Файл: Страховский Г.М. Основы квантовой электроники учеб. пособие.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 10.04.2024

Просмотров: 269

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

потери удобно описать феноменологически, считая, что активная сре­ да, заполняющая резонатор, имеет проводимость о, и электромагнит­ ное поле приводит к появлению некоторого тока, плотность которого определяется уравнением (6.10).

Окончательный вид материальных уравнений для интересующей

нас задачи

таков:

 

 

 

(6.13)

 

В = \і0Ж,

(6.14)

 

]=0%.

(6.15)

Рассмотрим совместно системы управлений (6.4)—(6.7) и (6.13)—

(6.15). Прежде всего возьмем rot от правой и левой частей

векторного

уравнения

(6.4):

 

 

rot(rotI)= — I r o t - ^ - .

(6.16)

В правой части этого равенства можно поменять местами операции rot и Jj, а затем подставить выражение (6.14) для вектора магнитной индукции. Тогда

— ± r o t — = - ^ - - . — rotß = _ J Ü - — ѵоіЖ.

с dt с dt с dt

Величина p,0 вынесена из-под знака rot и дифференцирования по времени, так как она постоянна. _

Затем из уравнения (6.5) подставляем выражение для rot Ж и диф­ ференцируем его по времени:

(£о _ Л rof^^

_ . Иі / J f .

ÊL-L. JL. Ë î u

с dt

с \ с ' dt

с dt2

Подставляем сюда продифференцированное один раз по времени уравнение (6.15) и дважды по времени уравнение (6.13). В результате имеем:

__Jio/4rç

dj_

a 2 D \ _

цо / 4я &$_ _Ео_ d 2 f

4я _ д2¥\

с \ с

' dt

с ' dt2 } ~

с \ с ' dt

с ' dt*

с ' dt2 ) '

(6.17)

Обратимся теперь к левой части уравнения (6.16). Известно, что

rot (rot Ü) = grad (div »)—ÄF.

Так как divf = 0, это равенство имеет вид

rot(rotâf)= — Ai.

(6.18)

165

Строго говоря, равна нулю не divë, a div D [уравнение (6.7)],

a div ё лишь близка к нулю, но мы будем считать это равенство точ­ ным.

Подставляя в левую часть уравнения (6.16) равенство (6.18), а в правую — равенство (6.17), получаем:

с 2

' dt

с2

dt2

с 2 ' dt2

У • )

Решение уравнения (6.19) для напряженности электрического поля следует искать в виде

Жх, у, г, 0 = 2 £/„(*, у, z)An(t),

(6.20)

п

 

где вектор Un (х, у, z) определяет распределение поля в собственном п-ы типе колебаний резонатора.

Вообще говоря,

Un

зависит от всех координат: х, у, г,

но для про­

стоты будем считать, что вектор напряженности

электрического

поля

(а значит,

и Un) зависит

лишь от координаты z и не зависит от двух

других координат х и у

(ось z

направлена

вдоль оси

резонатора).

Тогда вместо оператора Лапласа

Д в уравнение

(6.19) будет

входить

д2

 

 

 

 

 

 

 

 

с2

 

, получим

уравнение

•~т-£. Умножая все члены

уравнения (6.19) на

OZ

 

 

 

 

 

 

 

 

Ше о

 

 

 

 

для напряженности электрического поля в резонаторе:

 

 

 

 

dt2 +

е0

' dt

 

ц0 е 0

' dz2 ~

 

е0

' dt2

 

 

'

Выберем собственные типы

колебаний

резонатора в виде:

 

 

 

 

 

Ѵп{г) = !г*тКпг,

 

 

 

 

(6.22)

где ег — единичный вектор

в

направлении вектора Un;

Кп

=

—

волновое число; п — целое

число,

ai? — длина резонатора в направ­

лении координаты 2.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Таким

образом,

форма

решения уравнения

(6.21) запишется

как

 

 

l ( z ,

t) = ^ezAn(t)

sin Knz.

 

 

(6.22а)

 

 

 

 

 

п

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Подставляя эту форму решения в уравнение (7.21), имеем:

 

 

&Ап

 

4яа

dAn

. с2КІ

л

\

4л

д2ІР

 

ъ

"

АЛ2

 

о

Ai

•• €>_ "

J

e0

dt

2

 

 

 

dt

 

 

80

 

dt

ц 0 е 0

 

 

 

Здесь вместо частных

производных по времени от коэффициентов

Ап написаны полные производные, так как коэффициенты Ап

зависят

только от времени,

и эти производные совпадают.

 

 

 

166

Умножаем правую и левую части уравнения на ег sin Kmz и берем от них среднее значение по длине резонатора. Учитывая, что ezez = 1, получаем:

~ \ dt2

е 0

' dt

0 К п А„ \ . — J" sin Кп

z sin Кт

zdz =

М-о е 0

 

 

 

 

 

An _ d?

se

 

 

 

 

 

e z ^(z,

0 sin /Ся

(6.23)

 

 

~7а ~d¥

 

 

 

 

 

 

Нетрудно

видеть, что

 

 

 

 

 

1

 

—

при т = п,

(6.24)

 

S3 ^

Sin К„ 2 Sin/С,„ Zdz :

 

тфп.

 

при

 

 

 

 

О

 

Равенство

(6.24) служит

хорошей иллюстрацией положения об

ортогональности собственных типов колебаний резонатора. Здесь оно показано на конкретном примере, когда собственные типы колебаний имеют вид sin /Cnz.

Используя равенство (6.24), из уравнения (6.23) получаем выра­ жение для величины А п :

 

 

d2A„

, 4ка

dAn

г

сЧ(п_д

 

_ _ _ £ я

а *

(6.25)

 

 

df-

е0

dt

 

 

 

 

dP

 

 

 

 

 

 

 

где

введено

обозначение

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9

z

 

 

 

 

(6.26)

 

 

 

 

SS

^

ez£P(z,

 

t)sinKnzdz.

 

Вводя обозначения

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4ясг

 

 

где

cûn — собственная частота,

a Qn

— добротность типа колебаний

с номером п, получаем

уравнение для величины Л„ в окончательном

виде:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

&Ап

, ю„

. dAn

, „г „

=

4я

à*@n

(6.27)

 

 

dP

.<?1L. *âlL +

(dnAn

 

dP

 

 

Qn

dt

 

 

 

 

 

 

Решение этого уравнения

отвечает на вопрос задачи 2: какое элек­

тромагнитное поле возбуждается в резонаторе активной

средой с по­

ляризацией

£Р(г,

t).

 

 

 

 

 

 

 

 

Займемся теперь задачей о вычислении вектора макроскопической

поляризации, возбуждаемого

в среде электромагнитным

полем в ре­

зонаторе.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

167

Как следует из определений (6.2), (6.3),

для этого необходимо

знать матрицу плотности р частиц активной

среды. Если известен

гамильтониан H такой частицы, то поведение матрицы плотности во

времени определяется уравнением

 

» А ^ = [ # р ] = Я р - р Я ,

(6.28)

где квадратные скобки означают операцию коммутации.

Представим себе, что активную среду образуют частицы с двумя

энергетическими

уровнями

2

и

1

(рис.

6.3). Гамильтониан

такой

ча­

 

 

 

стицы

с

учетом

взаимодействия

 

имеет

вид

 

 

Wo

 

 

 

 

 

H=H°—d$,

 

 

 

 

(6.29)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где Н° — гамильтониан без

учета

взаимодей­

 

 

 

ствия

с

электромагнитным

полем.

 

 

 

 

 

— W,

 

У

гамильтониана Н° собственные функции

 

 

 

\р1 0

и ip2 0 ,

а собственные

значения

Wx

и

W2,

Рис.

6.3. Энергетические

так что /?°гр10 =

W^w,

 

Я°г|)2 0

=

№2і|)2о

 

или

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

уровни частицы с

двумя

 

 

 

 

 

 

 

 

 

•wx,

я » ,

 

 

энергетическими

состоя­

 

 

1 1 i l

 

 

 

 

 

 

 

 

ниями

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(6.30)

 

 

 

 

 

 

= < ^ о ! я ° | ѣ о >

=

\ г 2

 

 

Второй член

•—dfê,

где d — оператор дипольного

момента — опи­

сывает взаимодействие активных частиц с полем излучения в диполь-

ном

приближении.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Подставляя

гамильтониан

(6.29) в

уравнение

(6.28),

получаем:

 

dt

! г ( Я ° і

 

•рЙ°)+~&

 

(dp-pd).

 

 

(6.31)

 

 

 

 

 

 

 

h

 

 

 

 

 

 

 

 

Матрица плотности для частицы с двумя энергетическими уровнями

1, 2

имеет четыре элемента: р и ,

р 2 2 , р 1 2 , р 2 1 . Пользуясь

уравнением

(6.31), вычислим эти элементы, для простоты считая, что у оператора

дипольного момента отличны от нуля только недиагональные матрич­

ные

элементы

d12.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Сначала вычислим элемент р 1 2 . Как следует из (6.31),

 

 

 

 

 

^ = - ^ ( ^ і Р і 2 - Р і 2 ^ . ) + Х * ^ 1

2

Р и

_ Р

і 1

' а

і 8 )

-

( 6 - 3 2 )

Так

как

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

H01 = Wu

H°9

= Wt,

a

fc^J-

=

c û 2 1 -

 

 

 

 

168

— частота перехода между уровнями

2,1, то

выражение в

первой

круглой скобке уравнения (6.32) имеет вид

 

 

 

^ V ' M l t ' 1 2

Г 1 2 " 2 2 /

^ К 1 2 Ѵ . " 1

2 / — ь ^ 1 2 Ю 2 І '

 

и, следовательно, уравнение (6.32) сводится

к

следующему:

 

~ -

= ton Pn + -jd12ë

(р 2 2

-

р ц ) .

(6.33)

Аналогично можно получить уравнения и для других компонент матрицы плотности:

др.

 

 

 

(6.34)

d~- = ~to2lp21—£-dalff(p22—рп),

 

- ^ = = - i - g ( d 2 l

P

l ï - p a l

d l s ),

(6.35)

^ L = _ i - i ( d 1

2

p 2 l - P l 2

r f 2 1 ) .

(6.36)

Уравнения (6.33)—(6.36) описывают изменение компонент матри­ цы плотности для частицы с двумя энергетическими уровнями под действием электромагнитного поля в резонаторе (естественно, что поскольку рассматривается электрическое дипольное взаимодействие, во все уравнения входит напряженность электрического поля).

Изменение компоненты матрицы плотности может происходить не только под действием электромагнитного поля, но и за счет какихлибо релаксационных процессов, например за счет безизлучательных переходов с уровней 2, 1 (при этом, естественно, считается, что, кроме уровней 2 и 1, у частицы есть еще и другие уровни, на которые и могут происходить переходы). Не будем здесь конкретизировать возможные механизмы релаксации, а учтем их феноменологически так же, как это делалось при выводе уравнений Блоха. Введем времена релаксации 7\ Т2 и будем считать, что процессы релаксации элементов матрицы плот­ ности можно описать таким образом [см. формулы (3.1), (3.3)]:

dPiz

_

Рі2~ Рі2

др2і

Ргі —Р21

(6

37)

dt

 

Тг

dt

 

 

 

dpii

_

PiiL——Pn

dpss

P22 — P22

(g

gg)

dt

 

Ti

'

dt

 

 

 

где P i 2 , P21. P?i, P22 — равновесные

значения элементов

матрицы

плотности, к которым элементы матрицы плотности стремятся в ре­ зультате релаксационных процессов.

169

Смотрите также файлы