ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 10.04.2024
Просмотров: 128
Скачиваний: 0
152 ГЛАВА 8
Одни лишь эти требования ограничивают выбор мет рики (которая дает четырехмерное расстояние между соседними точками пространства-времени) выражениями вида
ds2 = с2 df - ( 1 + ^ ) 4 ) 2 І ^ 2 |
+ ' 2 (dB2 + sin2 |
Ѳ dtf)], |
как показали Робертсон и Уолкер, которые |
следовали |
|
работе Милна . Оно отличается |
от выражения |
метрики в |
специальной теории относительности для пространства-
времени Минковского |
только неопределенным |
масштаб |
||||||||||||
ным фактором R(t) и постоянной k. Из общих |
соображе |
|||||||||||||
ний |
ясно, что масштабный фактор |
R(t) |
имеет |
такой ж е |
||||||||||
смысл, как и в ньютоновской |
теории. |
Чтобы |
показать |
|||||||||||
это, |
рассмотрим |
Вселенную в |
некоторый |
момент |
вре |
|||||||||
мени tQ. Тогда имеем dt |
= 0, и |
метрика для 3-мерного |
||||||||||||
пространства |
в момент |
времени to будет |
|
|
|
|
|
|||||||
|
d s 2 = |
- |
( i + l r w |
[ |
d r 2 + r 2 { |
а Ѳ 2 |
+ |
s i n 2 |
Ѳ |
rf(p2)]- |
|
|
|
|
В более поздний момент времени |
U мы имели |
бы то ж е |
||||||||||||
выражение для метрики, но к а ж д ы й |
интервал ds |
был бы |
||||||||||||
помножен |
на R(ti)/R(to). |
Если |
этот |
множитель |
больше |
|||||||||
единицы, то интервалы |
|
возрастают |
со временем |
и |
Все |
|||||||||
ленная расширяется. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Однако |
смысл |
величины k |
здесь совершенно |
иной, |
|||||||||
чем в ньютоновской теории. Понятие потенциальной |
гра |
|||||||||||||
витационной |
энергии в |
общей |
теории |
относительности |
||||||||||
расплывчато, |
и лучше |
понимать k как величину, |
харак |
теризующую кривизну 3-мерного пространства в любой момент времени to-
При к = 0 трехмерное пространство эвклидово; в частности, площадь поверхности сферы радиуса г равна 4лг2 .
При k > 0 геометрия |
пространства сферическая. Это |
||
3-мерный аналог |
геометрии на поверхности |
сферы. На |
|
такой поверхности |
круг |
есть геометрическое |
место точек, |
красного смещения далеких галактик. Интересно, что вывод о неста ционарности Вселенной, сделанный Фридманом, был настолько не обычным, что некоторым (в частности, А. Эйнштейну) его работа показалась сначала ошибочной. — Прим. перев,
М О Д Е Л И |
ВСЕЛЕННОЙ |
153 |
расстояния которых до некоторой данной |
точки постоян |
|
ны, расстояния измеряются по большим |
кругам |
сферы |
(рис. 60). Д л и н а окружности такого круга составляет |
в единицах радиуса меньше 2я. Разница невелика, пока радиус мал * ) , но она становится значительной для боль-
ших |
радиусов. Д л я |
радиуса, равного четверти |
пути |
во* |
круг |
сферы, длина |
окружности максимальна . |
Если |
ра |
диус становится больше этого значения, то длина окруж ности снова уменьшается, и при радиусе, равном поло-
Рис. 60. Длина окруж ности на сфере меньше, чем ее радиус, умножен ный на 2я (радиус из меряется по дуге боль шого круга). Соответ ствующая геометрия ока зывается неэвклидовой и обладает положитель ной кривизной.
вине пути вокруг сферы, она равна нулю |
(рис. 60). |
Ана« |
логично в трехмерном сферическом пространстве |
пло |
|
щ а д ь сферической поверхности радиуса |
г меньше |
4 я г 2 |
и с ростом радиуса сначала увеличивается, достигает
своего максимального |
значения, а затем |
вновь |
падает |
||
до нуля. Объем пространства конечен |
и равен я 2 / ? 3 , по |
||||
этому с ростом |
R он т а к ж е возрастает. |
|
|
|
|
При k < 0 |
геометрия пространства |
гиперболическая. |
|||
П л о щ а д ь поверхности |
сферы радиуса |
г |
больше |
4яг2 « |
Объем пространства бесконечен, за исключением особых случаев, которых мы касаться не будем.
Полученные нами до сих пор результаты были чисто кинематическими. Они не накладывают никаких ограни-
*) Мал по. сравнению с радиусом сферы, — Прим., |
первв. |
164 |
ГЛАВА 8 |
|
|
|
|
чений |
на |
R как |
функцию времени и не устанавливают |
||
никакой |
связи |
между R(t) |
и /е. |
Чтобы продвинуться |
|
дальше, мы д о л ж н ы использовать |
релятивистский аналог |
||||
закона тяготения |
Н ь ю т о н а — у р а в н е н и я поля Эйнштейна. |
||||
Некогда, |
до того |
как было |
открыто расширение Вселен |
ной, Эйнштейн предложил модификацию своих уравне ний поля, которая допускала бы возможность статиче ской Вселенной (R = const). Добавочный член в модифи цированных уравнениях содержит неопределенную по стоянную (космологическую постоянную). При надлежа щем выборе знака действие этой постоянной было бы противоположно действию самогравитации, и поэтому было бы допустимо статическое решение. Значение по стоянной, которая требуется для достижения такого со стояния, было мало, и ее введение в уравнения поля не нарушило бы согласия между общей теорией относитель ности и наблюдениями в пределах Солнечной системы. Это пример того, что локальные законы можно видо
изменить |
таким |
образом, |
чтобы |
не нарушилось |
согласив |
с наблюдениями, |
однако |
эти изменения могут иметь ре |
|||
ш а ю щ е е |
значение в космологических масштабах . В соот |
||||
ветствии |
с принятым в |
этой |
книге принципом |
мы не |
будем вводить в уравнения поля космологическую по стоянную * ) .
Принимая во внимание тот факт, что в теории отно сительности давление действует как источник гравита ции, мы теперь д о л ж н ы соблюдать осторожность, вводя давление в облако газа, которое имитирует вещество Вселенной. Это давление может быть введено, чтобы учесть вклад пекулярного движения галактик, межга лактического газа (который может быть горячим), из
лучения, а т а к ж е межгалактических |
магнитных |
полей |
и космических лучей. М о ж н о почти |
с полной |
уверен |
ностью утверждать, что в современную эпоху все эти
источники гравитации |
несущественны по сравнению |
с плотностью энергии |
вещества в галактиках . Однако |
*) Однако недавно одна из возможных моделей Вселенной, со держащая космологическую постоянную — модель Леметра, — при влекла заметное внимание в связи с загадочным красным смеще нием 1,95 линии поглощения в спектрах квазаров (стр. 112),
М О Д Е Л И В С Е Л Е Н Н О Й 155
мы на некоторое время включим давление р как неиз вестный параметр . Уравнение Эйнштейна приводит те перь к следующим соотношениям:
/ г 2 = | я С р / ? 8 - А , |
(Ю) |
Первое уравнение похоже на ньютоновское |
уравне |
ние (7) и было бы идентично ему, если бы можно было написать, как и раньше,
р ( о = р ( д а з -
Однако нужно помнить, что если давление совершает работу при расширении, то эта работа будет изменять плотность энергии и, согласно общей теории относитель ности, будет изменяться плотность р. Д а л е е мы для про стоты будем считать, что р = 0. Умножив (11) на R2R, получим
2RRR +R3 = - kR,
ипосле интегрирования
=- kR + const.
Сравнивая с (10), находим, что
pR2 = const//?,
так что р ос ]/R3, что и требовалось. Таким образом, при отсутствии давления основное уравнение для масштаб ного фактора R будет иметь вид
R2 = |
C[R-k, |
где
С = у nGpRz = const.
Следовательно, несмотря на все различия между об щей теорией относительности и теорией Ньютона, мас штабный фактор R{t) удовлетворяет в обеих теориях одному и тому ж е уравнению, коль скоро можно пре небречь давлением. Это теорема Милна — Мак - Кри .
156ГЛАВА 3
Соответственно классификация моделей и поведения R в
зависимости от времени в обеих теориях одна и та ж е , и нет теперь необходимости рассматривать эти вопросы заново. Поскольку теперь газовое облако заполняет всю Вселенную во все времена, лучше говорить не о грави
тационно связанном и гравитационно несвязанном |
обла |
||||
ках |
при /г > |
0 и k |
< 0, а о сферическом и |
гиперболиче |
|
ском |
мирах, |
или |
закрытом и открытом |
мирах, |
или |
о пульсирующем и монотонно расширяющемся мирах со ответственно.
Здесь будет уместно упомянуть две модели с ненуле вым давлением. Одна из них касается важного физиче ского случая, когда излучение как источник гравитации
доминирует над веществом. Т а к а я |
ситуация |
могла иметь |
|||||||||||
место на ранних этапах существования |
нашей |
Вселен |
|||||||||||
ной |
(гл. 12). Давлением |
нельзя |
больше |
пренебрегать, |
|||||||||
и действует соотношение р/с2 |
= |
р/3. Выразим отсюда |
р, |
||||||||||
подставим |
в (10) и, складывая |
получившееся |
выраже |
||||||||||
ние с ( И ) , |
получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
R ^ |
R2 |
^ |
R2 |
|
и- |
|
|
|
|
К а к |
и |
раньше, |
можно |
пренебречь |
k для |
достаточно |
ма |
||||||
лых |
R, |
и тогда |
после |
интегрирования имеем |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
R |
ос |
t'h |
|
|
|
|
|
|
(при малых t). Это соответствует более быстрому рас ширению, чем при отсутствии давления, когда имеется только вещество (R ос і \ t м а л о ) , так как давление из лучения создает собственное гравитационное поле, и по этому усиливается действие гравитации. Увеличение ско рости расширения станет очевидным, если мы обратим картину во времени и вычислим скорость сжатия .
Вторая модель с ненулевым давлением характери зуется соотношением р/с2 — — р, т. е. содержит скорее натяжение, чем давление. Соответствующий этому гра витационный эффект теперь будет заключаться в оттал кивании, и мы получим модель, в которой расширение ускоряется, а не замедляется . Чтобы получить желае мую модель, нам остается положить k = 0. Исключая р
М О Д Е Л И ВСЕЛЕННОЙ 157
из (10) и ( П ) , получим
Следовательно, In R = |
{tlx) |
+ |
b {х и |
b —• const), |
|
|
|
|
R ce |
e'/*. |
|
|
|
Эта модель |
отличается |
от предыдущих тем, |
что R{t) |
|||
не обращается |
в нуль |
за |
конечный |
промежуток |
времени |
t
Рис. 61. Поведение масштабного фактора в модели де Ситтера (стационарная Вселенная).
в прошлом (рис. 61). Ее называют моделью де Ситтера (не путать с моделью Эйнштейна —де Ситтера, в кото
рой |
R |
ос f!\ |
k = 0). Экспоненциальная кривая |
подобна |
самой |
себе, |
т. е. никакими измерениями, произведенные |
||
ми |
на |
самой кривой, нельзя определить положение точ |
||
ки |
на |
ней. Такая кривая не имеет естественного |
начала |
отсчета. Вот почему метрика де Ситтера составляет ос* нову теории стационарной Вселенной Бонди, Голда и Хойла. В этой теории Вселенная не эволюционирует из плотного состояния в разреженное, поскольку уравнение
158ГЛАВА 8
(10)при k — 0 дает
— nGpx2 = 1.
Хотя это то ж е самое соотношение, что и в модели Эйнштейна — де Ситтера, имеется существенное разли чие, поскольку здесь т, а поэтому и р не зависят от вре
мени, |
тогда |
как |
в модели Э й н ш т е й н а — д е Ситтера |
т ос t |
и р ос \jt2. |
В |
модели стационарной Вселенной плот* |
ность р остается постоянной, так как работа, совершае мая натяжением при расширении, приводит к непрерыв ному творению вещества, которое в точности компенси рует разрежение при расширении.
Модель стационарной Вселенной во многом привле кательна, хотя физическая природа натяжения не полу чила пока удовлетворительного объяснения. Однако последние данные по подсчетам источников (гл. 6), красным смещениям квазаров (гл. 7) и космическому фоновому радиоизлучению (гл. 14) свидетельствуют про тив этой модели, поэтому в дальнейшем мы не будем
еерассматривать.
Обзор ньютоновской
и релятивистской космологии
Мы довольно подробно рассмотрели ньютоновскую и релятивистскую космологии, но, вероятно, многие чи татели были бы удовлетворены кратким обзором, доста точным для понимания дальнейшего изложения. Мы да дим здесь такой обзор, прежде чем перейти к вопросу
распространения |
света в различных |
моделях. |
||
|
Примем, что мир однороден и изотропен. Его поведе |
|||
ние |
будет тогда |
описываться |
одной |
функцией времени |
R(t) |
и одной постоянной k. R(t) |
называется масштабным |
фактором Вселенной; можно сказать, что он определяет зависимость расстояния между двумя частицами (галак тиками) от времени и, следовательно, описывает темп расширения Вселенной. Не имеет значения, какие именно две частицы рассматривать, поскольку принимается, что мир изотропен и однороден. Величина k в ньютоновской теории означает полную энергию (сумму кинетической и