Файл: Туровский Я. Техническая электродинамика.pdf

вытекающему из закона непрерывности линий индукции

Так как А по определению (2-63) является функцией многознач­ ной, то в случае быстропеременкых полей, когда нельзя пренебречь токами смещения, принимают дополнительное условие:

divA = — epdV Jdt.

г*

В этом случае после соответствующих преобразований получим известное в радиотехнике уравнение Даламбера:

для векторного магнитного потенциала VB A—eiyLd2 \/dt2 =—|xJ;

для скалярного магнитного потенциала

В случае магнитостатических и квазистатических мед­ ленно изменяющихся полей, когда можно не учитывать токи смещения, а также в средах, где можно пренебречь вихревыми токами, выгоднее принимать добавочное условие в виде

div А = 0.

В таком случае для области, в которой известна плотность тока J, получаем уравнение

Это значит, что составляющие вектора А удовлетво­ ряют скалярным уравнениям Пуассона:

V2Az= — \>,Jz(x, У> г), J

которые имеют такой же вид, как уравнения скалярного электрического потенциала, вызванного электрическими зарядами (если А заменить потенциалом V и и./ — за­ рядом р/е). По этой причине вектор А, определяемый

100

(2-63) и (2-64а), называют магнитостатическим вектор­ ным потенциалом магнитного поля токов J.

В области, в которой отсутствуют токи, т. е. когда магнитное поле является безвихревым (rotH = 0), магнктостатический векторный потенциал удовлетворяет уравнению Лапласа

вектор А можно определить также по аналогии с изве­

V

Это значит, что каждую составляющую вектора А находим путем интегрирования (по объему, занятому током) соответствующей составляющей плотности тока J, удаленной на расстояние г от точки, в которой же­ лаем определить составляющие А, и умножения резуль­ тата на (д/4я:

lydV

V V

4n j JtdV

В случае, когда ток z = j Jc?S протекает в проводе,

поперечное сечение которого значительно меньше длины провода и расстояния г от исследуемой точки, (2-67) можно упростить:

101

Используя теорему Стокса (2-11), с помощью (2-63) можно определить магнитный поток:

Метод скалярного потенциала магнитного поля приме­

няющихся так медленно, что можно пренебречь токами

[см. (2-16)], а напряженность магнитного поля удовлет­

является уравнением магнитной эквипотенциальной по­ верхности.

Линии магнитного поля Н направлены перпендику­ лярно эквипотенциальным поверхностям. Чтобы найти

напряженности магнитного поля Н в этой точке. Это значит, что его составляющие ах, dy, dz вдоль коорди­

у, z)=C2, где C'i и С2 —постоянные интегрирования, за­ висящие от координат рассматриваемой точки [Л. 1-17].

102

Скалярный магнитный потенциал является в общем случае многозначной функцией. Линейный интеграл вектора Н по произвольному замкнутому контуру, не охватывающему ток, равен нулю

§ Ш\ = 0.

Однако, когда путь интегрирования между двумя точками А и В охватывает некоторый ток k раз или пересекает некий контур с током ki, разность магнитных потенциалов между точками А и В составляет:

Следовательно, если предположить, что потенциал одной из точек, например В, равен нулю, то потенциал в точке Л, обозначенный У^л , будет неоднозначным и зависящим от пути интегрирования. Только в случае, когда путь интегрирования не пересекает контур с то­ ком,

АВ

103