ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 10.04.2024
Просмотров: 234
Скачиваний: 1
Линейный |
интеграл |
вектора |
поля вдоль |
замкнутой |
|
кривой |
равняется потоку |
ротора |
данного вектора поля, |
||
проходящему |
через поверхность, |
ограниченную |
данной |
||
кривой |
(рис. |
2-2). |
|
|
|
Получим |
|
|
|
|
|
|
|
frotHdA = §Hdl . |
(2-11) |
||
АI
Из (2-11) вытекает закон полного тока, называемый также иногда законом Ампера:
§ Н Л = |
|.МА = /. |
(2-12) |
Скалярное произведение |
Н dl = Н dl cos а = |
dU^ яв |
ляется магнитным напряжением на элементе магнитной
цепи длиной dl (рис. 2-2). Интеграл [ JdA = F является
'а
намагничивающей силой, называемой также полным то ком.
Уравнение (2-2) называется вторым уравнением Максвелла и является дифференциальной и векторной формой закона электромагнитной индукции Фарадея
e=—wdO/dt. |
(2-13) |
Действительно, применяя теорему Стокса к (2-2), |
|
имеем: |
|
Jrot;EdA = | E d l = — J^-rfA. |
(2-13а) |
Ai
В(2-13) w является числом витков, охватывающих
магнитный поток Ф = |
£ В dk. |
|
|
А |
|
|
|
Поток может в общем случае |
изменяться |
во време |
|
ни и в пространстве Ф=/(7, х, у, |
г). Обычно в электри |
||
ческих машинах можно |
принять: |
|
|
Ф = / ( / , JC), x = |
x(t). |
|
|
Производная сложной функции принимает вид: |
|||
с(Ф |
дФ |
дФ dx |
/ 0 10*\ |
* = - * - л - = - и ж - в я г э г - - |
< 2 " 1 3 б ) |
||
77
Первый член правой части |
(2-136) |
носит |
название |
э. д. с. трансформации, второй |
член — э. д. с. вращения. |
||
В случае, когда исследуемые области поля имеют |
|||
форму цепей с однородными отрезками, |
часто |
выгоднее |
|
пользоваться интегральной формой уравнений электро магнитного поля. Отсюда широкое применение закона полного тока (2-12) и закона электромагнитной индук ции (2-13) в теории электрических машин и трансфор маторов.
Уравнение (2-3), называемое иногда третьим уравне нием Максвелла [Л. 1-14], выражает тот факт, что поле
магнитной индукции |
является |
|
безвихревым. |
Уравнение |
|||||||||||
(2-4) является дифференциальной формой |
|
закона |
|||||||||||||
Гаусса |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
когда |
р лежит |
внутри |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
поверхности |
А; |
|
|
|
(2-14) |
||||
|
|
|
|
|
О, |
когда |
р |
лежит |
вне |
||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
поверхности |
А. |
|
|
|
|
||||
Это |
обозначает, |
что |
поток |
вектора |
|
электрического |
|||||||||
смещения |
сквозь |
замкнутую |
поверхность |
А |
|
равняется |
|||||||||
электрическому |
заряду |
внутри |
этой |
поверхности. |
|||||||||||
В математике |
этот |
закон |
называют |
теоремой |
Грина |
||||||||||
и на основании |
(2-4) |
|
записывают |
в |
виде |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
§ Dd А = f div D dV. |
|
|
|
|
(2-14a) |
|||||||
|
|
|
A |
|
|
V |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Из |
этой |
формулы |
получают |
три |
тождественных |
||||||||||
уравнения Грина |
[Л. |
|
2-2]. Уравнение (2-14а) |
|
называют |
||||||||||
также теоремой |
|
Остроградского — Гаусса. |
|
|
|
|
|||||||||
Уравнения (2-5) и (2-6) выражают зависимости меж |
|||||||||||||||
ду величинами В, Н, D, Е, J, обусловленные |
свойствами |
||||||||||||||
и структурой среды. Поэтому их называют |
уравнениями |
||||||||||||||
состояния среды. Уравнение (2-6) |
в виде J = yE |
является |
|||||||||||||
обобщенной дифференциальной |
|
формой |
закона |
Ома; |
|||||||||||
э. д. с. ^стор называют сторонней. Она может быть выз вана сторонними причинами неэлектрического происхож дения: в случае разной концентрации зарядов р или температур Т
у £ сто Р = — d grad р;
78
Где d — коэффициент диффузии; b — термоэлектрический коэффициент.
Уравнение (2-7) выражает плотность энергии поля в единице объема линейной или нелинейной среды при изменениях электрического смещения от До до В и маг
нитной индукции от |
Во до |
В. Интегралы определяются |
функциями D = D(E) |
и |
В = В(Н) . Электродинамика |
является наукой о движении материи под влиянием сил, действующих в электрических и магнитных полях. При
таком определении э л е к т р о с т а т и к а и м |
а г н и т о |
с т а т и к а могут рассматриваться как частные |
и самые |
простые случаи электродинамики. При постоянных полях (dD/dt = dB/dt = 0) вне источников и токов ( / = 0 ) для неподвижных сред уравнения Максвелла принимают вид:
для |
электростатики |
|
|
|
|
rotE = 0, |
divD = p, |
D = eE; |
(2-15) |
для |
магнитостатики |
|
|
|
|
r o t H = 0 , |
divB = 0, |
В = цН. |
(2-16) |
Поля эти, как видно из последнего, могут существо вать (и подвергаться исследованию) независимо друг от друга. Уравнения rotE = 0 и rotH = 0 показывают, что поля эти безвихревые. Такие поля являются потенциаль ными полями, т. е. для их описания можно' ввести ска лярные функции координат V(x, у, z) и V (х, у, г), называемые электрическим и магнитным потенциалами. Потенциалы V и удовлетворяют уравнениям
|
Е = |
—gradV; |
|
(2-15а) |
|
H = |
- g r a d V ( i |
|
(2-16а) |
на основании тождества векторного анализа |
rot grad Vs= |
|||
= |
0. |
|
|
|
|
Следующим частным случаем электродинамики явля |
|||
ется поле плотности электрического |
тока, |
постоянного |
||
во |
времени. При dD/dt = dB/dt = 0, а |
также |
/ # 0 полу |
|
чим основные уравнения поля постоянных токов для не
подвижных проводящих |
тел: |
|
|
|
|
r o t H = |
J, |
rotE = |
0; |
\ |
|
divB = |
0, |
divD = |
0; |
\ |
(2-17) |
J = Y ( E + |
Ectop), div J = |
0. |
j |
|
|
Уравнения divJ = 0 и rotE = 0 являются дифференци альными формами I и I I законов Кирхгофа.
79
|
2-2. АНИЗОТРОПНЫЕ СРЕДЫ |
|
Уравнения (2-5) |
и (2-6) могут |
быть выражены с по |
мощью скалярных |
коэффициентов |
е, fi, у исключительно |
в изотропных, однородных и линейных средах. В общем
случае свойства среды могут быть |
функциями |
коорди |
|||
нат и времени |
|
|
|
|
|
е = |
е(х, у, |
z, t); ц = [х(х, у, z, |
i); у = у(х, у, |
z, |
t), |
а также |
иметь |
различные значения |
но различным |
осям |
|
в пространстве. Во многих задачах электродинамики оси
анизотропии взаимно |
перпендикулярны (кристаллы ста |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
ли, |
шихтованные |
|
сердеч |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
ники |
|
и |
т. п.). |
Поэтому |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
здесь |
рассмотрим |
|
только |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
гакой |
|
случай |
анизотро |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
пии. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
В средах анизотропных, |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
но с постоянными |
|
(линей |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
ными) |
|
параметрами |
каж |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
дая |
составляющая |
левых |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
частей |
|
(2-5) и (2-6) |
яв |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
ляется |
|
линейной |
|
функ |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
цией |
|
всей |
совокупности |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
составляющих |
величины |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
правой |
|
части. |
Например, |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
ВХ |
= ВХ(НХ, |
Ну, |
|
Нг). |
|||||
Рис. 2-3. Векторы Н и |
В в |
несов |
|
Рассмотрим |
вектор |
на |
|||||||||||
пряженности |
магнитного |
||||||||||||||||
падающих |
системах |
осей |
анизо |
||||||||||||||
тропии |
1, 2, |
3 (fit, ц2 |
, |
цз) |
и |
пря |
поля |
Н |
(рис. 2-3) |
с |
в |
ани |
|||||
моугольных |
координат |
X, |
Y, |
Z. |
зотропной |
среде |
осями |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
анизотропии /, 2, 3, кото |
||||||||||
рым |
соответствуют |
различные |
проницаемости |
|
ци |
jx2, |
|||||||||||
(л3. Обозначим буквами ш, аг, аз косинусы |
|
углов, |
|||||||||||||||
которые ось ОХ образует с осями 01, 02, 03. Таким |
же |
||||||||||||||||
путем |
через |3i, рг, |
рз обозначим |
косинусы |
оси О У и |
че |
||||||||||||
рез \ч. Уг, Уз — косинусы оси OZ. Согласно теореме о про екции геометрической суммы векторов можно (рис. 2-3) записать систему уравнений, связывающих соответствую щие составляющие вектора Н вдоль осей 1, 2, 3:
Н2—«2#ж |
+ Р2 # у + угН г; |
H3 = asHx |
+ fi3Hy + y3Hz. |
80
