Файл: Страховский Г.М. Основы квантовой электроники учеб. пособие.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 10.04.2024
Просмотров: 251
Скачиваний: 1
В уравнениях (4.7) величины W3l и W13 — это вероятности перехода частицы с уровня 3 на уровень / и с уровня / на уровень 3 соответст
венно |
под действием сигнала вспомогательного излучения; W13 |
— |
= W31, |
так как коэффициенты Эйнштейна для индуцированных пере |
|
ходов «вверх» и «вниз» равны между собой. |
|
|
Кроме того, в уравнениях (4.7) учтено изменение населенностей |
||
уровней 2 и 3 под действием сигнала усиливаемого излучения. |
Для |
|
этого введены величины W3 2 и W23 — вероятности переходов частицы с уровня 3 на уровень 2 и с уровня 2 на уровень 3 соответственно под влиянием сигнала усиливаемого излучения. Поскольку коэффициенты Эйнштейна для индуцированных переходов «вверх» и «вниз» равны между собой, W за — W23.
Нетрудно понять, как получена система уравнений (4.7), например, первое уравнение. Скорость изменения населенности уровня 3 {-jfj
определяется двумя процессами: уходом частиц с уровня 3 на другие уровни, во-первых, под действием тепловых колебаний решетки и, вовторых, под действием сигнала накачки и сигнала усиливаемого излу
чения. В уравнении |
уход частиц |
с |
уровня определяется членами |
со знаком «минус». |
Группа членов |
со знаком «плюс» в правой ча |
|
сти уравнения означает «приток» |
частиц на уровень 3 с других уров |
||
ней. Точно так же составлены и остальные уравнения системы (4.7).
Займемся теперь решением системы уравнений (4.7) |
для стацио- |
|||||||
нарного |
режима |
(dNy |
= |
dN2 |
= |
dN3 |
Л |
населенности |
у-— |
|
|
= ОJ и определим |
|||||
уровней |
N-L, N2 |
и N 3. |
|
|
на |
всех трех уровнях |
сохраняется: |
|
Так |
как сумма населенностей |
|||||||
|
|
|
N1 + N2 |
+ N3 |
= N = const, |
(4.8) |
||
то совсем не обязательно рассматривать все три уравнения системы (4.7), ибо любое из них можно получить, как линейную комбинацию двух других. Достаточно решить любые два уравнения системы (4.7) совместно с условием (4.8). Выберем два последних уравнения системы (4.7).
Для стационарного режима они имеют вид:
N, w\™-N2 |
(w%\ + < |
+ |
Г а з |
) + |
дгз |
( ^ б и + |
W t a ) |
= |
о, |
|
|||||
- Л ^ « |
+ ш б и + wla) + ІѴ2 < |
+ N g |
{w6n |
+ |
W i a ) |
= |
о. ( 4 .9) |
||||||||
Выражая |
величину |
N3 из |
равенства |
(4.8) и подставляя |
в уравне |
||||||||||
ние (4.9), имеем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N, « |
- |
< |
- |
W23) |
- |
N2 |
« |
+ wf' |
+ WH + 2W23) |
|
+ |
||||
|
|
|
|
+ |
N(wl« |
+ W23) |
= 0, |
|
|
|
|
(4.10) |
|||
- N, « |
+ w\% + wl\ |
+ 2W13) |
+ N2 |
« |
- |
wfy -W13) |
+ |
||||||||
|
|
|
|
+ N(w6« |
+ Wn) |
= Q. |
|
|
|
|
(4.10a) |
||||
119
Если вероятность Wn значительно больше всех входящих в урав нения (4.10) величин wff (т. е. ими можно пренебречь по сравнению с
вероятностью W13), |
то |
|
уравнение (4.10а) приобретает |
вид — |
|||||
— 2NyWlb |
— N2WX3 |
+ NW13 |
= 0, а после |
деления его на величину |
|||||
W13 получаем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2N± + N2 = N. |
|
|
|
|
(4.11) |
||
Если |
правую и левую |
части равенства |
(4.11) |
вычесть |
из |
правой |
|||
и левой частей равенства |
(4.8), то получим — /Ух + |
/Ѵ3 |
= |
0 или |
|||||
|
|
|
|
Nt = N3. |
|
|
|
|
(4.12) |
Это равенство появилось |
как следствие условия |
W13 |
» |
wj", иначе, |
|||||
сигнал накачки достаточно велик, чтобы можно было не рассматривать процессы, связанные с установлением термодинамического равнове сия в системе (велик эффект насыщения). Указанное равенство мы уже использовали при упрощенном анализе как исходное.
|
Теперь из равенства |
(4.11) |
выражаем |
величину N2, |
подставляем |
|||||
в |
уравнение (4.10) и решаем его относительно населенности |
Nx: |
||||||||
|
N1 = N- |
В ^ а + ц & Ч ш » |
. |
|
(4 1 3 ) |
|||||
|
Зная величину |
Nlt |
определяем из равенства |
(4.11) |
величину N2: |
|||||
|
N2 |
= N |
* - + »SS + »gS |
. |
|
( 4 . 1 3 а ) |
||||
|
|
|
|
3 ^ 3 2 4 - 2 ^ и + ш б „ + 2 ш б и + ш б и |
|
|
||||
|
После этого можно определить инверсную населенность между |
|||||||||
уровнями 3 и 2: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N3—Nz = N1~N2 |
= N |
и, би |
би 1 би |
би |
|
|
|||
|
Щ з |
Ш з 2 + Ш ^ |
гс» |
, |
(4.14) |
|||||
|
|
|
|
|
3W32 + 2wll + wil + |
2w\\ |
|
|
||
где учтено равенство (4.12). |
|
|
|
|
|
|
||||
|
Воспользуемся |
тем, что вероятности |
релаксационных |
переходов |
||||||
между уровнями і ->- k(w%) и k ->- i(wl") |
связаны равенством w% = |
|||||||||
= |
w6ki^p[—jpp)' |
г д е |
T — температура образца. Мы уже отмечали, |
|||||||
что для радиодиапазона |
< |
1, |
следовательно, экспоненту мож |
|||||||
но разложить в ряд и ограничиться первым членом разложения. Тогда связь между величинами w% и wl" будет иметь вид
( 4 Л 5 )
120
Рассмотрим числитель и знаменатель выражения (4.14). Подстав ляя равенство (4.15) в знаменатель, получим:
З Г 3 2 + |
2w%«3 - I - W 6 « -|..2 |
< |
-i < |
= |
3W32 |
- I - 3 < « ( 1 - |
|
|
+ |
|
||||
|
- f 3 < |
( 1 - |
~ ) |
- 3W8 3 |
+ 3 < |
-I |
3 < \ |
|
|
(4.16) |
||||
где мы пренебрегли малыми членами |
|
и |
|
по сравнению с еди |
||||||||||
ницей. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Теперь преобразуем |
числитель, |
используя |
равенство |
(4.15), |
но |
|||||||||
членами ^ ~ |
уже пренебречь нельзя. В результате будем |
иметь |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
hv. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ѵ |
|
У |
|
|
(4.17) |
||
|
|
|
( l - |
|
= | ; « ѵ 2 І - ^ и Ѵ з 2 ) . |
|
|
|
|
|||||
Подставляя выражения |
(4.16) и (4.17) в равенство (4.14), получаем |
|||||||||||||
окончательно |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
УѴ —W = — |
|
Ѵ2і—^32 Уза |
|
|
/ 4 |
щ |
|||||||
|
3 |
|
2 |
|
зет |
v / ^ t ^ - f ^ ï |
• |
|
|
|
|
|||
Условие |
существования |
инверсной |
населенности (отрицательной |
|||||||||||
температуры) |
определяется |
неравенством |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
да!™ ѵ 2 І > |
^би Ѵ з 2 - |
|
|
|
|
|
|
|||
Заменяя величины |
w\\ |
и |
|
через соответствующие времена спин- |
||||||||||
решеточной релаксации, |
а частоты ѵ 2 1 и ѵ 3 2 — через энергии |
соответ |
||||||||||||
ствующих энергетических |
уровней, |
преобразуем |
неравенство |
к |
виду |
|||||||||
|
|
|
w2-wl |
w3-w2 |
|
|
|
|
4 |
1 9 |
|
|||
|
|
|
( 2 T 0 « |
(27\)з2 |
|
|
|
|
|
|
||||
Остановимся на некоторых |
качественных |
соображениях |
о |
роли |
||||||||||
и соотношении времен спин-решеточной релаксации, необходимых для получения отрицательной температуры в трехуровневой системе. Прежде всего отметим, что время спин-решеточной релаксации между уровнями 3—/ должно быть достаточно велико, иначе для уравнивания населенностей уровней 1 и 3 понадобятся слишком большие интенсив ности вспомогательного сигнала. Это нежелательно хотя бы из-за того, что при высоком уровне мощности происходит нагревание активной среды, а при этом увеличиваются, например, шумы.
Если отрицательная температура создается между уровнями 3—2 (см. рис. 4.1, а), то желательно, чтобы
( Т ^ Х ^ і .
121
Тогда условие существования инверсной населенности (4.19) вы полнить проще. Это требование вполне понятно: время спин-решеточ
ной релаксации с верхнего из рабочих |
уровней (3) должно быть до |
||
статочно большим; в противном случае |
число частиц на уровне 3 |
||
сильно уменьшается за счет безизлучательных |
переходов |
и, как |
|
следствие этого, разность населенностей N 3 — N2 |
падает. С |
другой |
|
стороны, желательно иметь как можно |
более короткое время |
(7\)2 1 , |
|
так как чем оно короче, тем большее число частиц покидает уровень 2
за счет безизлучательных переходов, тем меньше |
населенность уров |
|||
ня 2 и больше разность населенностей N 3 — |
N2. |
|
|
|
Если же отрицательная |
температура создается между |
уровнями |
||
2—/, то желательно, чтобы |
{Тг)32 < (Т1)2і- |
тогда |
можно создать до |
|
статочно большую разность |
населенностей |
между |
уровнями |
2—/. |
Пользуясь концепцией отрицательной температуры (см. § 1.2), определим разность населенностей уровней 3 и 2 через отрицательную температуру. Для спиновой системы эта температура носит название эффективной спиновой температуры и обозначается Т8. Населенности уровней 3 и 2 связаны через спиновую температуру следующим об разом:
£ - м » ( - £ Н - £ - |
<4 -2 0 > |
где hv32^kTs, т. е. значение Ts не очень близко к нулю и проведено разложение экспоненты в ряд. Из равенства (4.20) нетрудно видеть, что
|
|
|
k Л/2-УѴ3 |
|
|
ѵ |
' |
||
Подставляя |
в равенство (4.21) |
выражения (4.18) и (4.13а) |
с учетом |
||||||
(4.16), получаем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Т |
_ |
^ Ѵ З Е О Р М + Г С З " - ! ^ ! » ) |
|
/4 22) |
||||
|
s |
|
би |
V 2 i — |
би |
V32 |
|
|
' |
|
|
|
W21 |
|
|
|
|
||
Если можно пренебречь действием сигнала |
частоты ѵ 3 2 , т. е. счи |
||||||||
тать W32 <С |
2 + W % Т О |
|
|
|
|
|
|
||
|
j |
= |
j У з 2 ( ц » 3 2 + а ^ г ) |
|
(4 |
23) |
|||
|
|
|
wfl |
Vn—W%\ V32 |
|
|
|
||
В § 1.2 отмечалось, |
что понятия инверсной |
населенности |
и |
отри |
|||||
цательной температуры эквивалентны. Равенство (4.23) иллюстрирует
это |
положение |
еще раз. |
Действительно, Т8 |
< 0, |
если |
ѵ 2 1 |
> |
|
> |
w\\v32. |
Но |
выше было показано, что это условие |
существования |
||||
инверсной населенности между уровнями 3 и 2. |
|
|
|
|
||||
|
Метод |
вспомогательного |
излучения может |
быть |
использован |
не |
||
только для возбуждения активной среды стремя энергетическими уров нями, но также среды с четырьмя и большим числом энергетических уровней. Для большинства кристаллов, используемых в квантовых
122
