Решетки конечных размеров. |
Краевые эффекты, |
413 |
И |
|
со |
|
|
|
|
2 |
+ 2 |
V • |
|
?n£Mi |
ti£M2 |
— со |
|
Затем напишем уравнение |
для коэффициентов С" (/г £ Л^) |
[эти |
коэффициенты можно было бы ввести раньше и тогда они опреде
лялись бы сразу после вычисления |
коэффициентов Cjf (п £ М п) |
и С? (п 6 М 2)]: |
|
|
|
|
|
|
|
С" = ^ С „ л + |
2 ' |
( C { e - v"',m) c n-m,i + |
|
|
|
7п£Мг |
+ 2; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n ^ M i. |
(П.4) |
|
|
m£M |
|
|
|
|
|
После умножения выражений (П.1) — (П.4) на е^т'>и |
сложения |
уравнений (П.1) и (П.2), |
т. е. объединения всех п £ М х и п б ilf2, |
получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 CJJV™!)+ |
2 |
|
evoftmj |
= |
|
(ф) + Л (ф) 2 |
х |
m £M i |
т £ М г |
|
|
|
|
т £ М г |
|
х ( C«l T e-V°"m) |
+ |
|
2 |
( СГ -g-e-'w'1™) |
|
(П.5) |
|
|
|
|
7п£Мг |
|
|
Аналогичное |
объединение уравнений |
(П.З) и (П.4) |
дает |
2 |
2 |
( С™у eTiftm ^ elmip _ |
|
|
|
|
?ȣMi |
т»£М2 |
|
|
|
|
|
|
|
= п » /1(ф)-1-/1(ф) 2 |
(c 0mY e_V0'lm) e ^ + i A ^ ) |
2 |
х |
|
|
m£M 2 |
|
|
m£M2 |
|
|
|
|
X (C f -ie-vihmj е>™4>. |
(П.6) |
Уравнения (П.5) и (П.6) образуют пару уравнений, эквива лентную уравнению (6) [при выводе уравнения (6) высшие гармо ники не принимались в расчет]. Для решения уравнений (П.5) и (П.6) можно использовать те же методы, что и для решения урав нений, в которых не учитывались высшие гармоники в коротко замкнутых волноводах. (Отметим, что в приведенных выше уравне ниях h = hm в общем случае является функцией т .)
Пусть hm = h = const. Тогда уравнения (П.5) и (П.6) можно
написать в виде |
|
(evoh— Re-voh) ( 2 |
еМ'1’) — (if oe~vlh) x |
тп£М2 |
|
x ( 2 C ? ± - e ^ ) = A ° 0R - 2
шЕМг m£Mi
414 |
|
Глава |
S |
|
И |
|
|
|
|
— (Ле-voft) ( 2 <Т -у е;'т ф |
) + |
(eV1" — J i e - yih) X |
|
T7l£M2 |
|
|
|
|
X |
( |
2 C |
“ 4 - e W ) |
2 c ; v ' ,m1’ - |
|
7П£М2 |
|
m£Mi |
Следовательно, новое дисперсионное уравнение, которое упитывает первую затухающую гармонику в короткозамкнутом волноводе, имеет вид
[<?voh_ R (-ф) e-vo/i] [evih — 1I l (ф) e-vift]—[1/ 0 (ф) e~vi>‘] [/, (ф) e-voh] = 0.
П Р И Л О Ж Е Н II Е 2
ОБОБЩЕНИЕ НА СЛУЧАЙ ПЛОСКИХ РЕШЕТОК
Легко показать, что проведенный выше анализ апериодических решеток и дисперсионных уравнений в равной степени применим п к плоским решеткам. Так, например, оказывается, что характери стический определитель [выражение (11)] для модулирован ной структуры, в которой короткозамыкатели расположены на двух расстояниях h и с от плоскости раскрывов, является также характеристическим определителем плоской решетки из волново дов с двумя положениями короткозамыкателей, т. е. в (т + тг)-ом элементе короткозамыкатель расположен на расстоянии h от рас крытия, если величина (т -f- п) четная, и на расстоянии с, если величина (т + п) нечетная. Плоскость решетки совпадает с пло
скостью ху. Числа т = ± |
1, |
± 2, |
. . . отсчитываются в направле |
нии х, а п = ± 1, ± 2, |
. . . |
— в |
направлении у. Коэффициент |
отражения R (ф^., фу) плоской фазированной решетки представля ет собой некоторую функцию направляющих косинусов, пропор циональную фж и фу [4, 5]. В данном случае R' = R (фж+ л, ф^ + л). Аналогично можно получить обобщения на другие вариан ты периодического изменения глубины расположения короткоза мыкателей (см. приложение 3).
П Р И Л О Ж Е Н И Е . З
ОБЩИЙ СЛУЧАЙ ПЕРИОДИЧЕСКИ МОДУЛИРОВАННЫХ СТРУКТУР
Известен систематический метод определения дисперсионного уравнения модулированной структуры в тех случаях, когда рас стояние от плоскости раскрыва до короткозамыкателя h представ ляет собой периодическую функцию от индекса (местоположения) элемента. Такой подход вытекает из формы определителя £$2
Решетки конечных размеров. Краевые эффекты |
415 |
в выражении (11). В качестве примера рассмотрим процесс «фак торизации» при периодическом изменении hm по трем элементам.
Пусть положение короткозамыкателя изменяется периодически в соответствии со следующим законом:
hm = h |
для |
m = l± 3 |
? i, |
п = О, 1, |
2, ... , |
/г,„ = с |
для |
т — 2 ± |
3п |
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
hm= d |
для |
7?г = |
3 + |
37г. |
|
|
Разделим элементы М %так, |
чтобы М 2 |
== М$ + |
М\ + М*. Если |
т = 1 ± 3 п, то т в М% и т. д. Поскольку период содержит три элемента, то, извлекая кубический корень из единицы, определяем три значения ф:
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
4 |
|
|
ф1 = ф> Ф2=Ф + -д-Я И Ф з = Ф + - з - Я . |
Отсюда, используя определения |
|
|
|
|
|
|
|
|
Д = Д(ф), 7?' = л ( ф + ^ - л ) |
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R" = R ( ф + 4 я ) |
• |
|
|
можно вывести из уравнения (7) три уравнения: |
(еуФ-П"е-УоН)еШЗ)п |
^ |
|
( с ™ |
+ |
|
|
|
|
|
|
_1( e w |
_ |
/ ? " e - v o c ) еД2/з)л ^ |
( С™4 ) е;'тф+ |
_ u |
( e v o d _ R''e-vod) |
^ |
( cT~y ) e i m ’t, = |
^ 7 |
? " |
— |
2 С ™ е ’ т ф е ’ т ( 4 / 3 ) я , |
|
|
|
m £ M d |
|
|
|
|
|
|
m e M j |
( g v o h _ |
|
Re-voh) 2 |
( C ™ 4 |
) |
е-, т ф + |
( e v o c _ |
Д |
е - w |
) |
x |
|
x |
2 ( c ™ 4 ) |
е л ,1 ф + |
( e v o d _ |
Д е - v o d ) |
^ |
|
( C 0m - i - ) е ’ т ф = |
|
|
|
|
|
т е м ® |
|
|
|
|
|
m £ M d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= A\R - 2 |
416 |
Глава |
S |
|
И |
|
|
|
(evoh_it'e-vo'i)ei(2/3)n |
^ ( С™-у) |
е^'!,|,+ |
|
|
m£Ml} |
|
|
+ (eyoc —R'e-voc)ei(4/3)n |
^ ( с Г -у ) |
eimil,+ |
_|_(evod _ ^'e-vo<i) ^ |
(C"1i ) eim,l,= |
|
|
= Л“Д' — |
2 C"Vm'l’e^‘(2/3)rt. |
|
|
|
mgMi |
Соответствующая «факторизованная функция» от R, R' и R" определяется путем решения этих уравнений. В результате реше ния величины R, R' и R" исключаются из суммирования по М 2, что позволяет получить общее решение для апериодической вол новодной решетки, в которой короткозамыкатели размещены периодически. Если определитель приведенной выше системы уравнений приравнять нулю, то получим дисперсионное уравнение для периодически модулированной структуры. Возможность обоб щения на случай произвольного периодического закона очевидна и приводит методом индукции к обобщенному определителю
3)р = det {(eVohm —Дпе-Т0»т) eim{n-\){2nlP)^
где п — номер строки, т — номер столбца, Р — порядок опреде лителя и
л п = / г [ ф + ( « - 1 ) ^ ] .
|
|
|
|
|
ЛИТЕРАТУРА |
|
|
1. |
G a l i n d o |
V . A Generalized Approach to a |
Solution of Aperiodic |
Arrays |
|
and Modulated Surfaces. «IEEE Trans. Antennas and Propagation», 1968, |
2. |
v. AP-16, No. 4, p. 424—429. |
|
|
L o |
Y . |
T . Random Periodic Arrays, «Radio Science», 1968, v. 3, No. 5. |
3. |
L e e |
S . |
W . |
Radiation |
from an Infinite Aperiodic Array of Parallel-Plate |
|
Waveguides, «IEEE |
Trans. Antennas and |
Propagation», 1967, |
AP-15, |
4. |
p. 598-606. |
Properties of a Phased Array of Rectangular Wave |
W u |
С. |
P . , |
G a l i n d o V . |
|
guides with Thin Walls, «IEEE Trans. Antennas and Propagation», 1966, |
5. |
v. AP-14, p. 163—173. |
A Variational Expression for the Dominant Mode |
G a l i n d o |
V . , |
W a С . P . |
|
Coupling Coefficients Eetween the Elements in an Infinite Array, «IEEE |
6. |
Trans. Antennas and Propagation», 1966, v. AP-14, p. 637—639. |
|
G a l i n d o V . , |
W u С . P . |
Asymptotic Behaviour of the Coupling Coefficients |
|
for an Infinite Array of Thin-Walled Rectangular Waveguides, «IEEE |
7. |
Trans. Antennas and Propagation», 1966, v. AP-14, p. 248—249. |
|
G a l i n d o |
V . , |
W u С . P . |
On the Asymptotic Decay of Coupling for Infinite |
|
|
|
Решетки конечных размеров. Краевые эффекты |
|
|
417 |
|
Phased |
Arrays, |
«Ргос. IEEE», 1968, v. 56, No. 11, p. 1872—1881; имеется |
|
русский перевод: ТИИЭР, 1968, № 11, стр. 129. |
|
|
Phased |
'8. W u С . |
Р . , |
G a l i n d o V . Surface Wave Effects of Dielectric Sheathed |
|
Arrays |
of |
Rectangular |
Waveguides, |
«Bell |
System |
Tech. |
J.», |
January |
9. |
1968, v. 47, p. 117—142. |
|
|
|
|
|
|
|
W u С . |
P . , |
G a l i n d o V . Surface Wave Effects on Phased Arrays of Rectangu |
|
lar Waveguides Loaded with Dielectric Plugs, «IEEE Trans. Antennas and |
10. |
Propagation», 1968, v. AP-16, p. 358—360. |
|
|
New York, |
C o l l i n |
R . E . , Field Theory of Guided |
Waves, McGraw-Hill, |
11. |
1960, p. 465—469. |
Radiation from Some Periodic Structures Excited |
I i a r j a l a D . |
S . , M i t t r a R . , |
12. |
by a Waveguide, «Electronics Letters», |
June 1965, v. 1, p. I l l —112. |
I l e s s e l |
A . , |
H o c h s t a d t I I . , |
Plane Wave |
Scattering from a Modulated-Corru- |
|
gated Structure, Proc. International Sci. Radio Union, Palo Alto, Calif., |
|
1966; see also |
T s e n g D . |
Y . |
Guiding |
and |
Scattering |
of Electromagnetic |
|
Fields by Corrugated Structures, Polytechnic Institute of Brooklyn, Sci. |
13. |
Rept. PIBMRI-1371-67. |
|
|
|
|
|
York, |
1941, |
S t r a t t o n J . |
A . |
Electromagnetic Theory, McGraw-Hill, New |
14. |
p. 361-364. |
С. P . The |
Relation Between the Far-Zone Pattern |
of the |
G a l i n d o V . , |
W u |
|
Singly Excited Element and the Transmission Coefficient of the Principal |
|
Lobe in an Infinite Array, «IEEE Trans. Antennas and Propagation», 1966, |
v. AP-14, p. 397—398.
15.A m i t a y N . Improvement of Planar Array Match by Compensation Through
Contiguous Element Coupling, «IEEE Trans. Antennas and Propagation», 1966, v. AP-14, p. 580—586.
16. |
A m i t a y |
N . , |
B u t z i e n |
P . |
E . , I l e i d t |
R . C. Match Optimization of a Two Port |
|
Phased Array Antenna Element, «IEEE Trans. Antennas and Propagation», |
|
1968, v. AP-16, p. 47—57. |
|
|
|
|
17a. D u f o r t |
E . |
C. Exact |
Scattering from an Infinite Array of Thick, Non-uni- |
|
formly Corrugated Plates, Proc. IEEE International Antennas and Propa |
|
gation Symposium, Palo Alto, Calif., 1966, p. 380—384. |
|
|
176. D u f o r t |
E . C . Design of Corrugated Plates for Phased Array Matching, «IEEE |
|
Trans. Antennas and Propagation», 1968, v. AP-16, p. 37—46. |
Array |
17b. D u f o r t |
E . |
C . A Scattering Matrix Method for Solving Waveguide |
|
Impedance |
Problems, |
«Radio |
Science», 1968, v. 3, (New |
Series), |
No. 5, |
18. |
p . 475-485. |
|
Multimode Phased Array Element for Wide Scan |
T a n g R . , |
W o n g N . |
S . |
|
Angle Impedance Matching. «Proc. IEEE», 1968, v. 56, No. 11, p. 1951— |
|
1959' имеется русский перевод: ТИИЭР, 1968, N« 11, стр. 216. |
|
19. |
M a g i l l |
Е . |
G . , W h e e l e r |
H . A . , |
Wide Angle Impedance Matching of a Planar |
|
Array Antenna by a Dielectric Sheet, «IEEE Trans. Antennas and Propaga |
|
tion», 1966, AP-14, |
p. 49—53. |
Mutual Coupling Effects of Triangular- |
20. F a r r e l l |
G. |
F . , J r . , |
K u h n D . |
I I . |
|
Grid Arrays by Modal Analysis, «IEEE Trans. Antennas and Propagation», |
21. |
1969, v. AP-14, No. 5, p. 652—654. |
|
Loaded |
A m i t a y |
N . , G a l i n d o |
V . Characteristics of Dielectric Covered and |
|
Circular Waveguide Phased Arrays, «IEEE Trans. Antennas and Propaga |
22. |
tion», 1969, v. AP-17, No. 6. |
|
|
|
|
L o Y . |
T . |
Non-uniform Linear Array System for the Radio-Telescope at |
|
the University of Illinois, «IRE Trans. Antennas and Propagation», 1961, |
|
v. AP-9, p. 9—16; |
also L o |
Y . |
T . A Spacing Weighted |
Antenna |
Array, |
23. |
IRE International Convention Record, Part 1, 1962, p. 191. |
|
L o Y . |
T . , |
A Mathematical Theory of Antenna Arrays with Randomly Spa |
|
ced Elements, «IEEE Trans. Antennas and Propagation», 1963, v. AP-12, |
24. |
No. 3, p. 257—268. |
|
Solutions for the Coupling Between Waveguides in |
W u С. |
P . |
Numerical |
