Файл: Амитей Н. Теория и анализ фазированных антенных решеток.pdf

Следует добавить, что выражения (68) и (69) имеют по существу ту же форму и при возбуждении полем с ортогональной поляриза­ цией (т. е. полем, поляризованным в плоскости Е или в плоскости yz). Проводимости гармоник непрерывного спектра при такой поля­ ризации пропорциональны обратным величинам уЕ и у [см. выра­ жения (25), (26) и (32) - (34)].

Зная выражения для полей Е у (х) и Н х (х) во внутренней обла­ сти (а < 0), можно найти тангенциальные составляющие электри­

Л

оо

Нх (х) = - 2YAR (х) + 2 Y nOn (х) j Ф 1 (*') Еу (х') dx'. (71)

71— 1

Из граничных условий для IIх (х) в апертуре находим интеграль­ ное уравнение для Еу (х):

Как уже говорилось, следует помнить о символическом порядке интегрирования в уравнениях (72) и (73), когда возникает вопрос о сходимости этих интегралов.

При выборе соответствующих ветвей функций у контур инте­ грирования в интегралах (63) и (73) может проходить вдоль дей­ ствительной осп (рис. 8.44). Отметим, что форма подынтегрального выражения в уравнении (73) такая, что точки ветвления находятся

в нулях функции у (кх = ± к), а в нулях уе (кх = ]/"е к) точки ветвления отсутствуют, поскольку подынтегральное выражение является четной функцией уе.

При оценке выражения (73) необходимо учитывать особенности подынтегрального выражения (при кх = кхр, рис. 8.44). Отметим,

26*

404 Глава S

совпадают с нулями характеристического уравнения для диэлек­ трической пластины на плоском экране [45]. Из существования нулей следует, что при такой поляризации в пластине могут возбуж­ даться поверхностные волны. Вычеты в этих полюсах более под­ робно рассмотрены ниже.

Часть ядра уравнения (73), относящуюся к внешней области, можно записать так, чтобы ее сингулярная часть была вынесена за знак интеграла. Эта операция аналогична операции, которая выполнялась в гл. 5 для выделения квазпстатической части поля. Аналогичную операцию можно осуществить для дискретной части

Рис. 8.44. Контур интегрирования. Рис. 8.45. Контур интегрирования С для поля в дальней зоне.

ядра уравнения (72), а также для обеих частей ядра при поляриза­ ции в плоскости Е. В данном случае при к%> к\ как у, так и уе

становятся чпсто мнимыми и подынтегральное выражение G (х , х') принимает вид

в котором сингулярная часть отделена регулярной от части быстро сходящегося оставшегося интеграла.

В интегралах уравнений (63), (73) и (77) при изменении | кх \ 2 от 0 до оо в различных областях значений | кх | в спектре поля

вапертуре появляются различные типы волн. Значения | кх | 2 ^

^к2 соответствуют части спектра, связанной с распространением

волн в воздухе и диэлектрике. При к2 ^ к%^ гк2 возбуждаются волны, захваченные в диэлектрике, т. е. волны, распространяющие­ ся в диэлектрике и затухающие в воздухе. Остальные волны, соот­ ветствующие области значений | кх | 2 ^ гк2, затухают и в возду­ хе, и в диэлектрике. Как можно видеть из выражения (77), в ну­ лях функции уе теперь находятся точки ветвления подынтеграль­ ного выражения. Линии разрезов на рис. 8.44 соединяют точку

— к с точкой — У е к и точку + к с точкой 4- У гк. Тот же контур интегрирования и линии разреза можно использовать и при

квазистатического преобразования для бесконечной решетки, в том, чтобы придать ядру форму, удобную для численной оценки, при которой бесконечную область интегрирования в уравнении (73) требуется свести к конечной. Однако интеграл в выражении (77) сходится гораздо быстрее, чем в уравнении (73), если пределы рас­ ширяются до ± оо. Следовательно, после сведения уравнения (73) к уравнению (77) можно с достаточно хорошим приближением перейти от сингулярного интеграла к интегралу с конечными пре­ делами, благодаря чему значительно упрощаются вычисления.

После того как из уравнения (72) найдено поле Еу (х) в аперту­ ре, из выражения (70) можно определить коэффициент отраже­ ния R. Поля для всех значений z ^ O находятся из выражений (65). Особый интерес представляет оценка выражений (65) в дальней

Это преобразование отображает комплексную плоскость кх в по­ лосу — л ^ Re » ^ п комплексной плоскости w (рис. 8.45). Вводя преобразования (78) в выражения (65), получаем

Еу (р, 0) = к j dw cos u;e-JftP°0S <№_0)ег/ (к sin w) x

где ey определяется выражением (64). Контур интегрирования С показан на рис. 8.45. Координаты (х , z) связаны с (р, 0) соотноше­

где p и 0 изменяются по отношению к точке (0, d) = (х , z).

Для использования метода перевала контур интегрирования С надо преобразовать в контур быстрейшего спуска. Если в процес­ се преобразования контура некоторые полюсы подынтегрального выражения пересекаются контуром, то исходный интеграл будет равен интегралу по контуру быстрейшего спуска плюс вычеты в таких полюсах, вычисленные по теореме Коши. Характерные для данной задачи полюсы, соответствующие поверхностным и вы­ текающим волнам, исследованы достаточно хорошо [43, 44]. В частности, тщательно изучено влияние так называемых вытекаю­ щих волн (комплексные полюсы) на диаграммы направленности линейных источников. Интеграл вдоль контура быстрейшего спу­ ска можно оценить с помощью основного вклада в седловых точ­ ках, определяемых выражением

d

-^j-COS(w— 0S) = O или ш = 05.

Процедура применения метода перевала близка к обычной [45]. Окончательные результаты имеют вид

_________________________~]/е— sin2 0_______________________

У е—sin2 0 cos kd Д/s— sin20 + / cosOsinkd У е— sin20 cosOiS,, (fcsinO) (81)

Вычеты в полюсах wp определяются выражением

V е—sin^10T

X

— sin2 wcos kd Y e — sin2u;-|-7 cos ш-sin kd Y e — sin2 w) |ш=шр

(82)