихся в данной книге для случаев дискретного спектра:
со |
оо |
|
|
&x(ff) = — j |
dky j dy'Yhv^ h,l (y)^hu{y')Ey{i/), |
(33) |
где |
|
|
|
|
5V |
СОЕр |
(34) |
|
V k * - k i |
|
|
|
являются модальными проводимостями для гармоник непрерыв ного спектра, определяемых выражением (29).
Если во внешней области нет диэлектрика, ядро в выражении (32) можно проинтегрировать в замкнутой форме.
Для нахождения же ядра интеграла (31) необходимо изменить порядок интегрирования. В гл. 2 при составлении интегрального уравнения мы изменяли порядок интегрирования и суммирования; при этом сумма образовывала ядро получаемого уравнения. В тех выводах сумму нельзя было представить в замкнутой форме, и поэтому изменение порядка операций на обратный было по су ществу символическим. В данном же случае суммирование (инте грирование) можно выполнить в замкнутой форме и изменение порядка операций становится важным. Однако иногда изменение порядка интегрирования не представляется возможным. Более полный математический анализ этого вопроса выходит за рамкп данной книги (читатель может познакомиться с ним в работе [33]). Некоторые «вычислительные» аспекты данной задачи рассмотре
ны в следующем разделе (разд. 2.2.2). |
что |
|
Таким образом, мы находим |
[32], |
|
Н<»(к\у-у'\) = ±- |
j dky |
е-зку(у-У) |
(35) |
УЖ -Щ |
