Файл: Страховский Г.М. Основы квантовой электроники учеб. пособие.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 10.04.2024

Просмотров: 214

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Эта функция удовлетворяет уравнению Шредингера с гамильто­

нианом (1.35):

 

 

 

 

 

 

 

 

 

mJ± = mp.

 

(1.39)

 

 

 

 

dt

 

 

Теперь сформулируем задачу. Необходимо вычислить

коэффициен­

ты Эйнштейна Атп

и Втп.

Для этого можно воспользоваться форму­

лой (1.3а),

связывающей

три величины: вероятность поглощения в

единицу времени

Wnm,

спектральную плотность

энергии

электромаг­

нитного поля р ѵ

и коэффициент Эйнштейна Впт.

Если вычислить ве­

личину Wnm

для известного

значения р ѵ , то их отношение дает коэффи­

циент Эйнштейна Впт.

Зная же коэффициент Впт

~ Втп,

из формулы

(1.13) можно определить коэффициент Эйнштейна

Атп.

 

Величина Wnm выражается через коэффициенты an(t) волновой функции (1.38) возмущенного состояния. Вычислим эти коэффициенты. Для этого подставим функцию вида (1.38) в уравнение (1.39):

т ( S - ^Г Ч>по + 2 а п ~ Г )=Н*Ъап

У по + Н'2ап

$ п 0 .

Последний член левой части и первый член правой части этого ра­ венства взаимно приводятся вследствие соотношения (1.36). В резуль­ тате получаем:

і й 2 - ^ „ о = Я в 2 а , Ж о -

(1-40)

Умножая правую и левую части этого равенства на \j)|0 " инте­ грируя по объему V с учетом условия ортогональности волновых функ­ ций, имеем:

m^JL ^^aJ^lofr^dV.

(1.41)

dt п V

В интеграл в правой части уравнения подставляем явный вид вол­ новых функций а|з|0 и г|5п 0 . Тогда

S ^ * o Ä > n 0 d V

= exp ^^~^t^u%HsundV.

 

(1.42)

Если ввести обозначения

 

 

 

^ ^ г ^ .

 

(1-43)

 

h

 

 

 

HL=~=\t*kHaundV,

 

(1.43а)

 

V

 

 

то уравнение (1.41) примет окончательный вид

 

 

ІП

dt = 2аn пHinexp(icohn

t).

(1.44)

20

Найдем его решение, считая гамильтониан взаимодействия малым возмущением.

Предположим, что при отсутствии возмущения система находилась только в одном из стационарных состояний, например в состоянии т. Это значит, что в момент, когда было включено возмущение (t = 0), коэффициенты a{k0) были равны:

4 ° Ч °

k ¥ =

m '

(1-45)

(I

k =

m.

 

Это нулевое приближение; индекс (0) при коэффициенте ah

и обо­

значает нулевое приближение. Для определения первого приближе­

ния

найдем ah

в виде ak = û40 ) -\- a(k)

+

т. е. для состояния

k =

m

a m

= 1 + йт)

+

а для остальных

состояний ak •— 0 ^ ' +

... .

Пра­

вая часть уравнения (1.44) содержит малые члены Hin (малое возму­

щение), поэтому в нее следует подставить выражение

ап =

1 (нулевой

порядок) для п = т. Все остальные коэффициенты

а(п0)

при пфт

равны нулю, поэтому ьместо суммы остается только один член. В пер­ вом приближении вместо уравнения (1.44) будем иметь

 

dt

іѢ

# L e x p (i(ùkmt)

(1.46)

[индекс (1) при коэффициенте ak

означает, что речь идет о вычислениях

в первом приближении].

 

 

 

Уравнение (1.46) легко проинтегрировать. В результате получим:

ар

=-L\Hlnexv(i<ùhmt')dt'.

(1.47)

 

 

о

 

 

Далее необходимо вычислить

матричные элементы

гамильтониана

взаимодействия Н\т.

Для этого

нужно знать вид гамильтониана вза­

имодействия.

 

 

 

 

Рассмотрим наиболее простую модель частицы (атома). Пусть атом состоит из бесконечно тяжелого ядра с эффективным потенциалом Ѵа и электрона с массой m и зарядом е. Тогда для электрона, движущего­ ся в электромагнитном поле с векторным потенциалом Л, скалярным потенциалом <рц и в стационарном поле с потенциалом Ѵа, полный га­ мильтониан имеет вид

где р — оператор импульса

21

Раскроем круглую скобку в выражении для гамильтониана и учтем, что коммутатор операторов р и А имеет вид рА— Ар = — ihàivA. Тогда гамильтониан H приобретает вид

H = ~ J

r

Уп - — Ah-

!г- <ЗіѵЙ +

2тс2

Ä2

+ е>Фп. (1.48а)

2т

 

тс

2тс

 

 

С помощью градиентного преобразования можно всегда выбрать потенциал электромагнитного поля в отсутствие зарядов таким обра­ зом, что ф п = 0 и div А = 0. Кроме того, обычно член, пропорцио­ нальный А2, значительно меньше члена, содержащего векторный по­ тенциал в первой степени, поэтому им можно пренебречь. Учитывая это, получаем выражение для полного гамильтониана системы части­ ца плюс поле:

H = U

L + VB)

e~Äp.

(1.49)

\

2т

I

тс

 

Члены, заключенные в круглую скобку, представляют собой не­ возмущенный гамильтониан Н°, а член --Ар — часть полного

гамильтониана, определяющую взаимодействие. Таким образом, га­ мильтониан взаимодействия имеет вид

Нв =

—Ар.

(1.50)

 

тс

 

Пусть электромагнитное поле представляет собой монохроматиче­

скую волну с волновым вектором k, т. е.

 

 

 

A (rt) = Л exp [i (kr—(i>t)\ -f- Ä\ exp [—i (k~r — cat)].

(1.51)

Тогда гамильтониан взаимодействия Нв

имеет вид

 

Нв =

—{Ai [рехр (/ kr) ] exp ( — Ш) + Ä* [р ехр (— i k г) ] exp

.

 

тс

 

(1.52)

 

 

 

Вычисление матричных элементов Н\т

сводится к вычислению мат­

ричных элементов выражений, стоящих в квадратных скобках этого выражения, а именно:

Н\т —

— {Aï [р exp (ik~r)]km

ехр

- f

 

тс

 

 

+

А\ [рехр (— ikr)]hmехр

(Ш)}.

( 1.53)

22

 

 

 

Подставляя матричные элементы (1.53) в уравнение (1.47) и инте­ грируя его, получаем:

ai1» (t) = ~

At

[рехр( ^r)lf t ,n^lS^=^Ih±

+

/ясл

 

й ) д т — (о

 

+ - V Л?[ p e x p ( - ï 7 ë r ) J A m ^ ^ - ^ i b i .

(1.54)

Из этого выражения видно, что первый член в нем велик, если ча­ стота электромагнитной волны со близка к частоте перехода coA m , т. е.

если выполняется

условие « ж w h m

--= ———™, или

W f t ^ W m + f i « .

Таким

образом, первый член

связан

с переходом в состояние k, кото­

рое выше

состояния m на

величину энергии На. При таком

пе­

реходе

внутренняя

энергия

частицы

увеличивается

за счет энергии

электромагнитного

поля, т. е. первый член описывает процесс резо­

нансного

поглощения

(или

просто

поглощения). Второй же член

выражения

(1.54)

велик, если выполняется условие

со = — cof t m

=

Wm~~K W~'

т '

е ' ^ h ~

^ m

—

Следовательно, в этом случае состо­

яние k ниже состояния

m на

величину энергии Йю. Тогда при пе­

реходе в состояние k внутренняя энергия частицы уменьшается на ве­

личину Гш, энергия отдается электромагнитному полю. Таким образом,

второй член в выражении (1.54) описывает переход за счет индуциро­

ванного излучения.

 

 

 

 

 

 

Поскольку нашей задачей является вычисление вероятности по­

глощения,

входящей

в

формулу (1.3а), то в коэффициенте ai1 '(О

м ы

оставим лишь первый член, описывающий процесс поглощения.

Известно,

что вероятность обнаружить систему в энергетическом

состоянии k в момент времени t равна | ah(t)

| 2 , т. е. | a{kl)(l)

| 2 в рамках

данной задачи

 

 

 

I № о I 2 - -

i V

I ^ I2 1 ^ е х р

]*» I 2 L [ e x p ' / m

f e m ~ t ~ 1 1 1 2 - ( L 5 5 )

 

т2сЧ2

 

(Щгп — <ù)2

Здесь вместо скалярного произведения Аф введена проекция вектора р на направление вектора Ах, а именно рА. Тогда Агр = АгрА- Приведем формулу для квадрата модуля матричного элемента, входящего в вы­ ражение (1.55), в дипольном приближении без вычислений:

\ І Р а

exp(ikr)]km\'=

/ Г Г Ю km I - [2

(1.56)

— ^ - \ r k m \ \

где r h m — матричный

элемент оператора смещения.

 

Нетрудно видеть, что квадрат модуля в выражении (1.55) можно

преобразовать к виду

 

 

Uexpi'Km — (ù)t —1]|2

=

 

= 2 [ 1 - c o s K m - и) t] = 4 sin2

[ ^ыь-ѵѴ j .

(1.57)

23

Подставляя выражения (1.56) и (1.57) в равенство (1.55), получаем, что вероятность нахождения системы в состоянии к в момент времени / равна:

 

 

 

 

2 Г Л 2

 

4 sin2

(

 

 

 

J t

 

 

 

 

 

 

 

W | F f

c J '

t

K

 

\ t

'

•

(1-58)

 

 

 

 

ЗА2

с 2

 

 

 

 

 

( м

Д т — с о ) 2

 

Рассмотрим это выражение, т. е. изучим поведение множителя

 

 

 

 

 

 

4 sin2

 

 

/

 

 

 

 

 

 

при достаточно больших значениях

/.

v>hm

 

 

 

 

 

 

 

Во-первых, если выбрать величину

 

— и

столь

малой,

что

(ОЪт — СО

1

 

СОьт

— СО , . .

 

 

 

 

 

 

 

 

Л

2

<^ - ,

или

2

г <

1,

т. е.

рассмотреть

множитель

Qx

вблизи точки

со =

<àkm,

то sin ( — ^ ^ 2 — м о ж н о

разложить в ряд,

ограничившись первым членом разложения. Тогда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Qi = ——

— =

t.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

((ühm

— (ü)2t

 

 

 

со = ыІіт

 

 

Таким образом, множитель Qt

вблизи

точки

возрастает

с ростом t и при / - >

оо становится бесконечным.

 

 

 

 

 

Во-вторых,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

^

 

 

со

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Q,ci(Aco') = j ^ - ( 4 ^ - d ( Ä c o ' )

=

K,

 

(1.59)

где

введено

обозначение

Асо'

= [ ù

f e m ~ g >

. Но

оба

эти

условия озна­

чают, что множитель Q1 удовлетворяет всем требованиям, предъявля­ емым к ô-функции. Поэтому при больших значениях t его можно аппрок­

симировать

б-функцией,

а именно

записать Q1 =

по ^ Ю й т 2 ~ т

^ . Мно-

4 5 І П 2

^ m f t m - t O j ,

 

 

 

 

 

 

житель — 7

гт;

, очевидно,

можно

тогда

представить

в

виде

. . о і

" f e m —CO , ,

tQ1 = ntb

(

) = 2 ^ Ô K m - t o ) ,

(1.60)

4 sin2

t

(Cùftm — C O ) 2

 

V

2

 

 

 

где мы воспользовались следующим свойством ô-функции: ô(ax) =

— Êi^L (х — аргумент, а — некоторый множитель).

24

Смотрите также файлы