Файл: Страховский Г.М. Основы квантовой электроники учеб. пособие.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 10.04.2024
Просмотров: 209
Скачиваний: 1
§ 1.2. Характеристики неравновесных состояний квантовых систем.
Отрицательная температура
В предыдущем параграфе при выводе соотношений между коэффи циентами Эйнштейна мы исходили из квантовой системы (частицы с двумя энергетическими уровнями), находящейся в состоянии теплового
равновесия, |
или в р а в н о в е с н о м с о с т о я н и и . |
Как уви |
дим ниже, |
квантовые системы в равновесном состоянии |
непригодны |
для создания усилителей и генераторов. Для этого необходимо сущест венно нарушить равновесное состояние квантовой системы, т. е. при
вести е е в н е р а в н о в е с н о е |
с о с т о я н и е . |
|
|
Важнейшей характеристикой |
неравновесного |
состояния |
является |
о т р и ц а т е л ь н а я т е м п е р а т у р а . Это |
одно из |
фундамен |
|
тальнейших понятий квантовой электроники, которое может быть вве дено в рамках системы двух энергетических уровней.
Пусть, как и раньше, уровни имеют номера m и п, а их энергии обо значаются Wm и Wn, причем для определенности уровень m лежит выше уровня n(Wm > Wn). Уже упоминалось, что в состоянии термо динамического равновесия число частиц на энергетическом уровне оп ределяется распределением Больцмана [см. формулу (1.8)], т. е. насе ленность уровня m (при отсутствии вырождения)
(1.16)
а населенность уровня п
(1.17)
Выразим величину из формулы (1.17) и подставим ее в формулу (1.16). Тогда
(1.18)
Формула (1.18) определяет отношение населенностей двух уров ней в тепловом равновесии при абсолютной положительной темпера туре Т, но формально ее можно использовать для определения самого понятия температуры. Действительно, формально из выражения (1.18) температура определится как
Т = |
(1.19) |
11
Изучим эту формулу более внимательно. Числитель здесь всегда положителен, так как уровень m лежит выше уровня п (Wm > Wn). Займемся теперь знаменателем. Если
- ^ - > 1 . |
(1-20) * |
то значение натурального логарифма положительно, а значит, и опре
деляемая |
формулой |
(1.19) температура положительна ( Г > 0 ) . Это |
обычная |
температура, с которой имеет дело термодинамика. Условие |
|
•тт^ > 1 |
означает, |
что в состоянии термодинамического равновесия |
"m
населенность более высокого энергетического уровня всегда меньше, чем более низкого.
-X 1 X X I Х Х - і Х Х Х і Х Х Ю ^
|
X X - - X X |
- X - |
+ 0 |
+ Оі |
•Оі |
Рис. 1.1. Схема заселения двух уровней m и п при различных температурах
Если ~ = 1, то знаменатель выражения (1.19) обращается в нуль
и получается бесконечная абсолютная положительная температура. Число частиц при Т -- + оо на обоих уровнях одинаково.
Наконец, если
і < 1 |
, |
(1.21) |
то значение натурального логарифма |
в знаменателе выражения |
(1.19) |
становится отрицательным и определяемая по формуле (1.19) абсолютпая температура отрицательна.
На рис. 1.1 приведена схема заселения двух уровней m и //. на при
мере четырех частиц (четырех крестиков) при различных |
температурах. |
При Т = + 0 все частицы находятся на нижнем уровне (о), верх |
|
ний уровень (m) пустой. При повышении температуры |
(температура |
положительна и конечна) часть частиц (на рисунке одна) переходит на верхний уровень, но все равно число частиц на нижнем уровне больше, чем на верхнем. Число частиц на уровнях сравнивается лишь при бе сконечной положительной температуре (Т = + оо). В правой части
12
рисунка указана область отрицательных температур. Из рисунка вид но, что при бесконечной абсолютной отрицательной температуре (Т — = — оо) уровни m и «заселены одинаково (по две частицы на каждом), как и при Г = + оо . Это означает, что как бесконечной положитель ной, так и бесконечной отрицательной температуре соответствует одно
ито же физическое состояние.
Вследующей за Т = — оо клетке расположена конечная отрица тельная температура Т --• — а. В этом случае верхний уровень заселен больше нижнего, и чем меньше по абсолютной величине температура, тем больше частиц на верхнем уровне по сравнению с нижним. Нако нец, при отрицательном нуле температуры все частицы расположены на верхнем уровне, а нижний уровень пустой. Таким образом, при из
менении температуры от Т - -(-0 до Т = — 0 через Т = ± оо проис ходит переход частиц с нижнего уровня на верхний до полной инвер сии (от четырех частиц па нижнем уровне при пустом верхнем до четы рех частиц на верхнем уровне при пустом нижнем).
Теперь становится понятным термин и н в е р с н а я н а с е л е н |
|
н о с т ь . Речь идет об инверсии населенности |
уровней по сравнению |
с термодинамическим равновесием (7">0) , |
когда верхний уровень |
заселен меньше нижнего. При инверсии населенностей верхний уро вень становится более заселенным, чем нижний, и системе можно при писать отрицательную температуру ( Г < 0).
Термины «отрицательная температура» и «инверсная населенность» эквивалентны и выражают одно и то же содержание: населенность верх него из двух рассматриваемых уровней больше, чем нижнего. Можно также сказать, что для этой пары уровней создана инверсия населен ности или двухуровневая система находится при отрицательной тем пературе.
Подчеркнем некоторые особенности отрицательных .температур. Во-первых, состояния с отрицательной температурой имеют более вы сокую энергию или энтальпию, чем состояния с положительной тем пературой; в этом смысле отрицательные температуры более «горячи», чем положительные. Во-вторых, отрицательную температуру можно получить лишь для конечного числа энергетических уровней. Это свя зано с тем, что для создания отрицательной температуры между парой, уровней необходимо затратить конечную энергию. Если число уровней бесконечно, то необходима и бесконечная энергия для создания между ними отрицательной температуры.
Следует отметить, что понятия «температура среды (образца)» и «отрицательная температура» совершенно разные. В качестве примера приведем рубиновый стержень, широко используемый для квантовых усилителей и генераторов. Стандартный рубиновый стержень объемом несколько кубических сантиметров имеет температуру, колеблющуюся в зависимости от условий работы от температуры жидкого гелия до комнатных температур (примерно 300° выше абсолютного пуля). Од нако одновременно между уровнями рабочего перехода в результате сигнала вспомогательного излучения от лампы-вспышки образуется отрицательная температура.
13
§1.3. Возможность усиления в средах
сотрицательной температурой.
Условие самовозбуждения квантового генератора
Обычно уже при небольших спектральных плотностях электромаг нитного поля мощность индуцированного излучения значительно пре вышает мощность спонтанного излучения, поэтому для простоты в при
водимых |
рассуждениях спонтанное излучение |
не будет |
учитываться. |
В § |
1.1 была рассмотрена система частиц |
с'двумя |
выделенными |
уровнями т и п . Для определения свойств спонтанного и индуцирован ного излучения, а также поглощения, следуя Эйнштейну, мы разобрали случай, когда излучение системы частиц находится в тепловом равнове сии с окружающими частицы стенками. Напомним, что при этом инду цированное излучение системы (спонтанным излучением пренебре гаем) равно поглощению системы.
Поставим такой вопрос: возможно ли, чтобы индуцированное излу чение системы частиц превышало поглощение, т. е. среда (система ча стиц) усиливала проходящее через нее электромагнитное излучение?
С помощью выводов, полученных в § 1.1, нетрудно ответить на этот вопрос. Действительно, для того чтобы среда усиливала излучение, число излученных в ней квантов поля в результате индуцированных переходов должно превышать число поглощенных квантов. Число кван тов, излученных частицами с верхнего уровня в результате индуци рованных переходов, определяется формулой (1.5), а число поглощен ных квантов поля—формулой (1.6). Следовательно, для усиления не обходимо, чтобы
Nm ѴВтп Рѵ dt > Nn VBnm рѵ dt.
Сокращая на pvVdt |
и учитывая, что для коэффициентов Эйнштейна |
|
Втп и Впт справедливо равенство (1.10), получаем |
условие, необ |
|
ходимое для усиления |
излучения: |
|
|
Nm>Nn. |
(1.22) |
Условие*^.22) означает, что между уровнями тип |
создана инвер |
|
сия населенности, или |
уровни m и п характеризуются |
отрицательной |
температурой. Нетрудно видеть, что условие (1.22) противоположно условию (1.20), т. е. в системе уровней, характеризуемой положительной температурой, невозможно усиление излучения.
Среда (вещество), в которой осуществлена инверсия населенности, носит название а к т и в н о й с р е д ы (вещества).
Приведем некоторые формулы и определения. Выше, начиная с формулы (1.8), предполагалось, что статистические веса рассматрива емых двух уровней равны единице. Если же статистический вес уровня m равен gm, а статистический вес уровня п — gn, то формулы, начиная
И
с (1.10), изменятся. Соотношения между коэффициентами Эйнштейна приобретут вид
|
gmBmn |
= gnBnm, |
(1.23) |
|
ётАтпп |
_8лІгѵ3- |
,. 0 „ , |
Вместо формулы (1.19) |
получим |
|
|
у |
wm — wn |
(1.24) |
|
|
. , , |
Nn / Nr, |
|
|
|
||
|
k In |
Sn |
|
|
|
|
|
Наконец, для усиления в среде необходимо в общем случае, чтобы
выполнялось неравенство |
|
|
4 = * - > 4 ? - . |
(1.25) |
|
gm |
gn |
|
Вывод всех этих формул проводится так же, как и вывод соответ ствующих формул для невырожденных уровней.
При наличии вырождения меняется и определение населенности энергетического уровня. Населенностью обычно называют число частиц на данном энергетическом уровне в 1 см3 вещества, деленное на стати
стический вес уровня. |
|
|
|
|
|
До сих пор мы пользовались |
понятием |
спектральной |
плотности |
||
энергии |
излучения р ѵ . |
Иногда |
удобнее |
пользоваться |
величиной |
/(ѵ) = -j^ |
— интенсивностью излучения, т. е. числом квантов в ин |
||||
тервале частот от V до V + |
dv, проходящих через единичную площадку |
||||
в единицу времени. Величина I = |
\ I (v)dv представляет собой полную |
||||
(интегральную) интенсивность излучения. В дальнейшем обе величины І(ѵ) и / будем называть интенсивностью, различая их только наличием или отсутствием аргумента ѵ в скобках.
Пусть почти монохроматическая электромагнитная волна интен сивности / распространяется в активной среде вдоль некоторого на правления г. Изменение интенсивности волны в активной среде описы
вается уравнением |
|
dï=GIdz, |
(1.26) |
где величина G носит название к о э ф ф и ц и е н т а |
к в а н т о в о г о |
у с и л е н и я активной среды и является количественной характе ристикой свойств активной среды.
Выразим коэффициент квантового усиления через инверсную на селенность уровней среды и поперечное сечение индуцированного из лучения. Понятие «поперечное сечение» для процессов индуцирован ного излучения и поглощения часто используется в квантовой элект ронике. Оно обозначается а(ѵ) с соответствующими индексами, т. е. в принятой нами системе двух уровней m и n (m — верхний уровень)
15
