Файл: Туровский Я. Техническая электродинамика.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 10.04.2024

Просмотров: 292

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

4. Метод Ротй

Метод Рота более прост в использовании, чем метод Роговского, но также требует допущения о бесконечной проницаемости стали. Здесь не делают раздела на зоны вихревых и безвихревых полей, но вво­ дится одно выражение векторного потенциала для всего поля, при­ чем этот потенциал является решением как для уравнения Лапласа, так и уравнения Пуассона.

т

 

-,

1

1 —

п

 

I

I

I

I

I

 

J

 

 

 

1

I

 

 

 

i

 

 

 

 

1

J

.

I

J

1

 

 

 

 

••У

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I

 

 

I

 

 

 

 

11

 

I

I

1!

 

 

 

II

1

 

- 11I

 

 

 

.J

II

II

 

1I

 

iг — I i

I —

 

 

 

 

 

 

 

I

_ J

 

U

, _ J

i

 

i

1_.

Рис. 5-23. Схема расчета поля методом Рота в воздушном канале, ограниченном стальными поверхностями [Л. 1-1].

На рис. 5-23 показано р прямоугольных проводников, располо- У женных в замкнутом прямоугольном пространстве, ограниченном стальными стенками с бесконечно большой проницаемостью. Сталь­ ные поверхности согласно правилу зеркальных изображений могут быть замещены бесконечным полем одноименных изображений, пока­ занных на рис. 5-23 пунктирными линиями. Разыскиваемая функция векторного потенциала А, определяющая поле внутри воздушного «окна», должна быть, следовательно, периодической вдоль обеих осей х и у. Общее выражение этой функции является произведением двух

293

однократных рядов Фурье: одного вдоль оси х, а второго

вдоль оси

у (рис. 5-23):

 

 

 

 

А =

С] cos тх cos пу-{-

2J С 2 cos тх sin пу

-\-

 

m п

т п

 

 

+

2J ]С С3

sin /их cos /?(/ + 2 S С*s 'n и х sin ш/,

(5-19)

 

m >г

m п

 

 

где С, m,

/г — постоянные, зависящие от характера

поля

и от гра­

ничных условий.

 

имеется только

одна составляю­

Так как в системе (рис. 5-23)

щая плотности тока ] г , магнитный

векторный потенциал

согласно

(2-67)

 

 

 

 

 

v

имеет только одну составляющую AZ=A.

Вводя условия

Ax=Ay=Q

в (2-63)

 

 

В = rot А,

 

 

получаем:

 

 

Вх = дА/ду; Ву=—дА/дх;

В г =0 .

 

Ввиду бесконечней проницаемости стали на ее поверхности со стороны воздуха отсутствуют тангенциальные составляющие индук­ ции, откуда имеем условия

 

 

 

—Ву,х=0=

(дА/дх)х^0=0;

 

(5-20)

 

 

 

ВХуУ^о=(дА/ду)у^0=0;

 

(5-21)

 

 

 

-Ву,х

= а=(дА/дх)х

= а = 0;

 

(5-22)

 

 

 

 

Bx,v

 

= b=(dAldy)y

= b=0.

 

(5-23)

Подставляя

(5

 

в

(5-20)

и (5-21), получаем С2

= С3 = С4

=0,

так как

сумма

функций cos пу и sin пу может равняться

нулю

для

каждого

 

у только тогда, когда каждый член равняется

значения -19)

 

 

 

 

 

 

 

нулю. Следовательно, имеем:

 

 

 

 

 

 

 

 

А = 2J X Стп cos тх cos пу.

 

(5-24)

 

 

 

 

 

т п

 

 

 

 

 

Подставляя

затем

 

(5-24)

в

(5-22) и (5-23),

 

получаем

sin macos пу = 0 для

всех

значений у, откуда

 

 

 

 

 

 

 

mh = { h - \ ) ~ ,

 

(5-25)

и cos mx sin nb=0 для всех значений х, откуда

(5-26).

где h=l, 2, 3,.... оо и k=.l, 2, 3,..., с о .

294

Подставляя тн и tik в (5-24), получаем общее выражение маг­ нитного вектора потенциала

 

Л =5]

J]c f c „ c o s ( A - l ) - ^ - c o s ( f e - l ) - ^,

(5-27)

 

/1

fe=i

 

которое

удовлетворяет всем граничным условиям. Постоянные

=1

 

 

в (5-27) следует теперь подобрать так, чтобы оно удовлетворяло

уравнению Пуассона

внутри проводников п уравнению

Лапласа

в окружающем воздушном пространстве.

 

 

Подставляя (5-24) в (2-64а)

 

 

 

 

дЫ Jdx* + дЫ

zldtf=—ц0/г,

 

 

получаем:

 

 

 

 

 

 

S

2J (т\ + л|) Chh cos т л х cos /ад =

(х0/,

(5-28)

ft

к

 

 

 

 

 

где плотность

тока /

равна

постоянной плотности

тока I j

в сечении

/'-го проводника и равняется

нулю в воздухе; постоянные Chh можно

определить подобно тому, как это делают в случае нахождения по­

стоянных однократного ряда

Фурье, умножая

обе части (5-28) на

cos ти х cos tik У и интегрируя

их дважды от

0 до а относительно

переменной х и от 0 до Ь относительно у, т. е. в пределах всей ис­ следуемой поверхности, соответствующей одному периоду двойного

бесконечного ряда.

В левой части уравнения все члены, кроме

cos2 tYih х cos2 tih у,

дают при интегрировании

нуль, в результате чего

получим для левой стороны /г-й, k-ii член ряда

в виде

пь

(т\ + п\) Chh ^ cos2 mh xdx j" cos2 nhydy. (5-29)

Так как плотность тока / не равна нулю только внутри р про­ водников, правую часть (5-28) интегрируем только в пределах сече­

ний этих проводников и получаем:

 

 

 

а

Ь

 

 

 

р

a'jb'j

 

J

j

(А0 / cos тих cos nhydxdy =

ц.0 ^ ' ^

j

J cos m^x cos nhydxdy =

0

0

p

 

 

/=1

at

b}

 

 

 

,

( s i n

mha'i—

sin mhaj

sin nhb'j — sin nhbj \

 

 

Sh

I

mh

 

 

7Th

) • <5'30>

Приравнивая обе части (5-29) и (5-30), находим постоянную Chh- Она приобретает различный вид в зависимости от значения величин mh и пи- Различают здесь четыре характерных случая:

1) при mf t =0; nh>0 (й=1, k>\) левая часть (5-29) дает при интегрировании с учетом (5-26) значение пгиС\к ab/2; к правой части

295

(5-30) следует применять правило дифференцирования Лопиталя

sin mha'j

— sin/nfta^

l i m

= a'} — aj = ej (см. рис. 5-23),

Рис. 5-24. Поле рассеяния в четверти окна трансформа­ тора при симметричных обмотках (а) и при 25%-ной осевой асимметрии (б) [Л. 5-2].

296

й в результате получаем!

 

 

р

 

 

 

 

 

2h,

Г 1 ,

sin nhb'j

— sin nhbj .

 

 

C r t =

'A'

1 ^

^

'

(

°

 

" S "

 

2) при /ил>0, «ft=0 (/г>1, £=1) аналогичным путем получаем:

p

 

C h i e

^

L "

— ^

•

(

>

3) в общем случае / % > 0 ,

л к > 0

( Л > 1 , & > 1 )

интегрирова-

 

 

 

 

 

 

2

2

 

 

ние левой

части

(5-29) дает результат

( т д

- f nf t ) ;СлЛ^-^->

который

после приравнивания

к (5-30) дает:

 

р

 

 

 

 

 

 

4ц,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ch*-(ml+nl)abJjJi

 

/=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin mha'j — sin /Ида^

sin nhb'j — sin nhbj

 

 

4) в

случае

РотЛ=лЛ=0

(Л =

A =

1) из (5-29)

и (5-30) полу-

чаем: С ь 1

=

 

JjCjdj = const.

Так как нас интересуют

только-

/=1

производные вектора А относительно х либо у, случаем этим можно пренебречь как неинтересным.

Таким образом, (5-27) вместе с (5-31) и (5-33) определяет магнитный векторный потенциал в любом месте (х, у) пространства, ограниченного сталью, в котором находятся проводники с током.

Уравнение (2-63) позволяет затем

найти составляющие

индукции

в любой точке {х, у)

 

 

Bx=dAjdy и

Ву=—дА/дх.

(5-34)

На рис. 5-24 показаны линии индукции, т. е. эквипотенциальные линии ^=const, определенные вышеприведенным методом Рота для симметричных обмоток трансформатора (рис. 5-24,а) и обмоток с 25%-ной осевой асимметрией (рис. 5-24,6).

5-6. ПОЛЕ ЛОБОВЫХ СОЕДИНЕНИЙ ОБМОТОК ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ МАШИН

При прохождении поля лобовых соединений электрических машин

в установившихся и неустановившихся режимах в случае магнитных

инемагнитных концевых нажимных колец статора наиболее простыми являются метод зеркальных изображений, описанный в § 5-2 и 5-5,

297

и метод динамических отражений осциллирующих диполей как эле­ ментов контура (§ 5-3). Вопрос зеркальных изображений перемен­ ного тока в массивном металле пока еще не имеет полного решения, хотя и интересует многих исследователей (Л. 1-28, 5-7—5-9].

И з о б р а ж е н и е

в м а с с и в н о й

с т а л ь н о й

п л и т е .

В ![Л. 2-18] в 1956 г. было предложено рассматривать проводники с переменным током в виде ряда осциллирующих диполей, отобра­ жающихся в близлежащих металлических поверхностях. В 1960 г.

 

 

Рис. 5-25. Зеркальное изображение лобовых

 

 

 

соединений катушки в идеальном электромаг­

 

 

 

нитном

экране

[Л. 5-8].

 

 

 

 

Хаммонд '[Л. 5-8] использовал

этот

метод для нахождения

зеркаль­

ных изображений

лобовых соединений. На рис. 5-25 и 5-26 показаны

найденные

таким

образом

контуры

замещения

лобовых соединений

в случае, когда торцевая поверхность магнитопровода

экранируется

идеальным

проводником (рис. 5-25)

и когда магнитопровод

с отно­

сительной

проницаемостью

р г

не экранирован

(рис. 5-26).

Левая

сторона

рисунков

показывает

действительную систему,

правая — си­

стему

замещения, образующую

идентичные

поля

в

воздухе

(рис. 5-26,а) н в

стали (рис. 5-26,6). Согласно

правилам, приведен-

Рис. 5-26. Определение магнитного поля лобо­ вых соединений методом зеркальных изобра­ жений в стальном магнитопроводе с прони­ цаемостью р. [Л. 5-8].

а — поле в воздухе; б — поле в стали.

298

Смотрите также файлы