Общее решение (5-38) для векторного потенциала AjW |
является |
суммой особенных решений |
(5-48) для отдельных гармоник |
|
|
00 |
|
Аш |
= £ А!Тп. |
(5-49) |
|
п—О |
|
Так как постоянная X может приобретать любые значения, более общее решение для линейных систем получаем, учитывая полный спектр периодического распределения в виде интеграла
|
|
|
оо |
|
|
|
|
|
|
|
AIW |
= |
j |
[С (X) elx - f D (X) e~lz] cos XydX. |
|
(5-50) |
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
В области |
диэлектрика |
переменная |
заключается |
в |
интервале |
— о о < г ^ 0 . Так |
как при х—*•—оо |
значение векторного |
потенциала |
AJW |
не может возрастать до бесконечности, следовательно, |
D(X)=Q. |
|
Таким образом, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
00 |
|
|
|
|
|
|
|
|
AIW |
= |
j С {X) |
cos XydX. |
|
(5-51) |
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
Окончательное |
выражение векторного |
потенциала в диэлектрике |
с учетом (5-42) |
и (5-44) |
приобретает вид: |
|
|
|
|
А1 = — |
|
|
In {[у* + (а + Z)«] [у* + (я - z)*]} + |
|
|
|
|
|
|
00 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
(X)elz |
cos XydX. |
|
(5-52) |
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
Рассуждая |
аналогично, |
можно |
для |
непроводящего |
экрана на |
писать следующее |
выражение для векторного потенциала: |
|
|
|
|
00 |
|
|
|
|
|
|
|
Ац |
= Jо [Е (X) e^ + F (X) e~Xz] cos XydX. |
|
(5-53) |
|
В области / / / |
таким же образом получаем: |
|
|
|
|
|
|
|
со |
|
|
|
|
|
|
|
Аш |
= |
j G (X) е~ г |
>•'+** cos XydX. |
|
(5-54) |
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
Составляющие напряженности магнитного поля для отдельных сред /, И, III определяют на основании уравнений
1 д А |
1 дА |
|
н*—*ду-' |
н « = -у<>г- |
(5-55> |
Постоянные С(Х), Е(Х), F(X) и G{X) определяют на основании граничных условий:
HoHrz = \iiiHIIZ, |
HIV=HIIy |
для 2=0; |
\х.цНiiz^ykiiiHniz, |
Ииу = Нц1у |
для z—d. |
В результате преобразований получим [Л. 5-19]:
С(Х) =
п + гё~2<Гк
|
E(V=—n |
K-ц/» |
r(n—l) |
|
п -j- re |
|
|
|
|
|
F(X) |
= PiI An |
|
|
П~ |
|
|
|
2n |
|
n |
re |
|
|
|
|
|
где |
VnJ2nm |
; ( л — l ),—2dX( r + l ) |
|
+e-(a+d>X |
|
Г = ( ц ш Х - |
l * n |
+ |
a»)/((X,nX + |
е—а\
^ ' 1
e-(a+2d)\
+Vl*~+^4
{ i n /Х* + «»);
(5-56)
(5-57)
(5-58)
(5-59)
(5-60) (5-61)
В результате подстановки (5-56) — (5-61) в (5-52) — (5-54) полу чаем следующие выражения для векторного потенциала уединенного бесконечного длинного проводника, расположенного вблизи экрани
рованной стены: |
|
/ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
для диэлектрика |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4тс |
In у*+ |
|
{а-г)* |
|
|
|
|
|
|
|
-(а—г) X |
|
t _|_ |
|
—2d\ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
те |
|
|
2тс |
( |
|
|
|
|
|
|
|
n + |
re |
_ 2 d \ c o s |
(5-62) |
для |
магнитного |
экрана |
(шунта) |
/ / |
|
|
|
|
|
|
Рп7 ' |
• ( л - 1 ) |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
п |
2п |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
°S |
|
в - (а+г)> . |
|
|
|
"I |
(5-63) |
|
|
+ J х |
( л + г ^ ) |
|
|
» й |
|
|
И |
> |
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
J |
|
для |
массивного |
стального |
полупространства / / / |
|
|
|
Л Ш |
- |
2гс |
|
( |
n |
- l |
) j - - L ± i _ V |
|
|
|
|
,-(a+d)\\ |
|
|
+ V\'+ |
a' |
(d—Z) |
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
• cos XydX. |
(5-64) |
|
|
|
|
|
|
|
Суперпозиция |
полей |
двух проводников |
(рис. |
5-30). Векторный |
потенциал, |
создаваемый |
проводником |
с током — 1 т на расстоянии Ь |
(рис. 5-30) |
от поверхности экрана, |
можно |
определить, подставляя |
в (5-62)—'(5-64) |
значение тока — 1т |
вместо |
+1т |
и Ь вместо а. Век |
торный потенциал системы двух проводников ввиду принятой линей ности трех рассматриваемых сред является результатом суперпо зиции (наложения) векторных потенциалов отдельных проводников.
Таким образом, для поля двух проводников |
(рис. 5-30) |
получаем |
[Л. 5-19]: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
для области диэлектрика |
/ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
А |
- |
|
ЬЬи. , |
|
У2 |
+ |
(а + |
г)2 |
y* + |
|
|
(b-zy |
|
|
|
Л Г,2 - |
|
4Л |
|
г/2 |
+ |
(6 + |
г)2 |
г / 2 + |
(я —г)2 "*" |
|
|
П Ъ Г ( П ~ ^ ) |
|
|
X |
|
|
п + |
гв~ш |
С 0 |
5 |
Х у с 1 К |
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(5-65) |
для |
области |
магнитного |
экрана (шунта) |
|
/ / |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 (п + |
ге~ш) |
|
X |
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
е—(a+2d-z)\ |
_ e |
— (b+2d-z) |
X |
|
|
|
COS Ху dX]-\- |
|
|
X |
|
|
|
г |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 0 |
, , - ( a + z ) X |
|
„ - ( f t + z ) X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
j |
x (,. + |
« - * * > — |
c o s X |
y d |
X |
|
: |
|
( 5 " 6 6 ) |
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
•1' |
|
|
для |
области |
массивной |
стальной плиты |
/ / / |
|
|
|
|
|
|
|
|
/ |
|
|
|
ОО |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Л ш . 2 = 2тс |
|
( " - O J |
л + г |
в |
- М Х |
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e — (a+d ) |
X + ( d - z ) |
V^X»+ a» _ |
е |
— |
(Ь+d) |
X + ( d - z ) ^ Х Ч ^ " |
|
|
X |
|
|
|
х |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c o s |
tyd)*: |
(5-67)
Соответствующие составляющие напряженности магнитного поля находят, подставляя выражения Ai,i\ Лц,2 ; Л и ц в (5-55).
Подобным образом можно решать и другие задачи. Ввиду до статочной сложности полученных формул их обычно решают в окон чательном виде с помощью ЭЦВМ.
ГЛАВА ШЕСТАЯ
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ЯВЛЕНИЯ В МЕТАЛЛАХ С ПОСТОЯННОЙ МАГНИТНОЙ ПРОНИЦАЕМОСТЬЮ
6-1. ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА МНОГОКРАТНЫХ ОТРАЖЕНИИ ВОЛНЫ
В § 4-3 приведен метод расчета электромагнитного поля внутри металлических стенок и листов, основанный на анализе многократных отражений электромагнитной волны. С помощью этого метода в § 4-4 были рассчита ны активная и реактивная мощности, рассеиваемые в стенках и экранах, в § 4-9 — коэффициенты потерь мощности цилиндрического экрана и в § 5-5 — сопротив ление проводников ротора асинхронного глубокопазного двигателя. Другие примеры применения этого метода будут приведены ниже.
6-2. ЭЛЕКТРОТЕХНИЧЕСКАЯ ЛИСТОВАЯ СТАЛЬ
Одной из основных проблем в электрических машинах и трансформаторах является соответствующий выбор тол щины листа электротехнической стали в зависимости от ее свойств, частоты и т. д. Уменьшение толщины дает уменьшение потерь мощности от вихревых токов и более равномерное распределение индукции в сечении листа, благодаря чему улучшается использование материала. Но одновременно с этим уменьшение толщины листа вы зывает увеличение трудоемкости при сборке магнитопровода и шихтовке ярм трансформатора, а также уменьшение коэффициента заполнения сечения магнитопровода сталью ai (коэффициент изоляции).
К о э ф ф и ц и е н т и з о л я ц и и щ. Мерой |
заполнения |
магнитопровода |
является |
коэффициент |
изоляции |
ai=(d—d')ld=\(kd—ka")l{kd), |
|
(6-1) |
где d — толщина |
листа; |
d' — толщина |
междулистовой |
изоляции. |
|
|
|
|
Коэффициент k (2-47) оценим для индукций, приме |
няемых в трансформаторах: |
|
|
для горячекатаной стали при магнитных |
индукциях |
1,45—1,5 Т, относительной |
проницаемости |хг = 680ч-530 |
(рис. 1-19) и удельной проводимости у=1>7-106 См/м, мо=0,4 л - 10~~6 Г/м имеем:
k = [/IDHY /2 =
= К2и-50(680ч-530).0,411 • 10-e -1,7- Юв /2=(478--422) 1/м;
для холоднокатаной стали (гиперсил) при индукциях
1,65—1,7 Т (хг = 1 640^-840 [Л. |
1-6], |
а |
также |
при |
у = |
= 2 • 10е См/м |
коэффициент |
k= (805^577) |
1/м. |
|
|
Так как a"<^d, не сделаем |
существенной |
ошибки, |
принимая при этом члене в |
(6-1) |
среднее |
значение |
/г^бОО |
l / M = |
const (независимо |
от свойств материала и |
насыщения). |
Принимая, |
кроме |
того, |
постоянное |
зна |
чение |
толщины изоляционного |
слоя |
d' = 0,035 мм |
(ла |
ковая изоляция листов толщиной d=0,35-^0,5 мм), получаем:
|
|
|
|
|
а { |
« (М—0,021 |
)l{kd). |
|
(6-2) |
|
К о э ф ф и ц и е н т |
|
в ы т е с н е н и я |
м а г н и т н о г о |
п о т о к а |
as. |
Исследования |
различных авторов пока |
зали [Л. 6-13], что распреде |
|
|
|
|
ление |
напряженности |
маг |
|
|
|
|
нитного поля в сечении ли |
|
|
|
|
ста |
при |
переменной |
прони |
|
|
|
|
цаемости |
незначительно |
от |
|
|
|
|
личается |
от |
распределения, |
|
|
|
|
полученного |
классическим |
|
|
|
|
методом |
при |
ц = (.i3aM=cons/ |
|
|
|
|
[Л. |
1-28] |
(цзам |
проницае |
|
|
|
|
мость |
замещения, |
линеари |
|
|
|
|
зующая |
нелинейную— |
среду). |
|
|
|
|
Можно, следовательно |
поль |
|
|
|
|
зоваться (4-29), дающей ре |
|
|
|
|
зультирующее |
|
распределе |
|
|
|
|
ние максимального |
значения |
|
|
|
|
напряженности |
магнитного |
|
|
|
|
поля |
внутри |
листа |
вдоль |
Рис. 6-1 |
Распределение |
маг- |
оси |
Ог |
|
(рис. |
6-1). |
На |
|
рис. |
нитного |
поля внутри |
ли- |
6-1 и в |
формуле |
(4-29) |
фигу |
ста |
электротехнической |
стали |
рируют модули векторов |
Н т |
[Л. |
6-14]. |
|
|
и В т , так как в магнитопроводе эти векторы имеют прак тически только одну составляющую. Интегрируя (4-29),
