Файл: Туровский Я. Техническая электродинамика.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 10.04.2024

Просмотров: 243

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Поступая аналогично с вторым уравнением Макс­ велла, получаем такие же уравнения для электри­

ческого поля в областях,

лишенных зарядов

(divD = p =

= 0):

 

 

 

 

 

 

 

для неидеалыюго

диэлектрика

 

 

 

 

V 2 E m =

F E m ,

 

(2-48)

для проводящей

среды

 

 

 

 

 

 

 

V E m =

ot2Ejn,

 

 

 

и на основании закона Ома Jm = ~{Em

"уравнение

для

плотности тока примет вид:

 

 

 

 

 

 

V

= = : а

Jm-

 

 

 

Так как в (2-41)—(2-48)

с

обеих

сторон

находятся

одни и те же векторы

 

 

 

 

 

 

»V2#mx + JV2 #ту +

ky2 #mz =

О.2

(\Нтх

+ Шту + к Я т

2 ) ,

то, приравнивая правые и левые части уравнения по соответствующим осям, получаем в прямоугольной си­ стеме координат три независимых скалярных уравнения

V2Hmx = <x2Hmx; у 2 Я т у = а 2 Я т у ; у 2 Я т / = а 2 Я т г . (2-49)

2-7. МЕТОД ФУРЬЕ

Волновые уравнения (2-49) являются функциями не­ скольких переменных, и их удобнее всего решать мето­ дом разделения переменных Фурье. Метод этот заклю­ чается в представлении искомой функции Нт(х, у, z) в виде произведения или суммы произведений двух или трех функций, каждая из которых является функцией только одной координаты:

Нтх{х,

у, z)=X(x)Y(y)Z(z).

 

(2-50)

После дифференцирования

(2-50)

и подстановки его

в (2-49) в развернутом виде

 

 

 

д*Нтх/дхг+дгНтх1ду21-

д 2 Я т х /<?2 2 = а 2

Я т ж

получим:

 

 

 

 

X"YZ

+ X Y"Z + X YZ" = а2Х YZ,

 

или после деления на XYZ

 

 

 

X"IX+

Y"/Y+ (Z"—a2Z)IZ

= 0.

(2-51)

95

Так как каждый член (2-51) связан только с одной независимой переменной, все члены вместе будут удов­ летворять условию (2-51) только в том случае, если они будут независимы от переменных х, у, z, т. е. постоян­ ными. Постоянных этих может быть бесконечное коли­ чество:

Х"/Х = Ап;

Y"IY—Bn;

(Z" - a 2 Z) /Z = -(An + Вп),

(2-52)

где п=1,

2, 3, ..., оо.

 

 

Таким

образом,

получаем три линейных дифферен­

циальных уравнения второго порядка с постоянными ко­ эффициентами:

 

Х"(х)-~АпХ(х)

 

=

0;

 

 

 

 

 

Y"(y)-BnY(y)

 

=

0;

 

 

 

(2-53)

 

Z" (z) -

(a2

-

Ап

-

Bn)

Z (z) =

0.

 

Если положить,

что

произвольные

постоянные отри­

цательны:

Ап— — В2

и

Вп=

— т] 2 , то общее решение

(2-53) имеет вид:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X (х) = С1П

cos §пх -f- С 2 П sin В„х =

Сзп

sin ф„л;+ <рп);

 

У (у) = Cin

cos ч\пу -4- Съп

sin т\пу =

СйП

sin (ч\пу + Ф„);

(2-54)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Если же предположить, что постоянные положитель­ ные (Ап'= В2 , В2 = т)2 ), то

X(x) =

Dine~9nX

+

D3ne9nX;

 

Y(y) =

D3ne~v

+

Dinev;

 

Z{z) =

Din

c o s ( p 2 + ^ - a s ) z

+

(2-55)

+ D e n s i n ( p 2 + 1 )

 

 

 

 

 

2

2 )г[для

(<х*< £ +

ч£)] и

 

 

— l / a 2 — З 2 — I I 2

г

 

Z ( 2 ) = £>5 n e

 

» «

+

 

l / a 2 — B 2

— i ) 2 Z

 

 

 

 

+ Dtne

 

[для (aJ

B' +

т,2 )].

96

Подставляя (2-54) или соответственно (2-55) в ис­ ходную функцию (2-50) и удаляя ненужные постоянные с учетом краевых условий, находим окончательное ре­ шение уравнения. Решение это в случае несинусоидаль­ ной периодической функции трех переменных приоб­ ретает Е И Д двойного тригонометрического ряда. Так как ни одна из величин поля не может бесконечно возрас­

тать при увеличении расстояния z в

массивных телах,

постоянные

Cg „, D2n

и т. д. в

(2-54)

и

(2-55)

практи­

чески всегда

равны

нулю

(если

расчет

относится к по­

лупространству) .

 

 

 

 

 

 

 

Приведенный способ

решения относится

также и

к уравнению

Лапласа (1-1) для потенциальных полей,

если введем подстановку а =

0.

 

 

 

 

Учитывая

тождество

ех

= sh х +- ch х,

показательные

функции в ( 2-54) и (2-55) можно заменить функциями

гиперболических

синусов и косинусов.

 

Пользуясь методом Фурье, можно доказать, что ре­

шение уравнения

Лапласа

(1-1) У 2 # = 0 для двух

пере­

менных можно представить

[Л. 2-9] в общей форме:

Н(х, у) =

/ ^ "

| / п п л ; | ^ |m„i/ +

 

 

п

 

 

п

 

 

где первый множитель в первом члене sin или cos,

а вто­

рой sh или ch и т. д.

 

 

Уравнения типа (2-49) можно решать, применяя и иные подстановки [Л. 2-16J.

2-8. ВОЛНОВЫЕ УРАВНЕНИЯ В ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ КООРДИНАТАХ

Волновое уравнение (2-48) в цилиндрических координа­ тах (рис. 2-4) для полупроводящих сред приобретает

Е И Д :

V Е т ; Г Ещ>

+ \zv2Emz

= Р (\гЁтг + 1 Д в + \zEmz).

(2-5G)

7—346

 

97

z

y=rsin8

Рис. 2-4. Система цилин­ дрических координат.

д2Е„

1 дЕ„

 

dr2

дг

 

д2Е,тв

дЕ m9

£ m9

дг2

г дг

 

 

д2Ё

дЕ„

 

дг2

дг

В

цилиндрических

коор­

динатах

нельзя,

следова­

тельно,

выделить

отдельные

скалярные

уравнения

для

каждой

из

 

составляющих

поля.

Это возможно

только

в системе

прямоугольных

координат. Зачастую

в

кон­

кретных

цилиндрических

си­

стемах

можно

принять,

что

имеет

 

место

осевая

 

сим­

метрия векторов поля, т. е.

dEm/dQ

= 0.

В

этом

случае

получаем систему

трех

ска­

лярных

уравнений:

 

 

д2Е„

-— I

En

 

 

 

 

дг2

 

 

 

 

 

 

 

д2Е

(2-57)

дг2

 

 

д2Е„

 

дг2

Уравнения эти можно решить тем же

методом

раз­

деления переменных,

если применить

подстановку

Emr(r, z)—R(r)Z(z)

и

произвести преобразования,

как

в § 2-7.

 

 

 

 

Ограничимся рассмотрением случая, когда поле за­ висит только от одной переменной г, т. е. dEm/dz=0. Подставляя в (2-57) новую комплексную переменную

 

p=rV—V>,

 

 

 

(2-58)

получаем два типа

уравнений Бесселя (для Ег,

 

д2Е„

дЕ.

Л

Е

-О

(2-59)

др2

Р др

 

 

 

 

и для Еп

 

 

 

 

 

д2Е„

дЕ„

•Е„

:0.

 

(2-60)

dp2

г" р др

 

 

 

 

 

Общее решение (2-59) может иметь вид [Л. 2-7]:

(2-59а)

98

 

 

fimr

=

C,H|, , (p) +

C4 H[2 ) (p).

 

 

 

Общее решение

(2-60) может

иметь

вид:

 

 

 

либо

 

 

Ёт2

= СЛ0(р)

+

СвЫ0(р),

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

/5 m z =

C,H^(p) +

C e H f ( p ) .

(2-60а)

где

Ij(p) и 10

(р) — функции

Бесселя

первого рода,

пер­

вого

и нулевого

порядка; Nj (р)

и N 0 (р) — функции

Бес .

селя

второго

рода,

первого

и

нулевого

порядка,

назы.

'

(р) — взаимно сопряженные

функции

Ганкеля

нулево­

го порядка.

 

 

 

 

 

(п — целое

 

 

Функция Бесселя n-го порядка

число)

является суммой ряда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(2-61)

Функции Ганкеля, называемые также функциями Бесселя третьего рода, связаны с функциями Бесселя и Неймана уравнениями

H ( v

I ) ( p ) = U p ) + iNv (p);

(2-62)

H i 2 ) ( P ) - I v ( p ) - / N v ( p ) .

 

Значение функций Hv (p) Ганкеля для практических

применений заключается в том, что среди функций Бес­ селя только они приобретают нулевые значения при бес­ конечных значениях комплексного аргумента, а именно: Н<4> — когда мнимая часть является положительной и Н<2) — когда она отрицательна (Л. 2-3]. В противополож­ ном случае обе функции растут до бесконечности.

2-9. МЕТОД МАГНИТНОГО ВЕКТОРНОГО ПОТЕНЦИАЛА

В линейных средах, в которых известно распределение плотности тока J, индукцию В в области, занятой током, и вне ее можно рассчитывать, пользуясь вспомогатель-

7*

99

Смотрите также файлы